4024. 三月末

　昨日、ソーシャルゲームの方の元祖シンデレラガールズのサービスが終了しました。11年ほど続いたことになります。スマホアプリでは、リズムゲームのシンデレラガールズ・スターライトステージはそのまま続行、というかゲーム系ではこちらがアイドルマスターの稼ぎ頭だと思います。
　間接的にしか聞いていませんが、Xbox360のアイドルマスターからの総合プロデューサーの坂上陽三氏(通称、ガミP)が三月末でアイドルマスターを離れるそうです。お疲れ様でした。

　ε-δ論法の次は測度論です。割と新しい啓蒙書を買いました。結局、ルベーグ積分とルベーグ測度についての解説でした。要約すると、長さや面積と言う場合、積分の対象となる集合を制限というか規制というか、(公理系として?)特定しておく必要がある、ということみたいです。みたいです、って、途中で抽象論に入ってしまって、私が知りたかった点と(長さの測れる)線の関係がいまいちどこかに飛んでいった感じがするからです。
　群論の解説書でも、冒頭でいきなり抽象群の定義が出てきて、これのどこが対称性の話なのか計りがたいところがありますが、本の中間あたりからそれとよく似た感じになりました。

　まあ、多分私がしっかり読まなかったのが原因と思います。キーワードと論法は分かりましたから収穫はありました。多分、まだ2～3冊は関連本を読まないと納得した状態には至らないと思います。

4023. ε-δ論法

　で、少し気になったので昼休みの書店でε-δ論法に関する数学史の本を購入しました。よく調べられていて、歴史書としては良くできていると思います。前項で上げたコーシーが主役の感じです。
　ところが、最後の最後になって解析学とは代数学の一種である、みたいな結論がなされているので熱が冷めました。これ大丈夫かな。おそらく数学者も数学愛好家も論評を書かないと思います。私の感想も同じなので正確な書名は書きません。どうやらある程度売れているようで増刷されています。

　導入部で高校時代の微積分と大学の微積分の違いがε-δ論法で、これで微積分が嫌いになる人が続出する、と書かれていて、私はまったくそうでは無かった時点で気付くべきだったかもしれません。最後まで読んでしまいました。損をしたとは思いません。歴史書としては良好と思います。

　私はその高校の微積分の冒頭の定義域の区間の所、つまりデデキントの接続の説明の所で挫折したのです。最初の微分の定義の式が出てくる前です。なぜこんなのが最初に説明されるのかを考え始めると先に進めません。事態が分かったのはずっとずっと先のこと。
　しかし、運良く電子計算機によるニュートン法や常微分方程式や偏微分方程式の数値計算法を先に知ってしまったため、授業が始まる前には微積分は面白そうだとは思っていて、実際、そうでした。

　とにかく、数学側から見ると重要キーワードがいくつも抜けています。フーリエ解析が出てくるのですが、ギブズ現象が出ないのは数学書はほとんどがそうなので、まあ許せるとして、後半には出てきたはずの集合論の公理化については言及無し。数理論理学の話題も少し出てきただけ。致命的なのは選択公理周りの話題がゼロ。
　少し前に話題にした近刊の科学啓蒙雑誌ではε-δ論法の解説で、少々進んだところで選択公理が出てきて、要するにお手上げで、この公理は一般には認めた上で議論が進んでいる、とあらかじめ宣言されています。こちらが普通の認識だと思います。

　歴史書として優れているのは時代背景の説明で、ここはなかなか迫力があります。時代はフランス革命後で所もヨーロッパ大陸。産業と科学にも革命が起こり、数学は一般にも知識が求められるようになり、そうすると多くの人々を納得させるための説明が必要なので精密化が進んだ、という記述は他でも見られて、本書はそれを裏付ける史料が微積分の分野に限られてはいますが、たくさん出てきます。

4022. 無限小

　すぐにプログラミングの意欲が湧く訳でも無く、しばらくは重箱の隅をつつくような検討が続くと思います。いわゆる寝かせる、ということ。細かな問題点が出尽くしたと思って、何らかのきっかけがあればいつでも開始です。

