熱力学_たかはしけいが統計力学までお伝えする物理会

　Google drive 熱力学_物理会

　高校物理、高校数学、微分方程式、ベクトル解析を前提として、YouTube上で熱力学について21回にわたって説明した板書ノートのリンクです↑。2022年10月17日から2023年4月26日にかけて講義しました。
　著作権は髙橋慧にあります　© 2024 Kei Takahashi

　主に、熱力学 — 現代的な視点から - 田崎 晴明 (著)の第2-7章を教科書として使いました。
　他に参考としたのは、熱力学の基礎 第2版 I 熱力学の基本構造 - 清水 明 (著)。

　こちらのファイルに関する質問や指摘、コメントに関しては、実名による投稿のみ受け付けております。(匿名の場合はコメントを削除します)
　メール(soudan.atamanonaka.2.718_attoma-ku_gmail.com)やTwitterのDM(@KayT0309)については匿名でも構いませんが、必ずしも返信するとは限りませんのでご了承ください。

【目標】
　平衡状態、第二法則、Bornの熱力学的正方形を理解する。

【各回の概要】
　1. 高校の復習と方針
　気体分子運動論、第一法則、マイヤーの公式を確認。

　2. 偏微分
　熱力学でよく使う偏微分、全微分を確認。

　3. 偏微分続き、系の種類、示量示強
　等温操作と断熱操作について概略を説明。

　4. 熱機関、平衡状態
　熱機関の定義。平衡状態の説明、相加変数、示量変数、示強変数の定義。

　5. 平衡状態、操作、ケルビン
　等温操作の詳細な内容へ(3章)。ケルビンの原理を経験則として導入。

　6. ケルビンの原理続き、最大仕事
　エネルギー保存則を復習。最大仕事の原理を結果として紹介し、最大仕事の性質から示量性を確認。

　7. Helmholtz自由エネルギー、圧力
　最大仕事からHelmholtzの自由エネルギーを定義し、その性質を理解した。また最大仕事と体積変化との関係から圧力を記述。

　8. 断熱操作とエネルギー
　断熱操作の詳細な内容へ(4章)。系の種類も確認。

　9. 断熱続き、エネルギー
　エネルギー保存則の要請。断熱仕事から内部エネルギーを定義。

　10. エネ続き、理想気体例
　定積熱容量の定義。理想気体の例を確認。

　11. 熱導入、カルノー定理
　熱の導入(5章)。カルノーの定理を紹介。一部を証明。

　12. カルノーサイクル、カルノー定理証明
　カルノーサイクル紹介。カルノーの定理をこれまでの等温準静操作、断熱準静操作、ケルビンの原理から示した。

　13. 熱効率、クラウジウスの不等式
　熱機関の定義、クラウジウスの不等式を紹介。冷却効果について(清水本11章)

　14. 暖房、エントロピー導入
　暖房効果について。エントロピーの導入を行った(6章へ)。

　15. エントロピーと温度
　エントロピーの温度依存性について証明した。

　16. エントロピーと可逆性へ
　理想気体の例。Plankの原理からエントロピー増大則を説明。エントロピー原理。

　17. エントロピー原理、クラウジウス、ヘルムホルツへ
　エントロピー原理の証明。クラウジウス流のエントロピー。エントロピー増大則(最大仕事の原理)を導出。

　18. ルジャンドル変換
　ルジャンドル変換について詳しく説明(清水本の12章)。

　19. 三重点と完全な熱力学関数
　ルジャンドル変換の続き。三重点についての説明。多変数関数の凸性について。

　20. エントロピーの要請
　エントロピーの要請の説明(清水本3章)。エントロピーとエネルギーの凸性。

　21. 自由エネルギー、エンタルピー
　ルジャンドル変換による導出。化学ポテンシャルなど(7章)　

