本日は週末の土曜日。今週は初っぱなからあまり関係ないと思っていた新型コロナウイルス感染症関連で出動。いや、業務内容は全く大したことないです。ただ、この歳になると臨時の終日の仕事はきつくて、本日は朝からというか昨夕からぐったりベッドで過ごし、いやまあ普通に家事はこなしましたが。
東京オリンピックは順調に進んでいるようでなによりです。私はネットで結果を適当に見るだけです。もちろん写真などは付いています。本日は中間点あたりか。
東アジア情勢というか極東情勢というか、こちらのニュースもネットでは散見します。どうやらいわゆる西側の動きがあったみたいで、表面上はおとなしく推移しているようです。
職場近所の量販店には時々行きますが、特に変化は無いと思います。人出はまずまずあって、そこそこ賑わっている感じ。
私が40年前に買ったZ80のチップセットに入っていたCTCの話。カウンタ・タイマ・コントローラーの略だそうです。中身は二進の計数機で、当時は全く使い方が分からなかったのを思い出します。これは、組み込み用計算機では大活躍の仕組みで、周期的な割り込み発生器として使います。たとえば、60Hzとか10m秒毎とか。
タイマと言えば炊飯器で、夕にセッティングして朝に炊き上がっている塩梅。このようなタイマーをオン・ディレイ・タイマと言います。スイッチを入れてから一定時間後に動作がONになる仕組みです。スイッチを途中で切ったら動作はキャンセルです。
このオン・ディレイ・タイマを、周期的な割り込みでプログラムするのは簡単です。ですから、ハードとしては正確な時間発生器が必要で、組み込み用マイコンにはほぼ確実にカウンタ・タイマの機構が入っています。入力は計算機のクロックそのものです。
さて、なんだかかつてのマイコン雑誌の記事みたいになってしまいました。つまり、現実の計算機は単に技術計算をするだけで無く、入出力や計時のための仕掛けが必ず備わっている、ということ。
問題は、通信を含む入出力や計時に関しては理論的背景が必ずしも明確で無く、何となく経験的に設計されていると思えることです。これだけくどくどと説明して、やっと核心に近づきました。
データベースの理論やネットワーク・アルゴリズムの本が近いような気がしますが、何となく外れている感じもします。
本質的には、CPUの動作を状態遷移図で説明した場合に、計算そのものに必要なフェッチとエクセキュートの他に、インタラプトとDMAの2フェイズが加わっただけなので、何とか理論を構築できるような気がします。
なので、かれこれずっと思い出すたびに調べています。が、これこそが理屈だ、というのに出会ったことはありません。ですから、今回の話はこのあたりでお終いです。
組み込み用マイコンでは普通の動作なので、実用的書籍はたくさんあります。実験用ボードも豊富で、やる気さえあればすぐに動作を試すことができます。
通信の物理層の話をするとイメージが湧きやすいと思えるので、先にやっておきます。
私が最初に買ったCPUはZ80で、これは40ピンのICです。セットで売られていて、他にPIOとCTCと1kbitのダイナミックRAMが安っぽいプラスチックケースに入っていました。そう、このチップ群でマイコンを作れ、ということ。たしか私が買ったときは8000円くらいだったと思います。
PIOはパラレル入出力のことで、単に8bitレジスタの入力と出力がICの端子に出ているだけです。8080系なので、機械語のin命令でその8bitの信号がCPUのAレジスタに転送され、out命令でAレジスタからICの端子に出力されます。ものすごく簡単な動作で、しかし当然ながらこれが基本で、現在の組み込み用マイコンにも同様の仕掛けが普通に付いています。
出力先はたとえばプリンタで、当時のプリンタは非常に簡単な動作で、ASCIIコードの「A」を出力するとプリンタが受け取って「A」を印字します。復帰・改行と組み合わせると、普通に印字できることは分かると思います。
しかし、パラレルですから8bit分の8本の信号線と、少なくとも1本の制御線が必要です。実際にはプリンタの場合はセントロニクスインターフェースと言って、USBが普及するまでは随分長く標準としてパソコンに付いていました。
