ドーナツの穴を残して食べてみる

『ドーナツを穴だけ残して食べる方法』より　とにかくドーナツを食べる方法

読者の皆さんに４次元空間のなかに住んでいると想像して欲しい、とお願いしていたと思う。そこで、４次元空間の中にドーナツがあると考えよう。

ドーナツの穴再考:ドーナツの穴の定義と問題の言い換え

　ここで、皆さんがドーナツの穴をどのように認識するかを再び考えてみよう。前に述べたようにドーナツの穴とは図での矢印の先にある部分であると考えるのは誰も否定しないだろう。この場合、我々はドーナツの穴を「視覚的」にとらえている。しかし、我々が穴をきちんと認識するためには、穴に指を通して輪を作って、（知恵の輪のように）指とドーナツを外すことができないことをちゃんと認識する必要があるはずである。

　ここまでの準備の下で、数学、つまり論理を展開するために、「ドーナツの穴」をここで定義することにする。さて定義である。ここでは「ドーナツの穴」とは「図3-5のようにドーナツと指を離れないようにする仕草」と定義することとしよう。この定義のポイントは、ドーナツの穴は、万人が視覚的に一斉に認識するのではなく、各人、例えばあなたの友人がドーナツの穴に指を通すことによって認識することにより定義されるとするのである。ただし、ここで与える定義はこの章のみの定義であって、この本の他の章はいうまでもなく、一般社会では全く通用しないことをあらかじめ注意しておく。

　この定義の下でお題は次のように書き換えられる：各人が認識するドーナツの穴を残して食べることつまり、お題はより具体的に

　あなたの友人がドーナツの穴を認識したまま、あなたはドーナツを食べることが出来るかと言い換えることができる。

４次元空間での設定の復習

　我々はいま４次元空間の中にいる。２次元空間から３次元空間へ広げたときに行動範囲が広がったように、３次元空間から４次元空間に広げると、行動に自由度が増えることに注意しよう。

　先ほど図3-5のように、指をドーナツの穴に通して穴を認識することを考えたが、それはちょっとわかりにくいので、輪をあなたの友人の指の代わりに考えてみる。

　現在の設定では、我々は４次元空間に住んでいる。しかし、ドーナツと輪（友人の指）は明らかに３次元空間の中に住むことができるから、４次元空間の中の３次元空間｛(x,y,z,0) ｜x,y,zは実数｝に含まれているとしても良いだろう。ただし、あなたの友人は常人なので、この３次元空間の中に住んでいるが、４次元空間を理解できないとしておく。

実際に食べてみる

　先ほど予告したように、お題にある「あなたの友人がドーナツの穴を認識したまま、あなたがドーナツを食べること」ができるかどうかを試してみよう。

　まず今の状況では、ドーナツと輪（友人の指）は４次元空間内の、４番目の座標であるｗ軸の座標が0である点からなる部分集合の中に含まれている。そこで、あなたは４次元の世界に住んでいるのだから、図3-7のように　ドーナツをｗ軸の座標を１に持って行くことができる。この際、２次元の中に書いた円の内部から３次元空間の中では外側に抜けることができたように　この状況では、この操作によりドーナツは輪（友人の指）には触れずにｗ軸の座標を１に持って行くことができる。座標を１に持って行ってからドーナツを食べると、輪（友人の指）には触れずに食べることができたことになる。食べた後に、あなたがｗ軸の座標がＯの位置に戻って友人に食べたことを伝えると、友人はビックリするだろう。っまり、あなたが食べたことを伝えるまで、友人はドーナツの穴を認識していたのである。したがって、友人に気づかれずにドーナツを食べること、つまり、あなたは「友人がドーナツの穴を認識したまま、ドーナツを食べること」が成功したことになる。

　実際には、友人は４次元空間を理解していないので、ドーナツの軸の座標がＯと違った瞬間に、友人の目の前からドーナツは消えているのである。いずれにしても友人の指には触っていない。