【総評・反省】
　熱力学を説明するかーとなったときに、「まぁフェルミとかでやる？なんやったらアトキンスとかでやる？」とも思ったんだけど、構成を考えてみると俺個人がつまらないなぁと思ってしまい、「俺がやるならやっぱり田崎本か清水本が良いか」と思って、「けど清水本だといきなりエントロピーの定義からだもんなぁ(ギブス流)、温度が天下り的に降ってくるほうが直観的には良いだろう。カルノーの定理やカルノーサイクルも詳しいほうが良いし」と思って田崎本をメインにした。熱機関やルジャンドル変換などはむしろ清水本のが分かりやすい(と俺は思っている)のでそちらを適宜使いつつ、最終的にエントロピーの要請を清水本から引っ張ってきたかたちになった。
　田崎本ならすげぇ分かりやすいだろう！と思ったが、「熱力学なのに熱がずっと出てこない」と思った聴講者は多かったらしく(ゆーて清水本でも7章なんだけどなぁ)、なかなか難しいところだ。

　やはり、熱力学をまっさらな状態からやるなら、いきなり田崎本ではきついのかしら？他の本でなんとなく熱力学を読んでから田崎本、清水本と論理を追えば良いと思うが、なかなか他にも専門がある人にはきついところがあるのかもしれない。だが「他の本でなんとなく」というのを、俺を通してみんなでやっても仕方ないと思うので、多少難しくても田崎本、清水本で講義されたほうが、結果的には有意義だと思っている(ホントは俺がつまらないだけな気もするけども笑)。

　終わってみて思うことだけど、相転移の項目を無視した場合、このやり方がある程度の厳密性を保ったままに最短なんじゃないかと思う。
　最後Bornの熱力学的正方形を紹介したときに「色々やったけど、この四角形にまとまっちゃうんですか。すげえ」とコメントをもらったのは嬉しかった(第二法則も忘れないでね)。まぁまた化学熱力学や復習をするにあたって、何が大事かの地図を持っていれば、この範囲で何をやっても迷うことは著しく少なくなるのではないかと思う。その意味で、一般的かどうかは別としても、ルジャンドル変換をきちっとやることは熱力学で重要だと思っている。

線形代数_たかはしけいが統計力学までお伝えする物理会

　Google drive 線形代数_物理会

　高校物理、高校数学、微分方程式を前提として、YouTube上で線形代数について3回にわたって説明した板書ノートのリンクです↑。2022年8月31日から2022年9月14日にかけて講義しました。
　著作権は髙橋慧にあります　© 2024 Kei Takahashi

　主に、行列入門 - 文部科学省を教科書として使いました。
　他に参考とさせていただいたのは、逆行列の求め方。例題と3つのステップから分かる逆行列計算のコツ - アタリマエ！、うさぎでもわかる微分方程式　Part12　対角化を用いた連立微分方程式の解き方と指数行列（演習編）などです。

　こちらのファイルに関する質問や指摘、コメントに関しては、実名による投稿のみ受け付けております。(匿名の場合はコメントを削除します)
　メール(soudan.atamanonaka.2.718_attoma-ku_gmail.com)やTwitterのDM(@KayT0309)については匿名でも構いませんが、必ずしも返信するとは限りませんのでご了承ください。

【目標】
　物理で出てくる行列の基本的な計算できる状態になる。

【各回の概要】
　1. 行列定義、和と積、ブラケット
　上記についての基本的な確認、転置とエルミート共役についても定義した。

　2. 掃き出し法、行列式、逆行列
　計算できるようにすることが目的であるので、数学的な厳密さに立ち入らずに、演習を中心とした。

　3. 対角化と微分方程式
　固有値固有ベクトルと対角化。微分方程式との関係について理解する。

【総評・反省】
　線形代数って計算できるようにすれば良くね？という雑な信念のもと、3回しかやりませんでした。いやさすがにそれはまずいでしょ、と思わなくもないけど、意外とその先で困るところは少なかったです。
　量子力学をやるにあたって、重要なところだけに限れば、たった3回でなんとかなるのでは？と思っていたけれど、聴講者としては「いや無謀すぎる」とか思ったかしら。固有値・固有ベクトルと対角化や微分方程式との関係など、まずきちんと計算できることが重要で、そこを置き去りにして数学的な厳密さにこだわっても仕方ないのでは、と思ったりはする(物理をやる上ではね)。