紙テープも8単位、つまり穴が縦に8個開けられるテープだと8bitのパラレルポートが利用できます。私は当時、ジャンクとして売られていた紙テープパンチャと、こちらは完成品の手動のダイアルで紙送りする紙テープリーダーを繋ぎました。簡単な装置ですが、アマチュアが適当に設計するとなかなか動作が安定しない経験をしました。本来は抜群の信頼性の機器です。
入力と出力を1本ずつで済ませるには、SIO (シリアル入出力)と呼ばれるICを使用します。しかし、当時はかなり高度なICで比較的に高価だったのでセットには入っていませんでした。
RS-232Cと呼ばれる信号線と電圧とタイミングの規格があって、これも長らくパソコンの標準として使われました。相手はモデムで、電話線に繋ぎます。
非同期型の動作が分かりやすく、普段は高電圧(H)で、転送開始にはスタートビットで低電圧(L)を1個入れてから、ASCIIコードを1bitずつ上位からH/Lで送り、最後にストップビットとしてHを1個入れます。ですから、この場合は8bit送るのに10個分のタイミングが必要です。
テレタイプでは110ボーと呼ばれる1秒間に約11文字が転送できました。テレタイプ自体は何と機械式で、上記の信号を送信・受信します。
電話線では、HとLにそれぞれ特有の周波数を決めて通信するのが基本です。パソコン通信は1200ボーあたりから始まり、9600ボーくらいまでがよく使われました。
パソコン同士を繋ぐときは、RS-232Cをリバース接続して、互いに入力と出力をつなぎ合わせます。この場合はもっと高速にすることが出来ました。
ソフトから見ると、SIOもPIOと同じく、in/out命令で8bit情報を読み書きするだけです。記憶保持、つまりバッファは1語あるかないかですから、受信したら直ちに主記憶装置に取り込まないといけません。そのために前項で取り上げた割り込みの動作があります。
つまり、SIOは1語受け取ると割り込み信号線をアクティブにしてCPUに信号が届いたことを知らせます。CPUは動作中のプログラムを一旦棚上げして、SIOのレジスタから主記憶の所定の場所に信号のビットパターンを受理します。出力時も、信号が完全に転送されたら次の語を用意しますが、CPUがずっと待つのは非効率なので、こちらも普通は割り込みを使用します。PIOも通信に使うのなら、同様の感じとなります。
イーサネットでは通信の単位はパケットで、1.5KB(キロバイト)くらいの情報を一気に転送します。今は電話線みたいなケーブルで、スイッチングハブで中継するのが普通でしょう。元はイエローケーブルという太い同軸ケーブルで、無線通信みたいにMACアドレスを指定すると、コールサインしたように相手先に届きます。現在も見かけの動作は同じです。
通信の単位量が増えただけで、通信の手順はSIOやPIOを使った場合と同様です。イーサ用のICチップが途中の通信をすべてこなしてしまい、CPUはその1.5KBのパケットを取り扱うだけでよろしいです。
さて、どこから話し始めれば良いものやら。
まず、CPUレベルでは、原始計算機ではクロックというかサイクル毎に命令読みだし・解釈(フェッチ)、あるいは命令実行(エクセキュート)のフェイズに入ります。ここは状態推移図で説明する箇所です。
マイコンICのCPUではごく初期から、この2状態の他に、割り込み処理フェイズ(インタラプト)、DMA(ダイレクト・メモリ・アクセス)フェイズの2状態が用意されています。ですから、素朴には上記の4状態がクロックの進行によって適宜選ばれて行きます。
割り込みは外部要因、普通は専用の信号線があって、それがアクティブ、つまり+5V等になると、通常の命令フェッチ、命令実行のサイクルから逸脱して、その時のCPUの状態を記録してから、特定の割り込み処理ルーチンへプログラムを分岐させます。
割り込み処理ルーチンは特殊なサブルーチンで、通常は割り込み要因を解析し、信号に応じて主記憶の特定の部分を書き換えたり、あるいは周辺装置に送ったりして、用が済んだらただちに元のプログラムに、何事も無かったかのように戻らないといけません。
