第４章 上級ステップ（１）

（４）上級ステップ
　①「XY-wing」 の成立を調べる
　中級ステップまでは（１）マスに数を入れる　（２）候補数を消去する手筋、を考察し、一部例外（「２国同盟」）を除いて、ある候補数についての消去を考えました。更に複数の候補数を考える事とし、一つのユニット内を考察（「同盟」関係）しました。ここからは「幾つかのユニットに跨り、複数の候補数」について考えます。
　その手筋は沢山あります。問題解決に登場する事の多そうな「手筋」から順に紹介します。まず「XY-wing」です。「X-wing」が候補数一つについての「手筋」でしたから、複数のユニットの間で成立する「XY-wing」は「X-wing」とはまるで内容が違います。図１を見てください。


　　　　　　　　　　　図１
 「XY-wing」の一般的定義では無く、図１に即して”準定義”的な説明をします。マスｂ２に注目です。ここには候補数は２個｛x,y｝のみが入る事を図の様に表し、ｂ２＝｛xy}と表現します。その｛xy｝のマスと同一のユニット（ｂ行）の中のマスがｂ６＝｛xz｝で、かつ｛xy｝のマスと同一のユニット（２列）の中のマスをｄ２＝｛yz｝とします。この時ｂ６＝｛xz｝とｄ２＝｛yz｝の両方と同一ユニットを形成するマスが存在すれば（図では水色印のマスｄ６）、そのマスに候補数ｚは存在しない、言い方を変えれば、そのマスからｚを消去出来る、これが「XY-wing」の内容です。
　少し記号に拘れば、この事実を『zx-xy-yz』と表現し、真ん中の「xy」（のマス）を「核」と呼ぶ事があります。
　又マスｄ６の事を「ｂ６、ｄ２の両方のマスを見ることの出来る」マスと呼ぶ事もあります。何故この「手筋」が成立するか。説明は図２をご覧下さい。


　　　　　　　　　　　図２
　図２で仮にｄ６＝ｚ　と数が確定すれば、連鎖的にｂ６＝x、ｄ２＝y と決まり、ｂ２に入る数がなくなってしまいます。
　この「XY-wing」は次のような場面でもその成立条件を満たしていますから、結論として幾つかのマスからzを消去出来るわけですが、図３を見て、消去出来るマスを過不足なく指摘できますか。


　　　　　　　　　　　図２
　正解は図３を見てください。

　　　　　　　　　　図３
　　{xy}を核として『zx-xy-yz』の「XY-wing」が成立しますから、{xz}と{ｙｚ｝を見ることの出来る、図３の水色印のマスから、zを消去する事が出来ます。
　さて図４で、「XY-wing」が成立するか否かを調べる局面に立ち至ったとします。どう「XY-wing」は成立しているのでしょうか？
　解答を読む前にお考え頂いても結構ですし、読んだ後例題に挑戦して頂くのでも良いかと思います。（例題は次回のブログで）

　　　　　　　　　　　　　図４
　「XY-wing」攻略の戦略について書きます。
　「XY-wing」は発見が難しいと、”大海原で真珠を探す”事に譬えられますが、そんなことはありません。比較的簡単です。何故なら、候補数が２個のマスについてのみ考えれば良いからで、かなり限定して考察すれば良いからです。図４と図５の両方を見ながら、お読み下さい。

　　　　　　　　　　　　　図５
　マーちゃんは、ペア数の一覧を作ります。例えば｛3,2｝なるペア数は２３と認識し、ペア数を小さい順に並べます（図５左）
例えば１９（３）はペア数１９は３回登場するという意味で、この重要性は後述します。
　ペア数を小さい順に並べた後、１２と１３から出来るペア数２３がこの一覧の中に登場するか眺めます。ありません。
　　１２と１５のペア数から出来るペア数２５は一覧の中にありますから（１２　１５　２５）が「XY-wing」を形成する可能性ありとして図５の右の図に書き置きます。
　丁寧に、全ての場合について調べ尽くし、この組合せを作っていったところ、図の右のような組合せで「XY-wing」の可能である事が判明しました。
　次に、解いている問題用紙を用い、該当するマスの上にオセロ石を置き「XY-wing」の条件を満足しているか調べます。これらを調べるときに例えば１９のマスにオセロ石を置くときに、１９（３）ですから、１９の置き場所３通り全てを調べなければなりません。１９（３）はこの点の注意マークの意味もありました。
　さて、(１２　１５　２５）　（１２　１７　２７）　（１３　１７　３７）
（１３　１９　３９）の全てで「XY-wing」の成立する条件の配置は見出せません。「XY-wing」不成立ですが、最後に（２４　２５　４５）で「XY-wing」が成立している事に気が付き、ホッとします。図６を見てください。


