本日は午前出張で、割と早めに切り上げられたので、12時少し前に昼食のために職場近所の量販店にお出かけ。で、ゲームコーナーに直行(^_^;)。
PS5 proの予約中のポスターが見えたので、手を出してしまいました。全額前払いです。うん、これから節約生活します。
午後には完売続出とのことで、少なくともソニーの予想を上回った、とのネットでの憶測です。人は並んでいなかったから転売は少数でしょう。こういうの、覚えがあります。
そう、インフレ時代の感じ。
本物なら多少高価でもぐぐっと売れる時代の再来のようです。2022年ころから企業内部では見られていて、まずは補修。顧客に見えないところまで綺麗に整備して、それから工場の設備を最新に。最近も訪問先でピカピカの新設備を見ました。さすがに製造現場までは知りません。外観です。そういえば、自動販売機の飲料も値上がりしていて、しかし批判の声は聞きません。
これでもまだ新型コロナ感染症の時期から回復しただけで、工場も流通も絶賛建築中です。それらが稼働し始めたらかなりの景気の過熱感になるはずです。
本日は私は休日でした。家の中の仕事をしただけです。ゆっくり休みました。
我が国の新首相が自民党の石破茂氏に決まったそうです。ネットでは対外関係の話題が多く見られます。とはいえ、ヨーロッパにしても東アジアにしても、先進国間ではとっくに合意が出来ていて、おそらく細かいシナリオまで検討されていて、もはや微調整しか出来ないはずです。その最終ビジョンは来年(2025年)に明らかにされる、というのがもっぱらの噂みたいです。
ですから、どちらかというと国内の調整の方が大変だと思います。インフレ時代に突入するのは確実ですから、いわゆる所得格差が生まれがちで、どのように調整するのかが見物。経済的にどこまで行くのか、ちょっと楽しみです。
明日はPS5 proの予約開始日だったはず。仕事帰りにでも職場近所の量販店のゲームコーナーに寄ってみるつもりです。まだ予約中なら予約。売り切れていたらかえって嬉しいです。もともと数が出るような商品ではありませんから。
そのジョルダン標準形の幾何学的証明の本(下記の文献(2))を眺めてみましたが、どこにその証明があるのか最初は分からず。何度か読み返してみて、多分ここだと思う部分がありました。幾何学的証明と言っても、図は出てきません。代数的では無いとの意味だと思います、多分。
文献名は挙げておいた方が良いでしょう
(1) 齋藤正彦。「線型代数入門」。東京大学出版会 (1966)
(2) 齋藤正彦。「線型代数演習」。東京大学出版会 (1985)
(3) 齋藤正彦。「線型代数学」。東京図書 (2014)
今読むなら文献(3)が最も簡明だと思います。それでも著者自身が難しい、と言っていて、数学者の難しいですから外野の私にはふむふむ、とは行きません。時間を掛けて格闘してやっとフィーリング理解出来る感じになるだけと思います。なので時間がある時にお預けです。
とにかく、しっかりした証明が書いてある場所が分かっただけで、こちらとしてはものすごい収穫です。
まあしかし、生意気なこと言うと、証明では無く納得出来て応用が利く、単なる図解ならずっと簡単になると私は予想しています。
三次元で言うと、すべての固有値が異なる場合が一般の楕円面で、2個の固有値が一致する場合が回転楕円面で、3個とも一致する場合が球面です。
一般の楕円面の3個の主軸は、どのように傾いていても必ず直交するのがミソで、行列の対角化が可能なのはそのためです。とある文献に奇跡のような出来事だ、と書いてありましたが、単に情報量(エントロピー)不足、つまり2次関数をどのように線形変換しても2次関数にしかならない、だけのことでしょう。
三次元空間に正方格子を張り、一区画の立方体内に球を内接させます。線形代数ですから変換は図形的には平行移動を除くと、拡大縮小、回転、鏡映、そして剪断変形です。複素数はどうなるのかというと、実数と同じく体ですから基本的には素直な拡張にしかならないはずです。
このうち、球が対称性を失うのはxyz軸で拡大率の異なる拡大縮小を除くと、剪断変形のみで、ジョルダン細胞はその剪断変形の形をしています。これには明確な図的解釈があるはずで、それを探してみることにします。
回転楕円体だったら、中心から見て円になる方向に互いに直交する同じ大きさの任意の2ベクトルを取ればとりあえずの固有ベクトルとして使えるはずで、任意の角度の回転と裏返しの自由度を持ちます。球なら互いに直交する同じ大きさの3ベクトルを取れば良く、球面の2次元と裏返しの自由度を獲得します。
