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問題を解く時間を早くするには

なかなか解く時間が短くならない、という子どもたちがいるでしょう。

だからといって、急いで解かせると、まずできない。時間を限っても、勉強にはならないのです。

そこで・・・。

すべて問題をやるときに、時間を計る。ついでにそれを記録しておくと良いでしょう。

例えば、算数の問題を5題解くのにかかる時間を計って記録する。記録するだけで良いのです。

それでも、これまでの記録を見ていくと、だんだん短くなっていくのがわかる。

それを意識することで、次第に早くなるものなのです。

だから焦らせてはいけない。

まずはストップウォッチを用意して、解く時間を計ることから始めてください。


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合否がわかれそうな問題(電熱線)

こういう風に問題を出されると、子どもたちは混乱するでしょうね。条件が多くもないし、問題提示は文章だけ。
よく考えれば、まあ、解けそうですが。

ちょっと詳しく解説してみました。



電熱線A、B、Cがあります。これを電池につないで電流を流すと発熱し、ものを温めることができます。

それぞれを電池1個につなぎ、容器に入れた同じ量の水を同じ時間温めたところ、温度上昇の比は流れる電流の比と同じで1:2:4になりました。

また、それぞれの電熱線に電池を直列につなぎ、A、B、Cに流れる電流の大きさが等しくなるように、つなぐ電池の数を変えました。

そして、それぞれの電熱線で容器に入れた同じ量の水を同じ時間温めたところ、

温度上昇の比は4:2:1になりました。

電熱線に流れる電流の量は、直列につなぐ電池の個数に比例するものとして、以下の問いに答えなさい。

(1)Aに直列に8個の電池をつないだときの電流は、B、Cにそれぞれ何個の電池を直列につないだときの電流の量と同じでしょうか。


(2)Aに3個の電池を直列につないだときの温度上昇は、Aに1個の電池をつないだときの何倍でしょうか。


(3)Cに2個の電池を直列につないだときの温度上昇は、Aに何個の電池を直列につないだときの温度上昇と同じでしょうか。また、それはBに1個の電池をつないだときの温度上昇の何倍でしょうか。


(4)A、B、Cを並列につないで2個の電池を直列につなぎ、同じ量の水にいっぺんに入れたときの温度上昇は、Cに1個の電池をつないだときの温度上昇の何倍でしょうか。



電池1個をつないだときに、電流の比は1:2:4になった。

ということは同じ電圧がかかっているわけですから、

抵抗の比は1:1/2:1/4

ということです。つまり抵抗の比は逆に4:2:1になります。

発熱量の比は電流×電流×抵抗だから

1:2:4の電流が流れれば、発熱量の比は

A:B:C=1×1×4:2×2×2:4×4×1=4:8:16=1:2:4

になっているのです。

逆に同じ電流を流せば

1×1×4:1×1×2:1×1×1=4:2:1の発熱量になります。

で(1)ですが、Aに直列に8個の電池をつないだら8倍の電圧がかかるので、抵抗が【4】ですから(2)の電流が流れることになります。

Bは抵抗が【2】ですから(2)の電流を流すには4個を直列に並べればいい。

Cは抵抗が【1】ですから(2)の電流を流すには2個を直列に並べればいいということになります。

ここで抵抗を【1】とおき、電流は(1)とおいています。


(答え)B‥・4個 C…2個 

続いて(2)

電圧が3倍になったので、流れる電流も3倍です。抵抗は同じですから

電流×電流×抵抗なので3×3=9倍ということになります。

(答え) 9倍 

(3)ですがCの抵抗は【1】でした。そうすると2個の電池をつなぐと流れる電流は(2)。したがって発熱は2×2×1=4です。

Aの抵抗は【4】ですから流れる電流は(1)で同じ発熱になります。

抵抗が【4】ですから(1)の電流を流すためには4倍の電圧が必要ですね。

したがって電池は4個いります。

Bに1個の電池をつなぐとBの抵抗は【2】ですから流れる電流は(1/2)です。

発熱量は1/2×1/2×2=1/2となります。

4÷1/2=8倍が答えになりますね。

(答え)4個 8倍 

(4)ですが、A、B、Cを並列につないで、それぞれ2個の電池を直列につなぐと

Aは抵抗が【4】ですから流れる電流は1/2、発熱量は1/2×1/2×4=1
です。

Bは抵抗が【2】ですから流れる電流は1、発熱量は1×1×2=2
です。

Cは抵抗が【1】ですから、流れる電流は2 発熱量は2×2×1=4

この合計は1+2+4=7となります。

Cに1個の場合はCの抵抗が【1】ですから、流れる電流は1

発熱量は1×1×1=1なので

7÷1=7倍です。

(答え)7倍

と解説をすればこうなるのですが、今の段階ではなかなか難しいかもしれません。

でも、力を見るのにはなかなかいい問題だと思います。文章だけで、しかも条件は2つしか提示しない。

でもこれだけの問題内容。

できれば相当力がついたといえるでしょう。あるレベル以上の戦いなら、合否を分けるかな、という感じですね。



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何かきっかけはないのか?