　ただ、内積空間とかベクトル空間とかを一切やらないのは、またそれはそれでどうなんだろうかと思わなくもないけど…、ゆーて量子論で出てくるのは無限次元の複素ヒルベルト空間だし、そんなにそれらをやっているかどうかで理解度合いが変わらないと思うんだよなぁ。
　あと、逆行列の計算についても掃き出し法しかやっていないです。余因子行列や余因子展開もやっておらず、まぁでも計算できれば良いのではないだろうか、という信念のもと（一応、用語やなんとなくは紹介していますが）。必要になったら学べるだろうしなと。

　それよりも、対角化をするということは方程式を解くことに他ならないことを理解していることのほうが大事だと思うので、残していた連立微分方程式を解くことを最後に持ってきました。
　まぁ、もう一度やるなら、流石にもうちょっとちゃんとやるかなぁと思いつつ、、でも線形代数の演習教えるのって、一番面白くないなというのが感想です笑。

電磁気学_たかはしけいが統計力学までお伝えする物理会

　Google drive 電磁気学_物理会

　高校物理、高校数学、微分方程式、ベクトル解析を前提として、YouTube上で電磁気学について18回にわたって説明した板書ノートのリンクです↑。2022年6月15日から2022年12月15日にかけて講義しました。
　著作権は髙橋慧にあります　© 2024 Kei Takahashi

　主に、Introduction to Electrodynamics - David J. Griffiths (著) 3rd. editionの第2章、第5章、第7章、第3章を教科書として使いました。リンク先は4th editionです。
　また日本語版はこちら。
　他に参考としたのは、物理入門コース/演習 例解 電磁気学演習 (著者 長岡洋介, 丹慶勝市)、詳解電磁気学演習 (著書 後藤 憲一、編集 山崎 修一郎)など。

　こちらのファイルに関する質問や指摘、コメントに関しては、実名による投稿のみ受け付けております。(匿名の場合はコメントを削除します)
　メール(soudan.atamanonaka.2.718_attoma-ku_gmail.com)やTwitterのDM(@KayT0309)については匿名でも構いませんが、必ずしも返信するとは限りませんのでご了承ください。

【目標】
　真空中のMaxwell方程式を理解する。

【各回の概要】
　1. 概要とか歴史
　イントロダクションとして簡単に歴史を追った。

　2. クーロンの法則
　2章から。クーロンの法則をベクトル解析の言葉で書いた。電場の導入と、連続の議論。

　3. クーロンの法則の練習
　クーロンの法則を利用して簡単な計算問題を解いた。球殻に一様に分布した電荷の電場はそれなりに計算が大変だが、演習もかねて行った。

　4. ガウスの法則の導入と練習
　ガウスの法則について、微分型・積分型の両方を導いた。

　5. Gaussの法則練習
　クーロンの法則では大変な計算もガウスの法則を使うととても簡単に使えることを理解する。

　6. curlE、電位
　Curl of Eでファラデーの電磁誘導の法則の特別な場合を理解。また、電位を導入した。

　7. 電荷→電位、静電エネルギー
　電位の計算を行い、静電エネルギーの導入を行った。

　8. 静電エネルギー、まとめ
　演習を行い、Griffithの2章のまとめをおこなった。

　9. ローレンツ力、電流
　5章へ。磁場の定義として、ローレンツ力、電流を導入した。

　10. 連続の式、ビオサバール
　電磁気だけでなく流体力学や量子論でも重要な連続の式を導入。クーロンの法則と対になることを意識しつつ、ビオサバールの法則を説明した。

