3703. 内心、続き^2

　内心の座標算出で平面三角形の場合を説明しました。拡張の方向は2つで、一つは3次元以上のユークリッド空間の方向で、とりあえず任意の四面体の4頂点の座標から内心の座標を求める方法。もう一つは球面三角形の内心の座標を求める方向です。今回やりかたったのは球面四面体の内心を求めることです。

　何に役立つのかというと、正多面体と半正多面体、4次元の正多胞体と半正多胞体の表示(コンピュータグラフィックス)に使います。もっと高次元にも拡張したいですが、表示の都合上、今は4次元まで。できれば8次元に面白い図形があるのでそちらもやりたいですが、話がややこしくなるので後回しにします。

　まずはユークリッド四面体の内心の位置ベクトル。予想として、
　　`I = (a`A + b`B + c`C + d`D) / (a + b + c + d)
　の形になりそうです。`A等は四面体の頂点の位置ベクトル(座標)です。問題はaとかbのスカラ値の正体。四面体の辺は6本あるので、それでは無いと想像できます。
　4個あるのは面です。面と言えば面積ですから、たとえばaは頂点Aの反対側の面の面積であると予想できます。で、表計算ソフトで計算させると、どうやらそのようです。

　ようです、って、証明にも何にもなってないです。単に数値計算で確かめただけです。まあ、平面三角形の場合は面積を経由させたので、こちらも面角を2等分した面で四面体を2個に分割する方針で証明できるような気がなんとなくしますです。数学用語で言う、明らかに、というやつ。
　勝手に類推を進めると、n次元のn+1単体では、n+1個の頂点座標とn+1個の胞(単体を境界するn-1次元の単体)の容量(長さ、面積、体積の系列)で内心の座標が計算できると思います。
　胞の容量は頂点座標の行列式で計算できます。つまり次元が上がると、この方法では急激に計算量が増えますが、上述のように今は4次元までしか考えないので高々3次の行列式ですからそれほど計算時間は食わないはずです。

　これ以上の追求は私には無理っぽいので、この方向の話(ユークリッド単体の内心)はここまでです。なお、この感じで数学のレポートを書くと、夏休みの宿題レベルであってもまず間違いなく門前払いを食らうと思います。あくまで個人で責任が取れる範囲でご活用下さい。

3702. 内心、続き

　ゆっくりしか進まなかったです。三角形などの頂点から内心を算出する方法。やっと一区切り付いたので結果報告します。

　まず任意の平面三角形の内心の求め方。これに関してはweb検索するとすぐに出てきます。その情報を参考にさせていただきました、ありがとうございます。
　三角形の内心は、内接する円の中心です。その円は各辺と1点ずつで接しています。ということは、内心は3辺から等距離にある点、です。

　まず第一段階として、三角形ABCを描きます。左下がAで右に水平に線を書いて点B。その上方に不等辺三角形になるような点Cを定めます(二等辺三角形から少し左にずらして描くと、後々の説明に都合が良い)。辺の名称は反対側の頂点で表すので、辺BCをa、辺CAをb、辺ABをcと呼ぶことにします。
　本ブログでは図を示しませんので、興味のある方は手元のメモ用紙などに三角形を書いた方がずっとよく分かると思います。

　角Cの二等分線が辺cと交わる点をDとします。つまり、∠ACD = ∠BCDとなるような辺AB上の点を定めます。線分CDも描いておきます。線分CD上の任意の点から辺aと辺bに下ろした垂線は同じ長さになり、つまり線分CD上の点は辺CB(a)と辺CA(b)から等距離にあります。

　うむ、思ったよりも文章が長くなりました。ややだれそうな感じですが、続けます。

　今度は、角Aの二等分線が線分CDと交わる点をIとします。つまり、∠CAI = ∠DAIとなるような線分CD上の点を定めます。線分AIも描いておきます。線分AI上の任意の点から辺bと辺cに下ろした垂線は同じ長さになり、特に点Iでは3辺と等距離になりますから、ここが内心です。

　つまり、この方法では2回の二等分線による対辺の分割が出てきます。なので、点Dの座標が点C、点A、点Bの座標から計算できれば、点Iの座標は点A、点D、点Cの座標から計算できます。
　点Dの座標を求めるには、長さの比が、CA:CB = DA:DBとなる性質を使います。この定理には名前があると思うのですが、とりあえず手元の公式集には名称が書かれていないので省略します。証明するには、というか納得するには、点Dから辺aと辺bに垂線を下ろせば、その垂線の長さは等長ですから△ACDの面積:△BCDの面積 = 辺b(CA)の長さ:辺a(CB)の長さとなり、これがDA:DBとなるのは容易に分かると思います。
　これを使うと、点Dの座標はとても簡単に求められます。

　点Aの位置ベクトルを`A、点Bの位置ベクトルを`B、点Cの位置ベクトルを`Cと置くと、点Dの位置ベクトル`Dは、辺の長さa, bを使って、
　　`D = (a`A + b`B) / (a + b)
　となります。点Iの位置ベクトル`Iは、
　　`I = (a`A + b`B + c`C) / (a + b + c)
　ととても簡単な式が出てきます。