これらが表現出来れば良いのです。
ただ私にとっては優先度が低いので、本ブログで公開するのはいつになるかは分かりません。上述の記載は単なるアイデアですので、読者の皆様はご自由にお使い下さい。
でさらに、別の線形代数の1966年刊の標準的な教科書を手に入れ、後書きを見たらジョルダン標準形の幾何学的解釈を書いた本を別に出版した、とのこと。すぐにオンライン書店で注文してしまいました。
ふう、自分で考えなくても、やはり先行者がいたかと一安心です。そちらは本物の数学者ですから確実な見解です。見て理解出来て面白い話題に感じたら本ブログで紹介します。
それにしても、線形代数は私は概ね把握したつもりになっていましたが、本格的な数学科用の教科書も揃えておくべきでした。ただし丁寧すぎて読むのはきついです。話の進め方も、やや古い感じがします。それでも、当時の勢いが分かるのが興味深い点です。
なぜか連想するのはクラシック音楽で、特に大曲の交響曲系は今更あんなのを作っても冗談としか思えないと思います。今は大作は映画音楽とかになっているでしょう。その時代にしか作れないものと思います。
数項前に挙げた物理系の線形代数再入門の本の参考文献内に、
佐武一郎、「線型代数学」(新装版)、裳華房(1958, 2016)
というのがあって、割と最近に私は買っていました。目次を見てみると、附録 幾何学的説明の§5 二次曲面の主軸 (281ページ)に、行列の固有値と楕円の関係が述べられています。
引用すると、「(二次曲面の中心点)Oを通り方向(ベクトル)aなる直線が(固有値)aの主軸になるためには、(ベクトル)aが(行列)Aの固有ベクトルなることが必要十分である」です。((ベクトル)aのaは太字)
この章自体は簡潔です。教科書全体はもちろん解析的に話が進んでいて、しかしベクトルは幾何学および物理学から数学に導入された概念、ということでルーツを示すのと、多分、読者の直観の助けになると思って書かれたのだと想像します。
図的表示は直観に対しては大いに役立ち、アイデアの宝庫となり得ますが、学問的には数学にはほとんど寄与しないので、近代的な数学書では補助的役割に徹しているようです。
私の固有値から楕円の連想の元は統計学の主成分分析です。この本とは関係ありません。もちろん上述の命題との関係は大いにあります。主成分分析は相関行列の固有値と固有ベクトルを求める問題だからです。楕円体は多次元正規分布に現れます。
で、生半可ながらジョルダン標準形の意義が分かってきたら、少し前に読んでいまいちかな、と思っていたジョルダン標準形の本をざっと読み返すとかなりの良書に見えてきました。
この際なので、線形代数の解説書をあと2冊ほど眺めてみるつもりです。
数項前に挙げたベクトル解析の古い教科書はとても良く出来ていて、ただしテンソルの章は対象が普通のユークリッド空間のみでした。当時の雰囲気を出していて、物理・工学への応用の記述が多く、近代工業化社会に向けて貢献したい、の意気込みが感じられます。時間が出来たらじっくり読んだ方が良いような気がします。
目標(微分幾何学)からは離れていっているので、早々に切り上げたいところです。
が、固有値の同値問題がこれほどおおごととはうかつにも知りませんでした。ジョルダン標準形の本に書いてあるとおり、考えただけでもやりようによっては、測定誤差や計算精度によって激しく不安定な計算結果となると思います。そこまでは想像出来ますが、今の私は手近に関連問題を抱えておらず、教養になるだけです。
で結局、固有値が同じ値になる項をまとめてジョルダン細胞、というのになり、その時にそこに持って行く回転行列というか直交行列が一意に決まる、と言うことみたいです。
みたいです、というのも、もっとはっきりくっきり書けるような気がしないでも無いですが、何か口もごもごの感じになっていて、その原因を探らないといけません。
まずは幾何学的意味を追求します。多分、あまり面白くない当然の結果になると思います。
それと、ジョルダン細胞は良いのですが、回転行列の方に多分自由度が押しつけになっていて、それがはっきり書いているのかいないのか。分析が必要です。こちらも知ったところで、あまり面白く無さそうです。
ううむ。なぜこんなに難解な解説の流れになるのか、の方がかえって興味が出てきます。類書に上述に関連する事項をすっきりくっきり解説したものがあるはずで、探してみます。が、とりあえず優先度は低いです。