　11. ビオサバール例、アンペールの法則
　アンペールの法則、微分型・積分型で導入。

　12. アンペールの法則応用
　ガウスの法則と同様に、磁場を簡単に計算できる手法としてアンペールの法則の演習を行った。

　13. ベクトルポテンシャル
　演習の続き、これまでの比較やまとめ。さらにベクトルポテンシャルを導入して、図示して解釈した。

　14. 磁場まとめ、多重極展開
　磁場のまとめおよび、３章の多重極展開について簡単に解説した。この考え方はその後にも非常に重要。

　15. オームの法則と線形応答
　7章に入り、オームの法則を説明した。
　線形応答についての説明は、清水明先生の講義ノートを参考にしました。

　16. EMF, motional EMF
　起電力を導入し、力学とのアナロジーを行った。

　17. Flux Rule, ファラデーの法則、誘導電場
　上記について導入し、Inducedな電場についてのMaxwell方程式をまとめ、演習した。

　18. Maxwell修正、電磁波、Lorentz変換
　アンペールの法則についてMaxwell修正を説明し、相対論の導入として、電磁波とローレンツ変換の基本を説明した。

【総評・反省】
　論理的に考えると「統計力学を理解するのに、そんなに電磁気学って必要かしら？」と思ったりもしたのだけど、直観的には「いや、めちゃめちゃ必要やろ」と思ったりして、大きい目的を見失いがちだったのが最大の反省かもしれない。
　やった後に思うこととしては、光が電磁波であることを理解する上では重要だし、三次元空間の計算に慣れるってのも結構大きなウェートを占めている重要なことだと思う。それらをなんとなくそれっぽく言うと、「古典物理学の柱としての電磁気学を理解することで、物理学的な考え方の基本を習得する」とか、そんな言い方になるんだろうけども。
　まぁあとGriffithを使うことで英語の物理の教科書に慣れるってのもあるんだけど、本当は俺が学部時代にGriffithが指定教科書で、読みまくっていたから片手間でもかなりちゃんと説明できるという理由も大きい笑。電磁気学を習ったあの頃は、ちょうど転学部した直後で1年前には受験では入れていないわけで(東京理科大学の理工学部物理学科→理学部第一部物理学科です)、胸を張って自信が持てなかった部分も大きい。それで指定された教科書が洋書であれば、ガチらないと留年もありえるのでは？と本気で思っていた。友達も少ない時期だったしね。そういう色々なことを思い出したのも、これをやってよかったことの一つだ。まだ学部時代の授業ログも残っていて、正直これもそこそこ観ました。

　19世紀に完成した電磁気学は、俺はなるべく歴史順にやったほうが良いと思っていて(研究のヒントにもなりやすいし)、Maxwell方程式→Coulomb、Bio-Savartのやり方よりも初学者には良いと思っている。まぁどーせ復習しないと分からないので、2週目はそっちでやれば良いのでは？という気持ちもあるが。
　真空中に限って説明したが、本当は物質中の電磁気学をやらないと、あまり実用性はない気もしていて、いつかそれはそれでやりたいなと思っているが、真空中と同じくらいの時間がかかるからなぁー、という感じ。Griffithの読み方として、(これも習ったそのままだが)2章「真空中の電場」→5章「真空中の磁場」→7章「まとめ」→3章「スペシャルテクニック」→4章「物質中の電場」→5章のベクトルポテンシャルの多重極展開、6章「物質中の磁場」→7章「まとめ」が良いと思う。これが最も理解しやすいし、早い。

　あと、やっぱ俺、電磁気学は好きなほうだなと思った。知っている範囲をお伝えするのは正直苦痛なところもあるが、ここに関しては、自分として新たな学びは殆どなかったが、素直に楽しかった。

力学・解析力学_たかはしけいが統計力学までお伝えする物理会

　Google drive 力学・解析力学_物理会

　高校物理、高校数学、微分方程式、ベクトル解析を前提として、YouTube上で力学・解析力学について15回にわたって説明した板書ノートのリンクです↑。2022年5月30日から2022年10月11日にかけて講義しました。
　著作権は髙橋慧にあります　© 2024 Kei Takahashi

　主に、解析力学・量子論 第２版 (著者 須藤 靖)を教科書として使いました。
　他の参考文献として、岩波基礎物理シリーズ 力学・解析力学 (著者 阿部 龍蔵)、詳解 物理応用数学演習 - 後藤 憲一 共編・ 山本 邦夫 共編・ 神吉 健 共編を用いた。