　まあ、このままの形で計算しても良いのですが、長さa, b, cを求める際にピタゴラスの定理を使いますから平方根の計算が3回出てくるのがやや気になります。
　実を言うと、この先が本編です。つまり、多分おそらく続きます。

3701. PSプラスに新機能追加

　今度の6月からだそうです。ゲームサイト経由の情報なので詳しくはプレイステイションのサイトで確かめる必要があります。
　要するに、今のPS plusにPS nowを追加統合して、さらにPS1/PS2/PSPアーカイブがダウンロードで遊べるサービスが追加のようです(追加部分は追加料金要)。後者はPS3の時代では一個一個買い取り形式でダウンロードで配布されていました。

　PS nowは私の環境では数ヶ月前からとても快適になっています。1年前でも時間帯によってはなかなか接続できませんでしたが、今は違います。皆様の所では分からないので、試す必要があると思います。
　上述のサービス開始時は混むと思います。ですから、関心のある方は今のうちにPS nowを試しておくと良いと思います。サービス開始後はほどなく落ち着くと思います。

3700. 分子集合体

　本日も昼食と称して職場近所のショッピングモールへ。隣接の大型書店ではとある科学啓蒙雑誌で古代ギリシャの天文計算機の文字が目立ったので手に入れました。PS5のゲーム、エルデンリングで星占い師がアストロラーベをぶら下げているみたいで、あれ、使う場面があるのかな。
　アストロラーベは計算尺みたいな感じで、しかしその天文計算機は時計のような複雑な機構でいわゆる遊星歯車まであって、投影機能の無いプラネタリウムみたいな感じです。

　それとは別に、X線構造解析の本が目立ったのでこちらも手に入れました。普通は共有結合とかイオン結合とかファンデルワールス力で固まっている材料の解析に使いますが、この本では液晶みたいな対象にX線を当てています。どうやら温度や圧力やモル比で配向(?)が変化するのを調査する感じです。
　当方はどちらかというと物性と言うよりは図形としての対称性に関心があるので、その基礎部分の解説が詳しいので買ってしまいました。この手の本は発行部数が少なく、運良く大学図書館などで採用していれば良いのですが、そういうのは必ずしも私の関心とは重なりません。

3699. クレジットの配布

　PS5の最新ゲーム、グランツーリスモ7で1億クレジットの配布がありました。ネット情報では課金要素が何とかかんとかで、今度の4月にゲームシステムの調整が予定されているそうです。私は最初の方しか進めていないので、当然ながら気づきませんでした。
　そのネットの噂では、普通にプレイする限りはごく普通に進行するみたいで、かなりやりこむ人が遭遇する事態での事情のようです。もちろん濃いファンですから運営側が対応したのだと思います。
　4K画像がとても綺麗なので、何とかうまく行って欲しいと思います。

3698. 歌織の誕生日

　明日、3月27日はPS4の最新アイマスゲーム、スターリットシーズンに出てくる仮想アイドル、桜守歌織(ミリオンライブ)の誕生日だそうです。いつものようにスターリットシーズンのPV新着欄で有志Pがお祝いのPVを上げるはずです。

3697. マヨラナ粒子

　昨日は本年度最後の出張でした。いつものように昼食と称して職場近所のショッピングモールへお出かけ。春休みなのか中高生や親子連れが多数来ていたようです。ゲーム売り場は特に変化無しの感じ。

　大型書店ではシュレーディンガー方程式の解説書が目立っていて著者に見覚えがあると思ったらテンソル解析の入門書を以前に読んでいました。反変・共変ベクトルの解説で、非常に助かりましたが、結局は別のとある数学公式集の解説で落ち着いた感じです。今回はどうなるか、つまりまだ読んでません。

　それとは別に、とある科学啓蒙雑誌でマヨラナ粒子というのが特集になっています。荷電の無いフェルミ粒子(クォークと電子とニュートリノ、つまり物質)で(正)粒子と反粒子が同一になる性質の理論的粒子のようです。ええ、いつものようにフィーリング理解です。現実のニュートリノがそのマヨラナ粒子の振る舞いに近いとのことで注目されているとのこと。
　読んで理解したとは言いがたいのですが、いくつかの懸案だった要素の説明が適切で知識は進んだ感じがします。おそらく、シュレーディンガー方程式の本に内容が載っているはずで、私が面白いと感じたら報告します。

3696. やよいと、翼の中の人の誕生日

　明日、3月25日はPS4の最新アイマスゲーム、スターリットシーズンに出てくる仮想アイドル、高槻やよい(オリジナル)の誕生日だそうです。また、この日は同じく仮想アイドルの伊吹翼(ミリオンライブ)の声優、machicoさんの誕生日だそうです。
　いつものようにスターリットシーズンのPV新着欄で有志Pがお祝いのPVを上げるはずです。

3695. 世界地図

　本日は普通に内勤。昼食は珍しく職場近所のスーパーで日用品と同時購入しました。以前は良く弁当を買っていたのですが、とある理由から今は庶民的レストランを選択しています。
　いや、ネタが尽きた訳では無いです。現状報告だけです。