　本日は普通の勤務日で、昼休みの職場近所の量販店の雰囲気も特に変わらず。海外からの観光客の姿は1年前比で増えている感じがします。PS5もPS4もPS-VR2も普通に売られていました。ゲーコーナーは普通に人がいます。

　最近、とある科学啓蒙雑誌と科学啓蒙書で解析学、つまり微積分の話題が出ていて、どちらにもε-δ論法が出ています。どうやらこの分野の金科玉条みたいで、これをもって厳密と称するみたいです。内容は多分、連続の定義の一つ、コーシー列の議論と同様と思います。
　この初等的(?)な微積分の威力は甚大です。現在の産業界を支える柱の一つと言って良いと思います。数学者からは高校数学みたいだ、とやや引いた意見が出てくるようですが、それだけに原理に近くて、肝心なのは技術分野でものすごく有用なことです。身の回りの工業製品を見れば、その威力が実感できるはずです。

　無限という時、無限大が強調されがちですが、微積分では無限小の方が主題となります。本当に無限小で、いくら累積しても有限には成りません。もう一つの解析学の功績としては、計量の考え方があると思います。これによって、単なる点が少し広がって長さや面積を獲得します。こちらは軽く触れられているだけのような気がしました。

　そう、いつもの私のフィーリング理解によると、肝心なのはある点の近傍はその点と同じように振る舞って欲しい、という期待というか願望というか要請というか。
　現実は厳しくて、バタフライ効果とかカオスとかになっています。パイこね変換は数学の言葉だと思います。これによると、(力学的?)操作をすると近傍は指数関数的に離れて行き、逆に全く関係なさそうな遠方が指数関数的に近づいてきます。激しい混合と言って良いでしょう。指数関数なので、サイコロほどの大きさの物があっという間にプランク長の小ささや宇宙の地平線の大きさに達してしまいます。

　こうした話題は都合が悪いのか、数十年前には話題になっていたのに、現在の解析学の話題ではちっとも触れられなくなりました。少しはこうした事情は言っておいた方が良いと私は思います。

4021. ポリゴン表示、続き^8

　平面上で半径の異なる2円の円周から等距離にある点は、半径の差が維持されるので双曲線になるのでした。これを思い出すだけで時間がかかったことになります。これを球面に移すと、多分、球の中心を頂点とする斜円錐との交線になります。つまり少なくとも4次関数にはなりそうな気がします。

　実は、この球と斜円錐の交線に出会ったのは2回目で、多分、リーマン面というか平射図法の逆をやった時に普通に出てくるみたいです。
　ちなみに、斜円錐は普通に円錐と呼ばれている直円錐を斜めに切った形ではありません。コーン自体が楕円にひしゃげています。数学辞典でもあまり触れられておらず、多分、解析幾何学的には難物と思います。

　これに手を出すのはまずいと思ったので、(任意の)2小円(3小円)に平行な2線(3線)の採用は見送りにします。実は、ここで議論している球面上の互いに交叉する3小円はとても簡単に3個の大円(つまり球面三角形)に写像できるので、こちらで内心を計算することにします。実際には、さらに正三角形からの写像のみで計算は自明にする予定です。もちろん、戻すと平行にはなりません。しかし表示だけの問題(三角形などの面の奥が見えれば良い)なので、プログラミングの完成を優先したいです。

　ふう、これで前準備はすべて整ったはずです。気が付いたら三月末でした。この素材で、今から3日でプログラムを完成させるのは学生時代でも無理と思います。なので完成、つまり出てくる絵の紹介は数ヶ月後にお預けです。

4020. ポリゴン表示、続き^7

　で、その平射された球面上の変形球面三角形の辺(小円)からの等距離の同球面上の点を探ることにしました。多分、妙な曲線になると予想しています。とにかく、あんな簡単な物でもビットマップ表示の仕組みを作っていて良かったです。