　こちらのファイルに関する質問や指摘、コメントに関しては、実名による投稿のみ受け付けております。(匿名の場合はコメントを削除します)
　メール(soudan.atamanonaka.2.718_attoma-ku_gmail.com)やTwitterのDM(@KayT0309)については匿名でも構いませんが、必ずしも返信するとは限りませんのでご了承ください。

【目標】
　Newton力学、Lagrange形式、Hamilton形式のそれぞれを理解する。

【各回の概要】
　1. 仕事とポテンシャル
　力学が適応される範囲について。仕事、ポテンシャルの導入。

　2. やりたいこと、仕事の定義とか
　前回の補足、仕事の続き

　3. 仕事続き、束縛条件
　仕事の演習の続き、質点系の自由度として束縛条件の説明を行った。仮想仕事の原理についても理解した。

　4. ラグランジュの未定乗数法、運動の三法則
　仮想仕事の原理についてラグランジュの未定乗数法を用いて、平衡点を求める演習を行う。
　運動の三法則をまとめて、ニュートン力学はここまで。

　5. ガリレイ変換、ラグランジュ方程式導入
　ニュートンの運動方程式を極座標で書き下し、運動方程式は極座標では煩雑な式になることを確認。
　デカルト座標系でラグランジュ方程式を導入した。

　6. ラグランジュ方程式導入
　ラグランジュ方程式の共変性について理解した。

　7. 保存則と角運動量
　ニュートン力学に戻り、各保存則についてまとめた。

　8. 角運動量演習、角運動量の一般化など
　角運動量保存則導入と演習。n個の質点系へと一般化を行った。

　9. 変分法
　最小作用の原理からラグランジュ方程式を導出するため、変分法を説明。この回は物理数学の範囲ではある。上記した数学演習の演習書を使用した。

　10. 変分法の練習
　変分法を使った練習問題を解いた。この回も物理数学の範囲である。上記した数学演習の演習書を使用した。

　11. 最小作用の原理、ニュートン力学導出
　変分法を用いて最小作用の原理からラグランジュ方程式を導出。第一法則や質量などNewton力学を導出した。

　12. 単振り子、エネルギー保存導出
　単振り子の例として、Newton力学とLagrange形式の2通りで説明。一般化運動量を定義し、エネルギー保存則を導出し、Hamiltonianを導入した。

　13. 各保存則、ネーターの定理
　対称性から各保存則を導出。それらを一般化するネーターの定理を紹介した。

　14. Hamilton形式の導入とLegendre変換
　正準方程式、Hamilton形式の導入。また、Legendre変換の説明を行った。(cf. 包絡線)

　15. Legendre変換続き、ポアソン括弧
　ポアソン括弧を導入し、これまでのまとめを行った。

【総評・反省】
　「力学？知ってるよ。早く解析力学やれよ」というのが、19歳大学1年生の私の一番最初の印象だった。
　最近は微積物理とか呼ぶらしいが、微分積分によってニュートン力学をやってしまおうというのが受験界隈では流行っているので、まぁじゃああんまりそこはやらなくても良いかと思って、ニュートン力学を最小限で説明し、すぐに解析力学の分野に入った。高校生の頃からやたらに微積を使って物理学をやるのは私は反対であると表明しているはずなのだが…、我ながらなんともご都合主義な予定の組み方である。
　本会においてニュートン力学で取り扱わなかった範囲として、回転座標系や慣性モーメントと剛体などかなり重要な部分を飛ばしてしまった。けれど正直、その後にはそんなに影響しなかったと思う。まぁ統計力学までやるにあたってはそんなに必要ないかとも思う。

　解析力学に入って、正直この辺りから、割と私が「最短で良いとは思いつつも、とはいえ俺が説明しているわけだから、ここはちょっと厳密にしないと」ということが増えた気がする。聴講者のレベルをもう少し考えて、n個の質点系にこだわらなくても良かった気もする。(が、個人的には良いまとめになったし、勉強になった部分もあった笑)