ただまあ、緊急事態なんかだと、動作中のプログラムを勝手に中止するなどのプログラムが起動するかも知れません。いずれにしろ、元のプログラムから見たら予期せぬ出来事です。
DMAはCPUと主記憶間のバス(アドレス線とデータ線と読み書きなどの制御線)を開放し、周辺機器が主記憶と直接データのやりとりをします。CPUがアドレスだけを提供することはあると思います。
もちろん、DMAの起動は元のプログラムから入出力命令として発せられます。その後は必要なバイト数のデータが処理実行中のプログラムとは関係なく転送される、ということ。
大型機の解説で、入出力チャンネルというなかなか分かりにくい説明がありますが、多分、このDMAのことを指すと思います。
以上が基本動作で、ちょっとややこしくなりますが、プログラムからOSのサービスを利用したいときに、ソフトウェア割り込み、と呼ばれる特定の機械語があって、上述の割り込みフェイズが起動します。
ふう、これだけの説明で随分字数を消費しました。次回はBASIC等の高級言語から見たらどうなるのか、の話に移行する予定です。
イーサネットは相手のMACアドレスが分かっていれば、簡単にデータを送ることができます。それ以前はRS-232Cと呼ばれるシリアル通信のケーブルを必要なだけ接続していました。これが1本のイーサケーブルで実現できます。ただし、簡単なのは同一LAN上まで、OSI参照モデルで言うとデータリンク層までです。
今はインターネットの時代で、IPアドレスで相手を特定しますが、これはネットワーク層以上の話で、データリンク層のMACアドレスとは別物です。
MACアドレスはイーサ用のICチップ毎に出荷時に決められていて、ユーザーでは(建前上)変更できません。大抵はそのICチップの表面に印字されていて、ソフトからは特定のレジスタにアクセスすると得られるはずです。
かいつまんで言うと、MACアドレスを知る、というのはRS-232Cのケーブルを繋いだ、と同等です。ですから、意味のある通信をするにはもっと上位の取り決め、つまりプロトコルを決めないといけません。
元々は管理サーバーを決めるか、各パソコン毎に管理ファイルを設定しました。今は普通は自動管理されるので、私もですが、あまり意識されることは無い、と思います。
つまり、ネットワーク上の資源、他のパソコンとか印字装置とかファイルサーバーとかとの通信を管理する、ということ。今はプリンタサーバーとか通信サーバー(ネットワークルータのこと)とかの言葉はめったに聞きませんが、その役割をしている部分はあるはずです。
大型機やミニコンが1台で、周辺機器や端末がすべてそこに接続されていれば、単体のOSで管理できます。しかし、今はネットワーク時代で、装置はネットワーク上に分散しています。
要は、現代のCPUは外界との通信が必須で、以前の項目で取り上げた単体の原始的計算機では多分うまく動作しません。
ソフトから見ると、特定の大域変数が外界の都合に応じて変化します。たとえば、昔のBASICには$TIME、$DATEと呼ばれる特殊変数があって、それぞれ時刻と日付の文字列が入っていて、当然ですがその値は勝手に(正確に)変化してくれないと困ります。
ですから、私が大学に入って必須では無い電子計算機の講義を受けたときは、その古いFORTRANで、NECの大型機だったか、で、授業のレポートは80欄のパンチカードで創作プログラムを1個作って、ラインプリンタの出力を提出する形式でした。
パンチカードは50枚くらいが一組で大学生協で購入。カード穿孔機はセンターに行くか、なぜか教養部の廊下にぽつんと1台設置されていました。穿孔機はカードに穴を開けるだけですから、すぐには動作しません。プログラムを作ったら、センターの所定の棚に置くと、翌日くらいにラインプリンタの結果が受け取れます。ここで狙いの出力でなかったら大変で、また2日かけてやり直しです。