　などとだらだらと個人作業の途中経過を述べるのも、何だか国際情勢が妙な感じになってきたからです。うかつなことが書けません。ウクライナがロシアに対して攻勢に出ると報道されていて、それに関して東アジア情勢が動くかどうかの感じだからです。
　動かなかったら従来の日本の立場を継続するだけで済みます。動いたら大変で、新たな秩序を構築しないといけません、誰が?、なのです。

　本日も通勤途中の駅は行楽地への経路になっているのか観光客でごった返す、という表現に近いほど混んでいました。なんとも平和なこと。

4019. 歌織の誕生日

　明日、3月27日はPS4の最新アイマスゲーム、スターリットシーズンに出てくる仮想アイドル、桜守歌織(ミリオンライブ)の誕生日だそうです。いつものようにスターリットシーズンのPV新着欄で有志Pがお祝いのPVを上げるはずです。

4018. ポリゴン表示、続き^6

　こちらの地方は明日は雨の予報なので、いつものように買い物は本日に済ませて。近所のスーパーマーケットは普通の混み具合でした。特に変わったことはありません。

　現在進行中のプログラム構想は4次元多胞体の表面を単位超球面に投射して、それを平射図法の要領で3次元(ユークリッド空間)に投影し、簡単なアニメにする計画です。
　で、今はその下準備というか構想中というか。等角写像なので円は円に、球は球に写像されます。元の超球面上の大圏コースというか測地線は元々円弧なので、平射しても円弧になります。その円弧は元は多胞体の辺です。多胞体の面は元は平面ですが、超球面に投射した時点で球面になり、平射しても球面のままです。楕円体などにはなりません。しかし、地図で分かるように変形はします。

　この感覚に慣れるのにかなり時間がかかりました。元の球面三角形は平射後も球面に乗りますが、辺は大円では無く一般には小円になります。これに気付くのにしばらくかかった、ということ。
　つまり元の球面三角形の球は原点からずれたところに中心がある球面に平射され、しかし測地線の円弧の平面は原点を必ず通ります。これは平射図法が原点と単位円の所では縦横二倍の縮尺の違いが出るのが原因です。つまり図形が歪みます。したがって、元の球面三角形(辺は大円の一部)は微妙に歪んで、小円の一部に囲まれた球面上の三角形になります。うむ、この表現に到達するのに数日を要しました。

　まあ、分かってしまえばプログラミングは出来ます。平射図法にこだわる理由は、通常の正射図法だと北半球とかの半球しか表現出来ず、南半球を無理に描くと重なってしまいます。平射図法だと球面全体が描けて、しかも測地線が必ず(ある条件を満たす)円弧になります。ただし、南半球に移ると急速に拡大されてしまうので、3倍程度の所、つまり南緯70°付近で打ち切る予定です。経験上、この程度で多面体ではうまく表現出来ます。

4017. やよいの誕生日

　明日、3月25日はPS4の最新アイマスゲーム、スターリットシーズンに出てくる仮想アイドル、高槻やよい(765オリジナル)の誕生日だそうです。いつものようにスターリットシーズンのPV新着で有志Pがお祝いのPVを上げるはずです。

4016. バルカン

　本日も普通にお仕事。昼休みに職場近所のショッピングモールに出かけたら、割と交通量の多い駅の近くのためか観光客がいっぱいです。普通に食事して。
　隣接する大型書店で技術書コーナーをぶらぶら見ていたら、Vulkanの文字が何となく気になる。よく考えたらOpenGLの後継で、知りたかった技術なのでとりあえずひっつかんでセルフレジへ行きました。
　Vulkanプログラミングガイドです。これ、AMDのマントルと呼ばれるGPU駆動系の仕掛けが入っている、とのことでずっと探していて、しかし特にビデオゲーム作成には関心がありませんから積極的に探すことも無く数年。やっと巡り会えた感じです。

