中2数学 点の動く問題

写真は、080821、中2数学の授業です。

1次関数の「動点」の問題を復習しています。

今までは、静止している図形の面積を解くことがほとんどでした。
それが今回からは、時間と共に変わっていく図形の面積を求めます。
中1で少し出てくるのですが、中2で本格的に登場です。

中2で、初めてこの「動点」が登場してきたときは驚きましたよね。
目の前のことに一生懸命取り組もうというよりは・・・。
「難しい」「わかんない」と逃げに走ったりと★

今回は2度目だったので、「入り」がよかったようです。
やはり「繰り返し」というのは、大きな武器になりますよね。
モチロン、難しい問題や、覚えていないことについてです。

問題は以下の通りです。
「1辺8cmの正方形ABCDの辺上を、点Pが頂点Aを出発して、毎秒2cmの速さでA→B→C→Dの順でDまで動くとする。いま、点Pが頂点Aを出発してからx秒後にできる△APDの面積をy平方cmとする」

動いている点Pが、三角形の頂点のひとつとなるわけです。
つまり、三角形の面積は、頂点の動きにより変わっていく・・・。
正確には、正方形の3辺のうち2辺で変わっているのです。

①点Pが辺AB上にあるとき（面積は増えていきます）

三角形の底辺をAPとします。
この底辺APは、時間が経つにつれ、長くなっていきますよね。
底辺を距離と考えて「2（速さ）×x（時間）＝2x（距離）」となります。

x秒後の面積は・・・。
「y（平方cm）＝2x（底辺）×8（高さ）×1/2＝8x（平方cm）」
・・・となります。

②点Pが辺BC上にあるとき（面積は変わりません）

三角形の底辺は、動かない辺ADとします。
そして、高さも変わりません。
点Pは動いているのですが、高さ8cmのまま横に動いているだけです。

x秒後の面積は・・・。
「y（平方cm）＝8（底辺）×8（高さ）×1/2＝32（平方cm）」
・・・となります。

ここまでは、わりとわかりやすいのです。
なぜなら、三角形の面積は増えていくか変わらないかですから。
理解するのに時間のかかるのが、次の「減る面積」です★

③点Pが辺CD上にあるとき（面積が減っていきます）

ここでの面積は、どんどん減っていきます。
この場合の底辺は、2x（cm）というわけではありませんね。
これでは、時間が経つにつれ、底辺が増えていく式になってしまいますから★

図の通り、減っていく底辺をどう式で表すのか？
これが最も重要な部分で、全体から、今まで進んできた距離を引くのです。
そうすれば、時間が経つにつれ、底辺が減っていく式になります。

全体の長さ（点Pが動く範囲）は「8（cm）×3箇所＝24（cm）」です。
進んだ分は、「2（速さ）×x（時間）＝2x（距離）」でしたよね。
この部分の底辺は「24（cm）－2x（cm）」となるのがわかりますか？

時間のx秒が進むにつれ、底辺は減っていくのです。

x秒後の面積は・・・。
「y（平方cm）＝（24－2x）cm（底辺）×8（高さ）×1/2＝96－8x（平方cm）」
つまり「y＝－8x＋96」という面積の式になります。

あとは、変域や面積のグラフがかけるとカンペキですよ♪

篠津中は081120＆081121、中2の2学期期末テストでした。
やはり数学では、これとほとんど同じ問題が出題されました。
期末テストの前日に数学があったので、復習できたのもよかったですね。

必勝法は、写真のように3つの四角形を描きましょう。
そして点Pを含めた、動いている三角形も描き込みましょう。
面積が減る底辺は、全体から進んだ距離を引きましょう。

この3つをやるかやらないかで、できるできないが決まるかもしれません。

できない人は、描いていないで「わかんない」と言っています。
できる人は、素直に描いています。
まあ、あとは同じような問題を繰り返して解いてみることですね☆