まあなので、NECのPC-8001 (1979年)等は画期的な装置でした。世界初とも言われるモノリシックICによるCPU、インテル4004は1971年。ホームコンピューティングに使えるCPU、インテル8080は1974年。16bitの8086は1978年。IBM PC-AT (1984年)に使われた80286は1982年。32bitの80386は1985年、Windowsが実用的に動作した80486は1989年です。このあたりはあれよあれよの感じでした。
PC-8001やAPPLE IIあたりの8bit機は大型機とは比べものにはなりませんでしたが、意外に高度な技術計算も何とか可能です。
80286になるとミニコンと同等となり、80486ともなるとスーパーミニコンと同等となってしまって、大型機は急速にサーバーとしての役目に追いやられて行った、と思います。
パソコンが席巻する直前に、大型機などに多数のビデオ端末を接続する、タイムシェアリングシステムが一瞬、流行したことがあります。これはイーサネットが普及する前は大した威力でした。しかし、イーサネットは画期的な発明で、一本のケーブルでミニコンと多数の端末を繋ぐだけで無く、パソコン同士も繋がってしまったので、今のようなファイルサーバーやデータベースと現場のパソコンの組合せで充分になりました。
明日、7月26日は16年前の2005年にアーケード版アイドルマスターの稼働開始ということで、アイマス自体の誕生日になっています。
そこでいつものように、PS4のアイマスゲーム、ステラステージの新着PVで有志PがPVを上げてお祝いしよう、ということになっています。
このアーケード版は、実は私は現役時代の稼働を見たことはありません。このブログが開設されて1年ほど後にとある同人誌発売会の会場でPが持ち込んだ、多分、買ったと思える筐体で動作しているのを見たのが初。その後、とあるナムコのゲームセンターで部分的に再展示されていて、ただしオンライン系はすでに中止されていたはずです。
運要素が強く、ゲーム内の1年間の育成期間を突破するのは容易ではなく、実資金が必要ですから子供向きのゲームでは無く、最初から30代サラリーマン狙いの感じだったそうです。
家庭版はXBOX 360の初代からで、資金はかからないものの厳しいゲーム内容はアイマス2まで引き継がれました。その後は時間がかかるだけで、難しいとは言えないゲームになったと思います。
ステージシーンは、現在のステラステージと同様のものが最初からあります。操作性は少しの紆余曲折の後、PS3版アイマス2のが決定版で、その後、少し改良されました。ポリゴンは何度か改良されています。アイドルマスターが有名になったのは、このステージシーンです。いくつかの台詞の名言は初代のが多く、いまはレトロな感じ。
ゲーム界に萌え絵路線を導入したのはこのゲームと思います。アニメでもごく初期に後押し。高額なDLCの常態化、ソシャゲのガチャでも話題を作りました。
まあよく続いたこと。今はシンデレラガールズ、ミリオンライブ、sideM、シャイニーカラーズが加わって賑やかになりました。しっかり稼いではいるものの、ナムコは決して美少女ゲームのメーカーでは無いので(実際、初代とアイマス2のプロットはかなり深刻な内容だった)、社内での立場は微妙なはずで、今は当初の予定どおり(?)、一歩離れた位置に落ち着いた感じで、ユーザー、つまりPもとても居心地の良い感じと、私は想像しています。
その1969年刊の数学公式集の電子計算機の部に出てくるディジタル型電子計算機は、後にメインフレームと呼ばれる大型機のことを指すようです。
中央処理装置(CPU)はもちろんトランジスタとダイオード(と抵抗とコンデンサ)で構成され、集積回路と書いてありますが、TTLのような小規模なモノリシックICなのか、今で言うモジュール型とかハイブリッド型の小型のプリント基板に単体トランジスタなどを半田付けしたものなのか、のどちらも指すと思います。
今で言う主記憶に相当するメモリは内部記憶装置と書かれていて、磁気コアが普通だったそうです。私も初めて仕事に使ったミニコンの主記憶も磁気コアでした。1977年に登場した、当時スーパーミニコンと呼ばれたDEC VAX-11/780の主記憶も磁気コアですから、いわゆる仮想記憶マルチタスクOSも磁気コア時代に生まれた、ということ。
