ネットワークの数理経済学

24日の JIMS「マーケティング・ダイナミクス」部会では、UC Berkeley の鎌田雄一郎先生にお話しいただいた。鎌田さんは Harvard で経済学の博士号を取得されたばかりのゲーム理論家である。そんな方がなぜここに？という疑問はひとまず置いて、講演内容を紹介する。

講演の統一タイトルは An Economist's Perspective on Social Networks である。ゲーム理論が社会ネットワークを扱うとき、ネットワーク形成のモデルと所与のネットワーク上のゲームという２つの分野があるとのこと。今回お話しいただいたのは，前者のほうである。

今回発表いただいた２つの研究は、いずれも二人のエージェント間の関係から効用が決まり、それと費用に基づき二者間にリンクが形成されるという設定になっている。最初の研究では、各エージェントは固有の socilability を持ち、効用はその関数として定義される。

鎌田さんたちは、効用関数や sociability の分布が決まると「安定な」ネットワークが一意に決まること、さらにある条件のもとでは，ネットワークが一般社会でよく観察される、スモールワールド性やスケールフリー性などの性質を持つことを数学的に証明した。

一方、観察された実ネットワークから、各エージェントの sociability を最尤推定することもできる。sociability はネットワークの構造に依存し、次数（友人数）とは必ずしも一致しないので，ネットワーク上のターゲティングの新たな指標になる可能性が示唆された。

２番目の研究では、エージェントの特性（タイプ）がベクトルで表され、効用は二者間の「距離」によって規定される。なお、 Tversky が指摘した非推移性を反映するよう、ユークリッド距離とは違う形で定式化される。この距離がある水準以下だとリンクが張られる。

このモデルの極限をとると、距離関数の性質を変えることで平均距離やクラスタ係数の異なるネットワークを導出できる。また、このモデルを少し発展させることで、Granovetter の「弱い紐帯」の成立が証明できる。豪華絢爛たる論理の展開に、ただ舌を巻くのみである。

複雑に見える現象に対して枝葉をそぎ落としたシンプルなモデルを立て，厳密な数学的操作を行うことで本質を抉り出す。解析的に解ける範囲で問題を設定すると謙遜されるが、「解ける範囲」が人によって全然違うのだ。それができる人に頑張っていただくしかない^^;

発表いただいたモデルは非常に抽象的であるが、実証研究から見いだされた社会ネットワークの性質や非推移的な類似性、弱い紐帯などをカバーしており、現実と無関係に理論の精緻化が進んでいるわけではない。そこが最近のゲーム理論の瞠目すべき点かもしれない。

今回、エージェント・モデルの有力研究者にも何人か参加いただいたが、ネットワークの生成アルゴリズムやエージェント間の距離など、応用に向けた洞察がいくつも得られたのではないかと思う。また、純粋な理論研究との協働を目指す契機にもなったかもしれない。

一方、同じく何人も参加いただいたマーケティング・サイエンスの最先端を走る方々には、実データに基づくモデル分析という方向でも何らか洞察が得られたと思う。経済学、心理学、物理学等々の先端分野から貪欲に学んで成長することは、この分野のよき伝統である。

最初の疑問に戻ろう。実は鎌田さんの最新の所属は、UC Berkeley の経営大学院のマーケティング・グループなのだ。米国のマーケティング・サイエンスではゲーム理論の研究が盛んで、Berkeley がその拠点の１つである。そのことが回り回って今回のセミナーになった。

ご参加いただいたマーケティング・サイエンスやエージェント・モデルの研究者たちは、ぼくが日頃尊敬する方々である。この刺激的なセミナーが、新たな何かを生み出していく契機になればと願っている。それにしても、鎌田さんにはいくらお礼を申し上げても足りない。