　量子力学をやるときに「え、ハミルトニアンってなんだよ」ってならなければそれで良い気もするが、とはいえ、その意味とか必要性とかを古典力学の範囲で知っていることは必要だと思うので、そこそこ詳しく説明したのだが、実際に量子力学に入ったときに「あー、正準変換説明してなかったわー」と何回か思ったのはちょっと反省点。
　この回、ずっと「ぶっちゃけこれだけできれば良いじゃん！」と「とはいえ、ここは詳しくやるか」のせめぎ合いなのだが、それが(最初だからか)一番きつかったのが力学・解析力学であったように思う。

微分方程式_たかはしけいが統計力学までお伝えする物理会

　Google drive 微分方程式_物理会

　高校物理、高校数学を前提として、YouTube上で微分方程式について9回にわたって説明した板書ノートのリンクです↑。2022年3月9日から2022年5月12日にかけて講義しました。
　著作権は髙橋慧にあります　© 2024 Kei Takahashi

　特に教科書は用いていませんが、以下を参考にしました。
　工業大学生ももやまのうさぎ塾
　力学・解析力学 (阿部 龍蔵著) 岩波書店　

　こちらのファイルに関する質問や指摘、コメントに関しては、実名による投稿のみ受け付けております。(匿名の場合はコメントを削除します)
　メール(soudan.atamanonaka.2.718_attoma-ku_gmail.com)やTwitterのDM(@KayT0309)については匿名でも構いませんが、必ずしも返信するとは限りませんのでご了承ください。

【目標】
　物理学でよく出てくる微分方程式を解けるようにする。数学的な厳密性に立ち入らず、解けるべき微分方程式を解けることを目的とする。
　後半は振動論の基礎を理解することを目的とする。

【各回の概要】
　1. 一階の微分方程式-積分因子法とか
　微分方程式とはどんなものか導入。それが解けることのご利益を紹介。変数分離、積分因子法などを自在に使えるように。

　2. 一階の続き、定数変化法など
　一階の斉次の一般解。非斉次について定数変化法。特殊解と一般解。

　3. 一階の演習、ロジスティック方程式、一階まとめ
　一階の演習を行い。具体例としてロジスティック方程式を扱った。漸化式と微分方程式の類似性。

　4. 完全系と級数展開、オイラーの公式
　完全系や直交とはどのようなものか。マクローリン展開など。三角関数の再定義。

　5. マクローリン展開、双曲線関数、二階導入
　マクローリン展開続き。双曲線関数のグラフの概形。二階の微分方程式導入。

　6. 二階斉次証明、非斉次の解法と証明
　二階についても、非斉次の一般解＝非斉次の特殊解＋斉次の一般解が成り立つことを理解。

　7. 二階非斉次の具体例、単振動
　ここまでで微分方程式の具体的な解法は終了。単振動の具体例。相空間の紹介。

　8. 減衰振動
　減衰振動、過減衰、臨界減衰について。定性的にも理解する。

　9. 減衰振動エネルギー解釈、強制振動
　非斉次の二階の具体例について、強制振動を扱った。

【総評・反省】
　ぶっちゃけ「微分方程式解くとexpが付くんやろ」くらいに思ってくれたら最低限この先統計力学までやるにあたって定性的には困らないだろうと思う。非斉次微分方程式がそこまで出てくるか、といったら微妙であるし。しかし、頻度は低いにしてもこれくらいは解けてくれないと困ることという部分もあり、少しずつの積み重ねがその後の理解に大きく影響するものであるので、それなりには慎重に説明したつもりである。
　また基本的な微分方程式の解き方以上に、高校数学や高校物理をきちんと理解しているかの確認のほうが(裏テーマとして)重要かもしれない。漸化式が解ければ微分方程式を解くことの重要性は理解できるはずだし、積分計算や指数・対数、三角関数など、自在に扱えるかどうかのチェックとしても初歩的な微分方程式の解き方は有益だと思っている。
　マクローリン展開や双曲線関数など数学Ⅲのテーマとして実は深く関わっているものについて、もう少しじっくり説明しても良かったかなと思っている。