外部記憶の説明は初っぱなが磁気テープ装置で、当時の映画ではコンピュータを示すときに必ずこの装置の外観が映されていたと思います。カクカクっと不連続動作したり、高速に早送り/巻き戻したりするのが絵になるからでしょう。当時はまだCPUの筐体にはコンソールと称する電球とスイッチが並んだパネルがあったと思いますから、その電球がちかちか点滅するのも映されていたと思います。
外部記憶の次が磁気ディスクになっていて、もう当時から主流になっていたようです。
その次の磁気ドラムは私が本で読んだ限りではトランジスタが安定するまでは主記憶として使われていたと思います。
では、紙カードや紙テープは何かというと、これは入出力装置の媒体です。
入力装置の代表がカード読み取り装置で、この場合のカードはIBMの80欄のパンチカードを指します。一枚が新書程度の大きさがあって、長方形の小さな穴が情報を示していて、元々は数字の0～9しが表せなかった感じで、うまく工夫してEBCDICの8bit情報を1欄で表していました。つまり、1カードあたり80バイトの情報量です。読み取り速度は200～1000枚/分ですと。そして何と、これが電子計算機のメインの入力です。
出力装置の筆頭はラインプリンタで、1行132文字程度で、毎分200～1200行の印字と書いてあります(ラインプリンタ用紙は66行毎にミシン目が付いていて、1ページとして綴じる。)。この速度でも当時は驚異の高速印刷でした。どうやって実現できたのか、興味ある方は調べると面白いと思います。よくこんなの考えたこと。もちろん漢字などは無理筋です。上述のアルファベットなど8bitの範囲のキャラクタのタイプライタみたいな印字です。
その下の方にカード穿孔機の説明があって、しかし、私の記憶ではこの3セット、つまりカード読み取り機とカード穿孔機とラインプリンタが大型機のメインの入出力で、当時のFORTRANなどの入出力はこれらを前提としていました。
XYプロッタなど、特殊な入出力装置は当然、特別扱いです。
ミニコンではさすがに紙カードを大量に用意するのは無理で、紙テープが入力と出力に用いられ、ラインプリンタの代わりに当時、海外では普通に通信手段(テレックス)として使われていたテレタイプが用いられたと思います。テレタイプにはキーボードが付いていて、紙テープに穴を開ける場合に使用し、通信時はその穴の空いた紙テープを付属の読み取り装置で読ませ、受け側はそのままロール紙に印字するか、紙テープに穿孔させます。
OSへの指令は、ミニコンでは早々にテレタイプのキーボードからの指令になっていたと思います。
このテレタイプ付属の紙テープ読み取り/穿孔装置は比較的に低速なので、ミニコンのラックにはコンパイル時などに使う高速の紙テープ読み取り/穿孔装置が付いていました。
長々と思い出話をしました。これは当時は電子計算機の常識ですから、当時のコンピュータ関連の文献を読むときには、こうした今ではレトロな装置を思い浮かべないと妙なことになると思います。
昨日午後8時(日本時間)から東京オリンピックの開会式がNHKで中継されていて、家族がテレビを付けっぱなしにしているのを横目で見て。
やはり各国選手団の入場シーンがよかったです。誇らしいというか嬉しい感じがいっぱい。これを無事に迎えることが出来た我が国の関係者はほっとしているでしょう。入場行進曲は全てゲーム音楽だったようですが、私が分かったのはドラクエだけでした。他は多分どこかで聞いていると思います。
とはいえ、私は普段はあまりスポーツに関心が無く、聖火リレーで分かったのは元巨人軍の3名とアンカーの大坂なおみ選手だけ。特に私の世代には長嶋茂雄氏は現役時代から伝説の人で、プロスポーツが何かがよく分かっていたし、スポンサーが見事に支援していたし、一般芸能人になってからも目立ったスキャンダルは無かったと思います。
開会式の演出はお祭りなのですからこんなものでしょう。派手でした。3Dドローンの地球儀は1800機ほどだったらしく、実時間で飛ばしていましたから大した制御技術です。