とにかく、先に進めそうな気がしてきました。この歳で気付いたのは不覚ですが、読者の皆様には感謝です。ジョルダン標準形について、上述のようにすっきりくっきり理解出来たら、さらにうまく適切な図が描けるようなら再び話題として取り上げると思います。
本日は国民の祝日で私は3連休の最終日です。昨日から天気予報通りに気温が下がってきて、快適になってきました。暑さ寒さも彼岸までを忠実にやっているようです。
今回も普段やっていること以外はほぼ何もせずに過ごしました。明日からは普通にお仕事です。
テンソルの添字の上下、反変成分と共変成分への導入の章があって、代数的にはこのように進めるのか、ふむふむ、と。キーワードは商ベクトル空間、みたいです。ここはいわゆるアフィン幾何になっていますが、その文言は出てきません。次章でユークリッド空間の話(距離と角度)になります。
固有値問題に入り、固有方程式に重根がある場合に云々と。ここがなぜか難解に見えます。
要するに2つの固有値が同値だと楕円で無く真円になってしまうので軸が取れなくなり、したがって固有ベクトルが決められない、と言いたいだけに見えるのですが、延々と何やら特別な用語で解説しています。
どうしようかな。無理矢理理解しないと先に進めなさそうだし、理解したとしても何だか当たり前の事を当たり前に言っているだけのような気がして、いまいち意欲が湧かないし。とりあえず先に進むことにします。うむ、今回も攻略失敗かも。知りたい事項は数章先に書いてあるみたいです。
ま、まあ、いつものように多少とも先には進んだ気がするので、それで満足すべきなのでしょう。先は長い。他の解説書もあるし。
そう、ちょっと古いベクトル解析の教科書の復刻版を手に入れたのでした。集合論が普及する教育数学の激動の時代に書かれていて、その影響が記述に表れていたら面白そうです。
書かないと忘れそうなので書いておきます。最近の一般向け数学雑誌の特集の中に、数学的帰納法とプログラム言語の再帰を結びつけた記事があって、趣向そのものは良好と思います。
ただ、最初に出てきた階乗のプログラムが、多分Lisperだと見た瞬間にあっと声を上げるような不備な出来です。C言語使いでもコンパイラが何をしているのか興味がある人なら、同様にこれは不味い、と思えるはずです。
つまり、単純ループで良いのですからいわゆる末尾再帰の形にしないといけません。末尾再帰にするとLISPはもちろん、今は組み込み用のC言語でも機械語のcall命令では無く、単純なjump命令に翻訳されます。もちろん効率は大違いでjump命令の方がずっと良好です。
なぜか再帰となると思考停止してしまう人が多くて、上述の不味い方のプログラムをもって、再帰は効率が悪い、とか結論を出してしまいます。効率が悪いのは採用したアルゴリズムが適切でないだけです。
ここで効率が悪い派の方に、一つ問題を出しましょう。そのcall命令に翻訳される効率の悪いアルゴリズムを(再帰では無く)繰り返し構文で書いてみて下さい。まさか書けないとは言わせませんよ。LISPもC言語もチューリング完全なはずですから。
私の今の感覚では、純LISPに近い形だとコンパイラは良好なアセンブラプログラムを吐き出します。一つは上述の末尾再帰の形で、LISPだとcond形式のみでifとwhileの制御構造を書きます。構造化プログラミングなど不要です。
もう一つは代入の禁止です。プログラムの途中で変数の内容を変更すること。
だったら階乗で必要なカウントなどはどうするのかというと、再帰関数呼び出し時にカウントします。つまり次の関数の束縛変数の初期化ならOKということ。
ただし、こちらは賢いコンパイラは内部で代入を初期化に変更してしまうので、大きな問題には通常はならないはずです。つまり気をつけるのは末尾再帰のみ、となります。
少し季節的に涼しくなったためか、3連休に入るためか、どっと疲れが出て本日は職場と家を行き来するだけ。体調は良好です。単に気力の問題。
電波新聞社の電子工作マガジンの2024年秋号が出ました。例の来年春に発売予定の88SRミニの写真が出ています。プログラム投稿歓迎の文字が出ています。でも私が作ったら堅苦しくなりそうなので、おそらく出てきた図だけを本ブログで掲載すると思います。プログラムの行数が短かったらソースも開示します。
今読んでいるのはおそらく入門書でテンソルの話まで行くので(ついでにジョルダン標準形も)買いました。途中からやや理論的になって、選択公理(感じとして主に可算選択公理の範囲)が出てきて、あと2つほどの私にとっては慣れていないキーワードが分かれば、おそらくこの本は読破したことになります。その後もまだまだ先は長い。