平成18年慶應湘南の問題。

まずは問題に挑戦してみてください。


1から16の番号が書かれた16枚のパネルが、図1のようにならんでいる。ひとつひとつのパネルは、次のようなしくみでランプが点灯するようになっている。



・ランプは、ついているか消えているかのどちらかである。番号に○がついているパネルは、ランプがついていることにする。
                       
・ひとつのパネルにふれると、それをふくむ縦と横の列にあるすべてのランプが、ついているものは消え、消えているものはつく。
  たとえば、図2の状態で7番のパネルにふれると、図3のようになる。



(1)図1を最初の状態として、1から5まで順にパネルにふれたとき、ランプがついているパネルの番号に○をつけなさい。
(2)図1を最初の状態として、1、2、3、 ‥・の順にパネルにふれていくと、図4のような状態になった。何番のパネルまでふれましたか。

(3)図2を最初の状態として、1、3、5、‥‥‥、15の順に奇数番号のパネルにふれたとき、ランプがついているパネルの番号に○をつけなさい。


昨日の過去問特訓で取り上げた問題ですが、多くの子どもたちは作業を始めてしまいます。これは最後の問題なので、快調に最後の問題に取り組んで、「ええい、やってしまおうか」と思いがちなのですが。

範囲で言えば規則性の問題になるのではないかという予想はつくのですが、ではいったいどんな規則が?ということになるでしょう。

(1)はまあ、作業をしていい問題だと思うのですが、その作業の中から何か規則を見つけられないか、ということを考えながらやる必要がありますね。

1を押せば、234と15913が○になります。
2を押せば、1234と61014が変わる。
となると4まで押したところで1234は偶数回おされるので、消えている。
一方残りの5~16までは1回しか変わらないのでランプが点灯しています。

で5を押せば1が○234は× 5678は× 9が× 101112は○
13が× 141516は○となるので以下のようになります。



(2)さて図4を見てみると、左上3列3行がついています。そこで、16番まですべて押したとするとどうなるだろうかと考えますと、7回押される。自分を含めて同じ行、同じ列にいる数は7個あるわけですから、奇数回おされるので、最後まで押されれば全部つくわけです。ということは、図4はその1個前。すなわち16を押せば全部つく状態になっているわけだから、15番まで押したことになります。

(3)奇数だけ押すのですから、奇数と偶数に分けて考えてみようという発想がおこれば大したものです。

たとえば1は同じ列行に1を含めて5個の奇数がありますから、5回変わるので、奇数回ですから消えます。2は同じ列行に13しかないので変わりません。
そうです。奇数は同じ列行に自分を含めて5個の奇数があり、偶数は自分の列行に2個の奇数があるので、奇数は変わり、偶数は変化がないということになるわけですね。

あとはそのルールで変えていくので、答えは以下のようになります。



単に書き出すという作業も大事なことなのですが、問題はそれだけが解法というわけではない。何かある、規則がある。つまりきっかけをどう考えるか、ということなのです。

私がパターンで問題を解くことを嫌うのは、このためです。

もちろん算数の問題にも知識が必要で、公式を覚えることも大事です。しかし、今の入試問題はそれをどう使うのか、どう考えるのかということが必要で、だからたくさんやりすぎるのはいけない。

たくさんの問題を解くだけで疲れてしまえば、こういう問題を考える気にならないでしょう。

発想力というか、突破口はひとつの問題にじっくり取り組むことで作られてくるものなのです。
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3:4:5

中学入試では当然、三平方の定理は使えません。

しかし、3:4:5という直角三角形は良く使われます。整数の比で使えるものとすれば、あとは5:12:13ですが、こちらの頻度の方はあまり高くない。
ちなみに、その次は7:24:25 次が9:40:41です。(規則があります。奇数の積を1の差でわければいいわけですが。)