おそらく電話回線を利用していて、20年前の新宿交差点でNTT関係者が同時3万局とか言っていましたから、今は軽く10倍は処理していると思います。
昨日は移動日で、新幹線の中はかなり混んでいました。途中で見た東名高速もかなり混んでいるみたいだし、降りてから見たバスも混んでいる感じ。
一応、東京都は緊急事態宣言中だったか。
東京オリンピックの開会式は明日で、予選などはすでに始まっています。
PSNのフレでは少なくとも2人はPS5を手に入れているはずですが、オンラインでPS5を見ることはほとんど無いです。私の楽観点予想では夏休み前にもしかしたらPS5は普通に売られるようになると思っていましたから、大外れです。今もとある量販店からPS5の抽選販売のメールが来ます。とある実店舗でも抽選販売のポスターが貼られていたか。
要するに、継続して売られてはいるけれど普及と言うにはまだまだの感じです。
表題に戻って。私が例の古典幾何学本の翻訳の際に大いに参考としている1969年刊の数学公式集には電子計算機の部が60ページほどもあります。世界初のマイコンと言われるインテル4004の一般販売開始が1971年ですから、その直前の話。1970年は大阪万国博覧会の年ですから、日本は高度成長が一旦落ち着いた感じの頃です。
その電子計算機の応用分野として紹介されているのは、連立一次方程式、固有値計算、代数方程式(ニュートン法など)、常微分方程式、偏微分方程式です。つまり、この頃の数学界が注目していたのはこれらの具体的計算でした。もちろん、工学・技術的にも極めて重要な領域ですし、今でもスーパーコンピュータと呼ばれる装置の主な計算時間はこれらの計算に費やされていると思います。
ハードの話は次回回しにするとして、プログラミングの章はアセンブラー、FORTRAN、ALGOL、操作システム(OSのこと)の構成になっています。FORTRANは当時のFORTRANなので、ひたすら計算効率を重視していて、現代FORTRANとは感じが違います。もちろん、この計算機言語が世の中を変えてしまいましたから、歴史的重要性は極めて高いです。
ALGOLは当時はアルゴリズム記述言語として紹介されていたと思います。多分、処理系はあったと思いますが、私は使ったことはありません(つまり記憶してない)。複文がbeginとendで囲まれるスタイルはここで始まると思います。帰納的呼び出しと訳されていますが、再帰呼び出しのことで、これは当時のFORTRANには出来ませんでした。
このALGOLには最適化を阻む文法があるとのことで、速度も重視したのが後に有名となったPASCALです。なぜか日本ではPASCALは教育用言語とされてしまい、私がとある国産大型機で見たPASCALは教科書に書いてあるプログラムが動けば良いみたいな冗談みたいに見える代物でした。少し以前のパソコンを知っている方なら今は無きBORLAND社のTurbo PASCALを覚えていると思います。こちらはもろに実用狙いでした。私も後に短期間使用することがあって、快適だった記憶があります。
内容的にはほぼC言語です。ただし、C言語は現場たたき上げの感じがするのに対して、PASCALは学術出身の感じ。元となったALGOLは今は博物館の展示物の感じで、しかし、電子計算機を語る方には必須の知識だと思います。ちなみに、関数などの変数の名前呼び出しというのは、今で言うマクロだと思います。LISPではマクロはごく普通に使われているので、現在の技術を持ってすればALGOLは使える言語と思いますが、多分、効率は良くてもプログラマ側がついて行けないと思います。
本日も昼食を摂りに職場近くの量販店にお出かけ。
最近は仕事の関係上、あまり書店には寄ってなかったので数学系の一般向け雑誌、3種を購入。その中の1冊の特集が計算で、中身を見たらいわゆる電子計算機の科学技術計算の話題の感じでした。
現在はパッケージソフトが充実しているためか、この手の話題はなかなか見られなくなりました。この雑誌の特集も総論の感じで、あまり詳しい感じは無いと思います。
