「未唯への手紙」の「数学」編の二巡目のロジック展開

未唯へ。iPOD Classic 80GBを昨日、手に入れました。セミナーの抽選で当たりました。わざわざ、会社まで届けてもらいました。ついでに、「未唯への手紙」のことも聞いてくれました。これもすごい偶然です。それを活かしましょう。

「未唯への手紙」の「数学」編の二巡目を書き起こしました。

ローカルとグローバルというアイデアがどのようにして生まれてきたのか、検証を二巡目で行います。数学のジャンルでは、我々の社会よりも物事が早く進んでいます。どのように進んでいるか分かれば、安心して、社会を変えることができます。

幾何学はローカルから生まれました。地面に絵を描くことがピラミッドの高さの計測に役立ち、生活の中でも役立ちました。ものとつながった世界での計算の世界が基本でした。四則演算が数学でした。その中で、幾何学というのは、建築などの物理的なものが、実利的なものとつながっていました。

その実利的なことをユークリッドは抽象化をして、適用範囲を拡大しました。１とか２というものの誕生です。それを幾何学にも応用しました。ものの性格を定義するようになりました。16世紀になって、デカルトの時代がやって来ました。かれはデカルト平面、つまり、座標軸を作り出しました。幾何学が空間配置とつながりました。

デカルト平面を定義しようとすると、空間の中に次元の異なる部分があると、特異点として定義ができなくなります。つまり、グローバルからローカルが説明できない状態です。これがグローバルの限界です。「次元の呪い」です。そこで、数学には、多様体の考え方が出てきました。

多様体、つまり、ローカルのある点に近傍で成り立つものをグローバルの座標に張り付けるやり方です。グローバルな世界でつながるローカルな世界をつなぎ合わせると、特異点で解消されます。その空間の性格が見えてきます。つなぎ合わせるのに、「インバリアント」、つまり、不変なものを定義すればいいです。これをSIK教授から習いました。

これで、空間が飛躍的に大きくなり、現実の空間にも近づきました。リーマン幾何学では、量子学の世界も表現しています。近傍系、連続性、インバリアントで数学そのものからも、独立しました。社会の空間で「数学」が可能になります。ローカルとグローバルの概念を活かして、次に、社会そのものを見ていきます。