で、こんな問題に使われるのです。

下の図の三角柱は底面が直角二等辺三角形、側面がすべて長方形です。これを3点A、C、Pを通る平面で切ります。
次の問いに答えなさい。
ただし、AC=8cm、AD=6cm、BP=PEです。
(1)三角すいABCPの体積を求めなさい。
(2)切り口の三角形ACPの面積を求めなさい。
(3)三角すいABCPの、底面を三角形ACPとしたときの高さを求めなさい。



2009年城北中学





ACの中点をQとして、Bと結びます。
(1)は三角形ABCが直角二等辺三角形なので、BQは4cm
したがって三角形ABCの面積は8×4×1/2=16
三角錐ABCPは16×3×1/3=16cm3になります。

(2)さてここが問題。
BQが4cmであれば、BPが3cmなので三角形BPQは3:4:5の直角三角形になります。したがってPQ=5cm
ACが8cmですから三角形ACPの面積は8×5÷2=20cm2になります。
空間の部分に3:4:5の直角三角形を見つけることができるか?という問題ですね。

(3)は(2)が出れば簡単。
(1)が16cm3ですから 20×高さ×1/3=16なので16×3÷20=2.4cmと求めることができますね。

気がつけば簡単でしょうが、やはり空間は得手不得手がはっきりするようです。空間自体をしっかり把握するということはなかなか難しいことなので、練習は必要でしょう。立体の切断も、最近良く出題されるようになりましたから、要注意です。




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ちょっと難しい書き取り

最近の漢字の書き取り問題は、それほど難しいと思うことはないのですが、たまにこんな学校もあります。

2009年慶應中等部

(1)寺院に自分の財産をキシャする。
(2)医はジンジュツである。
(3)キハツ性の薬品。
(4)タンペイキュウな物言いをする。
(5)彼ほどのコウズカはいない。

例年、知識が細かいとされる学校ですが、大人でも???と思う問題かもしれませんね。学校によって、書き取りのレベルは明らかに違いがあります。過去問で確認してみてください。

ちなみに答えは
(1)喜捨 (2)仁術 (3)揮発 (4)短兵急 (5)好事家

です。




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n進法

n進法は教えている塾とそうでない塾があるようです。
私自身はしっかり教えている方ですが、n進法はいろいろなところで利用法があります。
例えばこんな問題はどうでしょうか。



2007年の聖光の問題

0、1、2、3、5、7、10、11、12、13、15、17、20・・・のように0、1、2、3、5、7だけで作られる数を小さい順に並べます。2007は何番目の数ですか。



0以外の数が5つあるので6進法として考えます。
0=0、1=1、2=2、3=3、5=4、7=5と考えればいいことになります。

2007は上のルールにあてはめると2005になります。

6進法ですから1の位は1 10進法の10の位は6の位 10進法の100の位は6×6=36の位、10進法の1000の位は6×6×6=216の位になります。
したがって216×2+5=432+5=437 

ただしこの数列は0から始まっているので437+1=438番目 
                              (答え)438番目

規則性の問題が、n進法で簡単に解けてしまうということは多々あります。武器としては持っていた方がいいと思いますね。




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動く歩道

流水算から派生して、むしろ最近は動く歩道を使った速さの問題を見かけます。

これは今年の暁星の問題



しじみさんは毎日、駅にある動く歩道を利用します。昨日動く歩道の上を一定の速さであるいたところ、動く歩道の始まりから終わりまでちょうど32歩でした。今日、同じ動く歩道を1.5倍の速さで歩いたところ、動く歩道の始まりから終わりまでちょうど36歩でした。また歩く方向と動く歩道の進む方向は同じであり、動く歩道の速さとしじみさんの歩幅はいつも一定とします。次の問いに答えなさい。
(1)動く歩道の始まりから終わりまで歩くのにかかった時間について昨日と今日の時間の比を求めなさい。
(2)動く歩道を停止させると、しじみさんは動く歩道の始まりから終わりまで何歩であるきますか。



とっかかりが難しい問題かもしれません。速さが1.5倍になったのに、しじみさんの歩数が増えているのは変だ、などと考えてしまうと先が見えなくなってしまいますね。

32歩と36歩について考えてみましょう。しじみさんの歩幅は変わらないのだから、昨日と今日、じしみさんが歩いた距離(動く歩道が動いた距離は加えません。)は単純に32:36=8:9です。しかし、速さの比は2:3だったので、かかる時間の比は8÷2:9÷3=4:3で、つまり昨日かかった時間と今日かかった時間は4:3だとわかれば、あとは簡単かもしれません。これが(1)の答え。

そうすると、昨日動く歩道は【4】の距離をうごき、今日は【3】だったということになります。
【4】+32歩=【3】+36歩ですから【1】=4歩ということになるので、【4】はしみじさんの16歩分になります。したがって動く歩道が止まればしじみさんは32+16=48歩でいけることになるのです。