整数論系を除くと、具体的にはIEEEの64bit浮動小数点演算の取り扱いです。最初の計算機言語のFORTRANの目的がこれで、複合的なデータはいわゆる配列しかありません。
なので、ベクトルや行列で現される技術系の計算方法が大いに研究され、現場でももてはやされました。
今の人はどうしているのかな。FORTRANやBASICはこの手の計算に関しては極めて生産性が高いです。後にC言語が普及して、書いても書いても目的の動作になかなか近づかないので驚いた経験が私にはあります。
もちろん、研究者が思いつきで書く素朴な数値積分などでは結果が信頼できるかどうか、なかなか判定が難しく、だからその手のプロが書いたパッケージソフトが売れる訳。私も仕事で使う統計は名の知れたパッケージソフトを使います。
本日は午前の半日出張だったので、いつものように昼食と称して近くの量販店へ行きました。本日はさすがにPS5は売り切れでした。先週、2回も見たのは偶然だったのかも。
で、同じ建物の書店に行くと、とある科学啓蒙新書の新刊が有って、多様体に関するものです。
まあ、物語としては良いでしょう。適当に単語を拾って図書館やネットで調べると良いと思います。しかし、最初の方ですでにひどい言い方が。
境界のある円を閉円版と言うそうです。2個の閉円版の境界を合わせて行くと境界の無い球面ができあがり、と。これはもちろん正しいのですけど、説明が足りなくて、多分このままでは数学に関心のある中学生からもクレームが来そうです。
境界の一次元実体はどこに消えたのか。この説明が最初に必要でした。
これは途中経過を考えると分かります。円版では無く、境界のある正六角形を考えると良いでしょう。2個の境界のある正六角形の1個の辺同士をくっつけます。できあがりの図形はくびれた10角形になるのはすぐに分かるでしょう。問題はくっついた辺が消失すること。いやこれは消失した方が都合が良くて、いつまでも存在しているとくっついたことにならないから、困ります。
サッカーボールが完成したときに、トポロジー的には全ての正五角形と正六角形の辺が消失して、球面と同相にならないと話が先に進みません。
ですから、この場合は2個の正六角形の12辺の内、会合した2辺がなぜ消失するのかを宣言しないといけない。数学だと数式で表す(1 + 1 = 0)か定理で示すか。
私の観察では、国内のトポロジーの本はこの点でほぼ全滅です。私はとある英語の本で知りましたよ。多分、元のポアンカレの文章では詳しく詳しく書かれているはずです。
ちなみに、縁のある円版は2次元実体と1次元実体の複合ですから、複体(complex)と呼ばれます。(境界の無い)球面は2次元実体しかないので単体(simplex)と呼ばれ、どちらもトポロジー用語と意識しないといけません。
明日、7月19日は765仮想アイドルの一人、三浦あずさの誕生日だそうです。いつものように、PS4のアイマスゲーム、ステラステージの新着PV欄で有志Pがお祝いのPVを上げるはずです。
本日は久しぶりの休日らしい休日だったので朝にやや規模の大きな理髪店に行きました。しかし、考えることはみんな一緒だったみたいで30分ほど待つことに。その間に、その一般相対性理論の数式に文系の雑誌編集長が挑む話の科学新書シリーズを最後まで読んで。
収穫は大いにありました。さすがに科学雑誌の編集長で、どれが重要用語なのかがよく分かっている。私にとっての収穫はΓ記号とメトリックが結びついている点です。こういうの、当たり前なのか普通の教科書にはなかなかストレートに地の文で表現されていないです。
まあ、最後の方はかなり急いでいて、数式の変形に専念して物理的配景がなかなか付いてこれず。それでもこれも私にとっての収穫で、例のハミルトニアンとラグランジアンの操作が見られて、これだけでも満足です。ハミルトニアンは力学エネルギー(運動エネルギ＋位置エネルギー)のことで、ラグランジアンは運動量の式でニュートンの第二法則に対応する量。どちらも保存量であるのが特徴です。良かったのは、ハミルトニアンの方が時間的な量で、ラグランジアンが空間的な量との解釈の下り。物理しています。