　もちろん、DirectXとユニティの解説書はたくさん並んでいますかすら、多分、この分野を知りたい方はそういうのを買っているのだと思います。ええと、私は関連としてはUNIXのエンジニアリングワークステーションというのが流行しだした頃に、X windowでアテナウィジェットとモチーフと呼ばれる、今のWindowsみたいな仕掛けと、Direct Xの直前にOS/2と呼ばれるIBMのパソコンOS上で動作するダイブと呼ばれる仕掛けと。
　初期のDirect Xは少し触ったことがあって、この時はWindows 98あたりだったか。ロボット対戦のデモプログラムがあって、BGMのノリがやたらと良かったことを思い出します。うろ覚えです。

　まあですから、Windows NT系でOpenGLが使えるようになった時は嬉しかったです。案の定というか、今でもそのまま使えます。しかし、肝心のOpenGLはその後、多少迷走した感じがありました。Direct Xの方はどんどん進化して行きます。
　OpenGLはバージョン2と4の解説書と、シェーディング・ランゲージ(GLSL)の本(英語)は持っていて、しかしあまり使う気にはならず。なのでVulkanの解説書を探していた、ということ。どうやら昨年夏に出た邦訳のようです。まだざっと見ただけです。

　開発キット(SDK)は普通に手に入るみたいです。うむ、現在の仕事をしていなかったらさっそく飛びついてプログラミングしていたような気がします。まずは読んでみて、面白そうなら感想を書きます。

4015. 昼休み

　本日は普通の内勤日でした。少々早めの食事に職場近所の量販店に出かけたら、店の前に人だかりが出来ていて、時々歓声が沸いて、どうやらWBCの決勝戦の中継のようです。こんな光景は多分初めて見ました。街頭テレビなど、力道山か大鵬か長嶋か、の感覚でしたから。

　ネットの反応は本日も面白くて、世相を反映しています。ええ、国際情勢の。冷戦時に似ていて、世論誘導の感じが露骨になってきました。今の感じは、いわゆる西側は準備万端の感じです。

4014. ポリゴン表示、続き^5

　本日は春分の日で私は休日でした。ネットではWBCの野球の話題で盛り上がっていて、見ていて面白いです。国際ニュースでは我が国の岸田首相がウクライナの首都キーウを訪問中だそうです。いろいろ世の中が変化して行きます。

　Windowsプログラミングのみのソリッドモデル表示は、考えるだけにしました。メモリ内にビットマップデータを置いて、そこに書き込んで、表示と操作性はありがちな画像表示ソフトの感じにするのが良いみたいです。こちらは空き時間が出来たら実行に移します。
　明日からはWindows内蔵のOpenGLを用いた幾何学の話題からの表示にしばらく専念する予定です。ごく簡単な3Dアニメ機能が付くはずです。決断に至るまでに2週間と少しかかりました。まだ漠然とした構想しか無く、細部を詰める作業から開始です。

4013. ポリゴン表示、続き^4

　でまあ、一応OpenGLの昔の公式解説書は最後まで読みました。最後の方はかなり飛ばしたというか、どうやらマウスで図形を引っかけることが出来るようなのですが、私が想定しているのはPCゲームと同様に矢印キーとZXCVキーなどで操作する感じなので、後者はWindowsプログラミングの話になります。マウスはメニュー項目選択とモードレスダイアログボックスにあるボタンのクリックと、あと文字列表示も元々のWindowsで。OpenGLは絵作りに徹した方が良い、と今の段階では考えています。

　そのOpenGLも、どこまで行ってもポリゴンというか空間三角形表示になっていて、おそらくハードの都合なのでしょうが、最後の方にあったデプスバッファ(z方向なのでzバッファとも言う)、ステンシルバッファ(型抜き)、アキュムレーションバッファ(絵を累積する)を駆使する演算は面白いことは面白くて、若かった頃ならあれこれ考えて試していたと思います。しかし、その昔は3Dアクセラレータがそこそこの性能しか無かったし、十分に使える頃には私は本業に専念していました。今から?、どうしようかな。