当然のことながら、しじみさんが速さを1.5倍にしても動く歩道の速さが加わっているので、かかる時間が2/3倍になりません。ただし、動いた距離の比は8:9であるといことがわかれば、それを速さの比で割って、かかる時間の比を出すことはできるという問題でした。





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書き出すことも大事、ただそればかりでもいけない

今年の麻布の問題です。



ボールが48個あります。これらのボールを以下の条件1、2にあてはまるように5つの箱に入れることにします。
(条件1)どの箱にもボールを5個以上入れます。
(条件2)どの2つの箱についても、入っているボールの公約数は1だけです。このとき、5つの箱に入っているボールの数の組をすべて答えなさい。ただ、それぞれの場合に、入っている数が小さいものから順に答えの欄に書きなさい。また、答えの欄をすべて使うとは限りません。



とこの問題を見て、闇雲に書き出しても時間ばかりかかります。入学試験ですから、制限時間があるわけで、書き出すとはいっても、ある程度論理的なことを考えていかないといけない。

5つの数で、数の公約数が1になる、とすれば素数をイメージするかもしれませんね。しかし素数はすべて奇数である。奇数が5つあって、48という偶数にはならない。だから奇数は4つ、偶数は1つという組み合わせでなければならないのです。
奇数2つ、偶数3つはあてはまりません。偶数同士で公約数2が出てしまうからですね。

そうなると5以上の奇数4つと偶数1つという条件で書き出していく。
(5、6、7、11、19) (5、6、7、13、17)(5、7、8、9、19)(5、7、8、11、17)(5、7、9、11、16)(5、7、11、12、13)(7、8、9、11、13)の6つが答えになるわけです。

このときも左から右へ必ず大きくすること。
まず5を決めて、次が6の場合、次の奇数が7とすれば2つできます。
次に5を決めて7を決める、次に偶数8を置いて、というように考えて重複をしないようにすればいい。

いずれにしても書き出さなければいけない問題ではありますが、当然何かヒントがある。そのヒントを考えていくことが問題のとりかかりには重要です。勢い良く書き出すという子もいます。何もやらないよりはいいが、しかし、まあ数分は考えてみることも大事だということですね。




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台風

昨日、気象がテーマの学習をしました。

その問題の中で、こんなものがありました。

南に開いている湾の場合、その湾のどちら側を台風が通ると、被害が大きくなりますか。

ア 東 イ 西 ウ 南 エ 北



低気圧は上昇気流です。気圧が低いわけですから、まわりから空気を吸い込みます。そして、真ん中まで空気が集まるとそれが、上昇していく。そのとき、海から水分、水蒸気を巻き上げていき、大きな雨雲を作ります。

図は、台風の進路にあたってどのように回転するかを表していますが、北半球では低気圧が反時計まわりに回転するので、図のようになります。

台風の場合、右側(東側)の風は台風の進行するスピードと風が同じ方向を向くため、勢力が強くなります。さらに南に湾がひろがっている場合、台風の東側はこの南よりの方向から非常に強い風が吹き込み、海水が湾の奥に吹き寄せられるために、高潮が発生しやすくなります。

したがって湾の西側を通ると、台風の被害は大きくなるということなのです。

答えは(イ)になります。

この典型的な例が1959年の伊勢湾台風ですね。伊勢湾台風は、じつは紀伊半島をまっすぐ北上したため、伊勢湾の西側を通ることになり、上記のような現象から、被害が大きくなったのです。


まもなく台風シーズですが、単に天気予報をみるだけでなく、気象のメカニズムを考えてみる機会にしてください。





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生物にも計算問題は出る

生物や人体の問題でも計算問題は出題されています。

例えば

体重40kgのヒトにおいて、1回の拍動で心臓から60cm3の血液が押し出され、またそのヒトの脈拍が1分間に80回であるとした場合、血液は平均して1時間あたり何回からだの中を回りますか。ただし、40kgのヒトのからだ全体の血液量はおよそ3リットルです。

60cm3が1分間に80回とすると1時間では
60×80×60=288000cm3押し出されていきます。つまりこれは288リットルですから
288÷3=96回と計算することができます。

問題自体は難しいものではありませんが、人体も知識ばかりが出るわけではありませんから、しっかり問題を読んで冷静に対応することが肝心でしょう。

これは頌栄の問題ですが、呼吸の息の中の酸素の量を計算する問題も入っていました。練習が必要ですね。




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