もう一つ、曲がった空間でのベクトルの微小な平行移動を接続と言います。曲がっているのでユークリッド空間だと単位ベクトルとなる基底ベクトルまで向きや長さが変わってしまうので、数式でもその項が加えられている、との下り。こういう言い方を普通の教科書でもして欲しかったです。よく分かりました。
まあなので、読んだ甲斐はありました。ただ、不思議なのは最後まで物理の反変・共変ベクトルの解釈がなかったことです。数学ではベクトルは単にn次元空間の矢印なのでかなり言い表しにくい概念になってしまっていると思います。
しかし、物理の反変ベクトルと共変ベクトルは、物理量の次元を持ち出せばあまりにすっきり分かるので拍子抜けです。この解説が欲しかった。
つまり、たとえば長さ系だと単位にm (メートル)が入っているのが反変ベクトルで、/m (メートルあたり)が入っているのが共変ベクトルです。これを掛け合わせるとメートルが1次元×-1次元ですから0次元となり(指数だから足し算になる)、つまりスカラ量になります。n次元空間ではnで剰余が共役になっていて、-1 + 3 = 2ですから、共変ベクトルは始平面と終平面の2次元で図示できます。
基底ベクトルが小さくなると、たとえば単位がmからmmになると、同じ反変ベクトルの成分は大きくなります。ところが、共変ベクトルでは始平面と終平面が遠くになるのでコンデンサの(電気的)容量が小さくなる感じで成分が小さくなります。つまり、長さと濃さは反比例すると覚えると覚えやすいと思います。
なので、3次元の場合は0次元量がスカラ、1次元量が反変ベクトル、2次元量が共変ベクトルで、3次元量がスカラに戻ります。物理で微分すると次元が1つ下がります。なので、n-1次元を現す共変ベクトルよりも、最近は微分1形式の考え方が主流になってきているようです。アインシュタインの時代の数学なので、このあたりは古き良き数学を楽しむ感じで読む必要があると思います。
もう一つ出てこなかったのは、たしかこのあたりの物理の式は中身が複素数であること。虚数成分の解釈に困るのは物理も数学も同様で、だから自乗などが出てくる。数学では虚数は回転を意味し、物理でもそう表現されると思います。
まだ読書は途中です。前半に特殊相対性理論の話が前座としてあって、ここも私は学生時代に理解が進んでいなかったことを思い出します。なにせ生物系なので授業はほとんど関係ないし。
ここの締めくくりが有名なE = mc^2で、この部分の記述はちょっと急ぎすぎと思いましたが、何とか結論には達していて。
その少し前。物理学科の大学生(院生?)を相棒にしていて、その学生が数式を見る際に現実の物理学に適合させないといけない云々。
うがった見方をするとこれはむしろ迷ったと感じた著者の方が真実に近そうな気がします。つまり、ミンコフスキー空間の(虚、実、実、実)の4次元で虚数が時間で3個の実数が空間で。
しかし、私の記憶では(実、虚、虚、虚)の空間1次元、時間3次元でも普通のミンコフスキー空間と同様の物理法則が組み立てられるはずです。ここでの空間・時間の言葉はあんまりなので、たしか虚時間という言い方があったか。とすると空間も虚空間ということになるのだと思います。後者の言葉は聞いたこと無いですが。
ただ、ここに突っ込む前の段階としてスケールのレビューが欲しかったです。特殊相対性理論は電磁気学から出てきているので、重力を除く3種の力、強い力、電磁力、弱い力が絡んでいて、それぞれ典型的スケールが異なったはずです。電磁力に関しては原子や分子の大きさが典型的スケールと考えるはずです。強い力は原子核の話で、10^4ほどのスケールの違いがあったはず。弱い力はもっと狭い範囲の話だったか。
大きい方でもスケール感はあって、普段目にするのはニュートン力学の世界で、高速になると特殊相対性理論効果が出てきて、GPSのように精密になると一般相対性理論の効果が検出されるとか。
はずです、って、今の私の仕事とは分野がまるで違うのでなかなか調べる時間が取れません。今週はなぜか前半にエキストラの仕事が入って結構煩わしかったし。
