中3数学 円すい・最短距離

写真は、071108、中3数学の授業です。

この日は、円柱・円すいの、体積・表面積を勉強しました。

注目した問題は、円すいの側面に書いた線の、最短距離の問題です。
写真の、左半分になります。
問題によっては、“ヒモを巻きつける”という言い方をしますね。

この系統の問題は、高校入試問題で、たまに見るような。
たとえば、平成15年度、春日部共栄高校の入試問題に出題されています。
一度勉強しておく必要がありますね。

曲線になっているものを、強引に直線としてみる。
アタマの切り替えが難しいところでしょう。
でも、必勝法があるのですよ♪

必勝法は、とにかく展開図を描くことです。
円すいの側面、つまりおうぎ型の展開図を必ず描きましょう。
そして展開図に、最短距離の線を直線で書き込みましょう。

補助線を使うことがありますが、あとは三平方の定理です。
最短距離の直線の長さを求めることができるはずです。

でも、展開図を描くにも、ひとつテクニックがありますよ～。
まず、おうぎ型の中心角を求めなければなりませんよね。
ベタな長い式でも求まりますが・・・。

ここは「半径/母線＝x°/360°」の公式で、カンタンですよ～♪
半径は、底面の半径。
母線は、おうぎ型の直線部分のことです。

まず、「おうぎ型の弧/おうぎ型の円周＝x°/360°」と考えます。

おうぎ型の弧と、底面積の円周は同じ長さです。
おうぎ型の弧の部分が、底面積にクルクルとドッキングしますからね。

すると、「底面の円周/おうぎ型の円周＝x°/360°」と言い換えられます。

さらに、円周の式は知っていますよね？
「半径×2×π」に、再度言い換えましょう。
「底面の半径×2×π/母線×2×π＝x°/360°」となります。

ここで、左辺の分数を約分しましょう。
分数の上下で同じ数字があれば、約分して「1」になりますよね。
「2」「π」は、上下に1個ずつあります。

最終的には、カンタンになって「半径/母線＝x°/360°」となります。
これで、公式の完成です♪
実は中1の図形で出てくる、あまり難しくない公式なのです★

中1は、071212現在「平面図形・空間図形」に入っています。
中1で、この公式をしっかり身につけて・・・。
中3の数学でも、成果を出せるようにしておきましょうね☆