　　　　　　　　　　　　図６
　『ａ１－ｃ２－ｇ２』で「XY-wing」の条件を満たしています。それらのマスで『５４－４２－２５』が「XY-wing」。よってａ１とｇ２を見る事の出来るマスｇ１（水色印マス）から５を消去出来ます。
　ｇ１＝｛３７｝となった結果、ｇ１＝ｈ２＝｛３７｝で「自明の２国関係」が成立しますから、ｈ３から７が消去でき、ｈ３＝２が確定し、後は、問題が堰を切ったように解決に向かいます。
　　　　　　　　　　　　　

　

第３章 中級ステップ（９）

（２）「候補数を消去する」手筋
　⑨「オセロ石」を用いる
　さて図１はｆ行で「自明の４国同盟」と「隠れた４国同盟」が成立する事を示すものです。ｉ行の考察に入る前に、ここで又「オセロ石」を用いて、視覚的に「４国同盟」を見抜く方法を紹介します。



　　　　　　　　　　　　　図１
　用意するものは図２の様な用紙で、各マスにはオセロ石を置ける程度の大きさのものを用意してください。
　図１のｆ行で、マスｆ１の候補数は｛４、５、７｝です。この事実に対応し、図２の１行（ａ行）の様に４、５、７列に石を置きます。（本当は黒面が上に来るのですが、この図では赤印をつけています）
　以下、ｆ２には候補数の｛３，４，５｝が存在する事柄に対しては、２行（ｂ行）の３列、４列、５列に石を置きます。ｆ３に候補数はありませんから３行（ｃ行）には石は置きません。以下ｆ９に対応して９行（ｉ行）の様に石を置き図２が完成します。この図を見ながら視覚的に考えようという訳ですが、若干省略が可能です。「自明の４国同盟」に登場するマスの候補数は４個以下です。候補数が５個以上のマスを考察する必要はありません。そこで候補数が５個以上のマスに相当する図２の行、ｄ行とｆ行とｉ行から石を取り除いた図３で考えます。


　　　　　　　　　　　　図２
　下の図３で上手く４行を選び、その４行に登場する数が４個！となる様な４行が存在するかを考えるわけです。それは、実は「Jerry  Fish」を探す事と同じではありませんか。比較的簡単に、ａ行（実はｆ１マス）、ｂ行（実はｆ２マス）、ｅ行（ｆ５マス）、ｈ行（実はｆ８マス）が「Jerry  Fish」を構成す事が読み取れると思います。
　「自明の４国同盟」は｛ｆ１、ｆ２、ｆ５、ｆ８｝で成立と言うわけです。


　　　　　　　　　　　　図３

　では「隠れた４国同盟」の成立はどうは。「隠れた４国同盟」に登場する候補数はそのユニットの中で４回以下と言う条件がありますから、登場する回数が５回以上の候補数は考える対象から外します。図２のオセロ石の配置から５回以上登場する候補数４と５に対応する４列と５列からオセロ石を取り除いた状態が図４です。
　図４で上手く４列を選び、その４列に登場する行（図４ではａ～ｉ行。実際はそれに対応すｆ１マス～ｆ９マス）が４個のものを見出すわけです。これまた「Jerry  Fish」の探索と同じです。列についての考察で「Jerry  Fish」を探すわけで、これまた容易に１列、６列、８列、９列が「Jerry  Fish」を構成し、登場する行はｄ行（実はｆ４マス）、ｆ行（実はｆ６マス）、ｇ行（実はｆ７マス）、ｉ行（実はｆ９マス）であることが分かると思います。
　｛ｆ４、ｆ６、ｆ７、ｆ９｝の４マスが「隠れた４国同盟」構成です。


　　　　　　　　　　　　図４
　さていよいよｉ行の考察です、図１のｉ１～ｉ８マスの候補数の存在に対応してオセロ石を置きます。図５の様になります。


　　　　　　　　　　　　　図５
　「自明の４国同盟」では５個以上の候補数の登場するマス（上の図ではｄ行）からオセロ石を取り除いた図６で、行についての「Jerry  Fish」を考察します。これにはかなり時間を要すると思いますが、視覚的にその成立が無い事が確かめられると思います。


　　　　　　　　　　　　図６
　最後に「隠れた４国同盟」の考察ですが、図５で５回以上登場する候補数はありませんから、削除する列は無く、図５そのものを対象にして、列についての考察で「Jerry  Fish」の成立を考察します。これもかなり時間が掛かることと思いますが、丁寧な視覚的観察により、「Jerry   Fish」不成立を確かめられる事と思います。
　一般的に言えばｆ行対応のオセロ石の状態図２や、ｉ行対応のオセロ石状態図５の、行と列の考察で「自明の４国同盟」と「隠れた４国同盟」が考察出来るわけで、「自明」と「隠れた」が統一的に考察出来ます。
　最後に９マス全部が未知のユニットはどう考察するのかと言う問題が残りますが、「自明の４国同盟」と「隠れた４国同盟」考察が、実は「５国同盟」の考察になっていることを指摘しておきます。「４国同盟」を超えて考察する必要は無い！のです。