2.2 数学の世界 ３／４

（つづき）

2.2.3　非ユークリッドの世界

　次元の呪いから抜け出すことを数学は考え始めた。数学に制約は似合わない。

　同一の次元で表せる方が“例外”ということに気づいた。その空間にいる限りは、窮屈です。グローバルが一様だと思うことに誤謬があることがわかり、ローカルから発想することを思いついた。

　１８世紀まで、数学は物理の“道具”であった。力学で必要なものだけを準備しておけばよかった。非ユークリッドは現実のニーズではなく、数学そのものの定義から生まれた。まだ、物理学は「現実」に引きずられていた。数学のレベルまで来ていなかった。

　クラインのエルランゲン・プログラムによって、数学のうち、幾何学自体の定義がなされた。ルールを決めれば、空間が決まるというもので、それ以前の「空間ありき」とは発想を逆になっている。これはSIK教授から習ったことです。衝撃でした。数学は創るものです。


　かくして、数学はすべてのものから独立を果たした。

　そこで生まれたのが、非ユークリッド幾何学です。ユークリッドは平行線は交わらないとしたけど、地球上では交わっている。地上のロジックはどう変わるのか、どのようなルールが便利なのか、新しいルールから、どんな空間が描けるか、を理論的に作り上げた。

　非ユークリッド自体は、物理面では、何も生み出すことはできない。物理を離れた、幾何学の世界で実り豊かな世界が見えてきた。それを宣言したのが、クラインの「エルランゲン・プログラム」であった。

　それまで、具体的な空間での物理学を支援するための数学が、「役に立つ」ことから脱却して、数学自身の数学に向かった。ルールから新しい空間を作るのは数学者の特権です。


　では、どのように空間を創造したらいいのか。

　近傍系から発想します。ローカルの点の周辺をオープンに広げていく。それらをつなげていって、一つの空間を創造する。それがローカルからグローバルを定義することになる。

　ローカルをつなげていくのが。連続性です。グローバルからローカルの関数を規定するのに、ローカルの各ポイントからグローバルの座標系への連続逆関数の集まりと定義すれば、ローカルにとって、グローバルが規定できる。

　この考えは、グローバリズムに悩んでいる社会の問題解決につながります。

　社会現象より先にロジックができれば、それを雛形にして、社会現象の先を読むことができる。数学での多様体の考え方と、テロに悩む国家を市民参画で平和にするものとは同じかもしれない。そんな予感がした。

（つづく）