　幾何学図形表示で言うと、三角形の集合で済むもの、つまり多面体の正射影や普通の遠近法の範囲なら素直にOpenGLが使えて、つまりはGPUの威力を試すことが出来ます。
　そうで無い場合。今考えているのは空間版の平射図法で、扇形(円盤の一部)や球面の一部、特に平面や円環で区切ったものを表示したくて、どちらかというとソリッドモデルの発想になります。これは以前にやった陰関数表示と似ていて、今のCPUは高速ですからそこそこの速度で表示できるはずです。
　後者をOpenGLのようなポリゴンモデルで表示する場合は、必要な頂点座標を計算して組み立てる方が速いと思います。わざわざ表示してから区切る減算方式は多分、効率が悪化します。

　実のところ、両者とも計画の中に入っているので、時間があればポリゴンモデルとソリッドモデルの両方ともやりたいですが、意欲と時間が取れるかどうか。ううむ、やはりアニメ化は魅力的なので、多少ゴツゴツしてもOpenGL方向になってしまいそうな気がします。

4012. ポリゴン表示、続き^3

　昔のOpenGLプログラミングガイドはほぼ主要部分を読み終えました。この際なので最後まで進むつもりです。応用として、懸案だった幾何学模様を表示するソフトを2～3作らないといけません。それらをやってから次に進むのが望ましいですが、時間が取れるかどうか。とにかく、面白い図などが出てきたら報告予定です。

　これが済んだら数学に戻ります。こちらもいくつかの懸案があって、何とかして乗り越えないといけません。今回のコンピュータグラフィックスの勉強と重なれば儲けものですが、そううまく行くかどうか。うっすらとしたアイデアはありますが、実現可能かどうかを実際のプログラムで確かめながらです。その下地は出来たことになります。

4011. ポリゴン表示、続き^2

　今読んでいるのはテクスチャ・マッピングの章です。原理は分かりやすいものの、これ、しっかり絵を描こうとするとものすごい量のプログラミングになりそうで、実際にはうまく立ち回らないといけないと思います。
　それにしても、こういうのは若い内にやっておいた方が良いと思います。今やっても、あれこれ考えを巡らせてさらに調べ物をしないといけないので、考えが落ち着くまでいつまでかかるかな、の感じです。

　作者が親切で、いろいろなアイデアが書いてあります。1993年になぜこれほどに発達していたかというと、コンピュータグラフィックスには学術・技術用途に需要があって、とても大きな高価な装置が売られていて、原理や応用の開発に必死だった、その後だったからです。つまり、それ以前に当時に出来るようなことは徹底的に調べられていたのです。
　それがマイコンというかパソコンの世界に降りてきた時代のことです。3Dアクセラレータは人気商品でした、今でも。ゲーム機ではPS1 (1994年)自体が3D対応が売りだったはずです。

　今は総天然色の時代で、メモリはふんだんに使えてCPU/GPUも高速ですから、やや古く見える記述はあることはあります。ここは今の環境に慣れた人にはかえって想像が及ばないかもです。

4010. ポリゴン表示、続き

　OpenGL 1のプログラミングガイドはやっと前半を読破しました。ここまでで幾何学模様の3Dアニメはできます。ごく丁寧な解説なので、出てくる関数はそれほど多くは無いものの、盛りだくさんの感じがします。ポリゴンモデルの組み立てと、表面の材質感の付与とカメラと照明のセッティングです。
　後半は前回(約20年前)はとりあえず不要だったので軽く読んだだけの部分で、今回は一気に片付ける予定です。しかし仕事をしながらのためか思っていたよりもゆっくりの進行です。

　予定では3月の後半にいくつかのプログラムというかアプリというかを完成させる手はずだったのですが、遅れています。まあ、遅れたところで仕事とは今はあまり関係ないから落ち着いたものですが。
　それと発表の場をどうするか。久しぶりにとある無料ソフトサイトに投稿し直すかもです。メール会員で、最近も宣伝メールが来ていたから多分メンテは十分にされていると思います。