ある程度私が理解出来て、読む値打ちのある本だと思ったら書名を本ブログで紹介します。
元々ベクトルは幾何学出身の概念で、座標とか変換式を出さなくてもある程度の議論が進みます。我々が普通に考える「空間」が元来持っている性質だからです。この範囲の話はあまり聞きませんが、おそらく環上の加群と呼ばれるものの範囲と思います。
つまり、行列(代数学出身)の関係とは別に、ベクトル自体に強烈な幾何学的イメージが結びついています。が、20世紀前半の数学教育改革のスローガン、ユークリッド追放、が効いているのか幾何学的イメージは最低限しか出てきません。
座標を導入する、つまり(微積分に耐える)解析的に進むと、つまり行列をベクトルの変換群と解釈すると実に実りのある世界が開けるのは、現在の近代工業社会を見ると明らかだと思います。
ただまあ私の勝手な思いですが、幾何学的イメージは捨てない方が良いかと。今はすぐには無理ですが絶賛準備中なので程なく本ブログかどこかで図形的解釈を披露すると思います。
本年末に発売予定のPS5 proが意外に話題になっているためか、任天堂のswitch 後続機、ネットでの通称switch 2の妙な予想が見られます。鋭意準備中なのは公式発表ですし、来年5月頃の発売だと言われています。内容についてはこれから順次発表されるはずです。
switchの方は競合機は無く、無理矢理スマホアプリとか携帯ゲーム機の形をしたPCのような端末がとりあえずの比較対象のようです。
何となく無難な仕上がりになりそうです。これは単に私の自分勝手な予想です。
欲しいゲームが発売されたらもちろん買いますが、switchではついに機会がありませんでした。注目はしています。
数年後のゲーム機、PS6のチップがAMD製になる見通しとのネット情報があり、どうも未確認情報のようです。そりゃまあ、proではなく元のPS5の発表時からPS6の研究はスタートしているはずで、時期的に何かの動きはあっても不思議ではないでしょう。
「単体のゲーム機」なるものが続くのだとすると、やや拍子抜けというか何というか。でも、家庭用に何らかの機器を置く、というのはあり得るか。
ゲームの販売方式は棚上げするとして、まだ採用されていない技術はあったかな、と想像してみます。
AIのエンジンであるNPUだったか、がCPUに置き換わる、というのはあまりに革命的で、よほどの大発明でも無い限りすぐには無理でしょう。私が承知している情報だと、CPUが一旦オブジェクトを指定したら、後はラスタ出力までGPU回りでやってしまう、というのが現在のトレンドのはずです。つまりCPUは司令塔に徹する方向性です。象徴的に言えば、CPUはオブジェクトのデータベース更新が担当で、そのデータベースの画像化がGPU担当です。
さて、そのオブジェクトのデータベースも一つの空間というか世界と言えますが、現在の3Dゲームだとそのオブジェクトが具体化した空間もフィールド(物理的な場)扱い出来るはずです。つまり、GPU内でオブジェクトが相互作用する、ということ。光線追跡をGPU化するのは、その嚆矢のようにも思えてきます。
…ううむ、ちょっと私の妄想に走ったか。
本日は敬老の日で国民の祝日です。私は三連休の最終日で、3日ともゆっくりお休みしました。直前まで仕事がつんでいて、しかもあの暑さでしたから疲れが貯まっていたみたいです。今週後半からは暑さの方は一息つくようです。仕事は普通。
今度の11月に発売予定の新型ゲーム機、PS5 proに関してはやはり情報管制がしっかりしていたようで、ゲームサイトでは混乱気味のようです。レイトレが分かっていないような書き込みが相次いでいて、これではまるで画面を見ずに仕様書だけで感想を言っているように見えます。まあ、発売後の数ヶ月もしたらPCでも流行しますから、その時点で分かる人には分かるでしょう。PS4の時もPS5の時も同様でした。
すでに量産は開始されているはずですが、そのPS5 proの仕様はまだ小出し状態です。いわゆるティザー広告というやつ。ただ、商品の性格上、オリジナルPS5ほどの社会・業界へのインパクトは無いはずです。なのでちょっとマニアックな話題に傾いている感じがします。
私は本体が手に入る段階で手に入れるつもりです。が、どちらかというとゲームや映画の売り方というか見せ方というか、サービス内容の方が気になります。何か新機軸が出てきたら良いのですが、従来のままなら、まあぼちぼちと。
