中3数学 埼玉県公立高校入試問題 球体のアイスの体積

写真は、150115、中3数学の授業です。

150117からは、大学入試センター試験開始。
150119の週からは、埼玉県私立高校入試が開始。
どうか体に気をつけて、悔いないようにやってほしいです。

さて、埼玉県公立高校入試、平成26年度の問題です。

問題「円すいのコーンの内側の面にピッタリつくように球体のアイスを入れました。このコーンの底面の半径は4cm、母線の長さは12cmです。このとき、このコーンの頂点からアイスの最上部までの高さは、母線の長さと等しく12cmになりました。球体のアイスの体積を求めなさい。ただし、コーンの厚さは考えないものとする」

本当は、「コーン」「アイス」とは書いていなかったのですが・・・。
私が勝手に書き換えてしまいました★
だって、どうみてもコーンとアイスなので。

コーンの模様も、もともと描いてありましたし。

見た目的にも面白い問題ですよね。
問題を作った人、よく考えるなあ・・・。
生活の一場面に絡めているのも、お見事です。

それでは、一緒に見ていきましょう。

まず、球の中心Oから、辺BA（母線）に垂線を引き、Dとします。
他の点にも、わかりやすいようにアルファベットをつけます。
そうすると、相似になりそうな三角形が見つかりますよ。

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△ADOと△ACBにおいて

∠ADO＝∠ACB＝90°
∠DAO＝∠CAB（共通）

2組の角がそれぞれ等しいので・・・。

△ADO∽△ACB
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OD＝OE（半径）をrとします。

AOの長さは？

→　12－r

AEの12cmから、半径rを引いたものになります。

これで、比と比の値の式を作ると、半径rが出ますよ。
相似な三角形、小さいものと大きいものの辺を使います。

半径rの長さは？

→　OD（小）：BC（大）＝AO（小）：AB（大）
　　　　　　　　　　　 r：4＝（12－r）：12
　　　　　　　　　　　12r＝4（12－r）
　　　　　　　　　　　12r＝48－4r
    　　　　　　12r＋4r＝48
　　　　　　　　　　　16r＝48
　　　　　　　　　　　　　r＝3

半径が「3cm」と出たので、球のアイスの体積が求まりますね。

球の体積の公式は、「4π／3×rの3乗」です。

球体のアイスの体積は？

→　4π／3×3の3乗
　＝4π／3×27
　＝36π

答えは、「36π㎤」です。

↑一緒に見ていけば、それほど困らないでしょう。

この問題を見ただけで、あきらめてしまう子どももいますね。
「こんなのできるわけない」という感じで・・・。
パッと見て、見たことがないと感じると、あきらめるようです★

でも、同じような内容は、すでに勉強しているのです。
断面図のほうをよく見ると、見たことがあると気づくかも？
数学のカリキュラムのひとつ（3MJ-27）に、似た形の問題が。

とにかく、「マイナスの思い込み」を捨てることですね。
そうすれば、前向きに何かしらの考えが思いつくかと。
あきらめた瞬間、脳は考えることから逃げてしまうようです★

今回は、中3の相似な図形と中1の球の合体問題ですね。
入試には、こうした見たことがない合体問題がよく出題されます。
単純な計算力だけでなく、思考力も試されていますよ。

もし、見たことある問題ばかりだったら・・・。
できる人が、多くなりすぎるでしょうからね。
差がつかなくなります★

装飾されていて、見たことがないなと思っても・・・。
実は、どこかで勉強している問題が、ほとんどです。

着飾った「見た目」に、ダマされないように。
問題の中身や本質を見てほしいですね。

ちなみに、これは入試問題前半の問題なので、できてほしいです。
本当に難しいものは、入試問題最後のほうに出てきますよ（毎年）★
取れるところは取っておきましょう☆

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