　新型コロナ流行の少し前から世界情勢が激変していて、なぜか日本上げが始まってしまって、今は東欧情勢がネットの話題です。私はちっとも望んでいませんが、世界地図が変わる可能性があるので少し前に年刊の情報誌を兼ねた世界地図を買ってしまいました。

　G7はイタリア以外は仕事関係で旅行したことがあります。フランスはパリでは無く宇宙産業のあるトゥールーズでした。ここでもフランス風情があって、さすが伝統のある国は違うな、と思ったものです。
　担当者に会ったときに思いっきりボンジュールと叫びましたが、まあそんなに緊張するでない、みたいな落ち着いた対応をされたのが印象的だったです。招待された小さな晩餐会は印象的でした、ってまた食事の話になってしまったか。当然、ものすごく美味でしたが量の多いこと。招待した方のフランス人が嬉々として食していたのが印象的でした。こちらは途中で腹一杯。いや、素晴らしいワインやお好み焼きみたいな分厚いチーズ(複数)やフォアグラでいろいろ楽しめましたが。

　昼の休憩時に街を普通に散歩して見学。油絵で見たような狭い路地といわゆる欧州風の広場(スクェア)。大きな広場には市庁舎とキリスト教会が面していますが、普通の場所は単に道路が集合しているだけで、日本で言えば村の鎮守の神様の場所のような感じです。
　当時は私は40歳くらいだったか。日本人がそんな路地を歩いていたら目立っていたと思います。人通りは少なかったです。仕事で余裕の時間は無かったのでいつも行くはずのパソコンショップは空港で済ませたと思います。フランス語のキーボードは買ったか。あまり関心の無い方でも、アクサンやセディーユの打ち方は知っておく方が良いと思います。というのは、辞書順で日本語は複雑だとか言ったら、たちまちフランスやドイツからこちらも同様だよ、との意見が飛んでくるからです。

3694. 三連休終了

　結局、その数学基礎論の本を読破、というかざっと見しただけで、あとは必要な家事をしただけで三連休は終わるみたいです。疲れが取れたからこれで良かった、とは言えます。

　ふう。コンピュータのプログラミングでいつもやっていることなので何となくは分かるのですが、数学書ですから途中で長大な証明に入るので技術者の私などは、いいから結論から言ってくれ、の感じになります。

　約3年前から取り組んでいるとある英語の古典幾何学書の翻訳計画は、恩師に草稿を送ったまま何の経過も知らされていません。編集部には手を加えた原稿を送っていると言っていましたし、とある超有名数学者の監修を取り付けたとのことで、数学に関してはアマチュアとプロの中間みたいな私は多分、置いてけ堀の気がします。最終校正用の原稿が来るとの話でしたが、いきなり完成した本が送られてきてもちっとも驚きません。
　まあ、私の粗雑な日本語訳でも迫力のあること。さすがに巨匠時代(西暦1900年前後、明治時代)の数学者は存在感がひと味違います。クラシックで例えると、ブラームスの交響曲など21世紀の今では再現は無理で、無理矢理それっぽい音楽を作っても何かの冗談にしか思えないと思います。

3693. セール中

　本日もゲームのゴールデンタイムにもPS nowが快適です。どうなっているのかな。インターネット系のインフラが整備されたのか、あるいはソニーがサーバーの扱いで尽力しているのか、両者なのか。いずれにしろありがたい事態です。
　PS storeでは継続しての形で三月セールを実施していて、つい最近パッケージで買ったとあるゲームが3割引になっていたりして。楽しめればそれでいいので、特に感想も出ませんが。

　PS5系ではエルデンリングが引き続き話題になっています。開発元はブラッドボーンやダークソウルズなどが引用されまくりなので、逆オマージュをやっている感じです。その課程で古いゲームの話題が出てきました。

　具体的にはウィザードリーとローグです。マイコンゲームに関しては古参のはずの私にもいずれも本家は知りません。ウィザードリーはApple IIのゲームの印象、ローグはいわゆるミニコン時代のゲームと思います。
　私に関しては、ウィザードリーはPS3に来たルネサンス(囚われし、の方)はかなりやりこみました。ローグはいわゆるローグ系のゲームしか知りません。

　ついでに、アドベンチャーゲームも今主流の萌え絵系では無く、ミッションアステロイドやミステリーハウスを想起します。ミステリーハウスは私は(たしか)PC-6001の5インチフロッピー(1D: 片面倍密)版でプレイして、いかにも米国らしい解決法が思い至らず、5年ほど未解決だったのを思い出します。落ちはあまりにもくだらないのでここでは述べません。関心のある方はネットで大量に情報があると思うので、そちらをご覧下さい。

3692. 数学の証明

　先週に続き、今週もたっぷり働かされたような気がします。特に激務という訳では無いのですが。幸いにして私の場合は本日から3連休です。

　最近の数学啓蒙雑誌で、最近の数学者はほぼ算数はしないという論述があって、私の感想ですが、これはひどい、の感じです。今の数学者は証明無しに数学を進めているのでしょうか?。証明も一種の計算過程と見なすことができると思います。間接的証拠として、原則的にごく狭い範囲の整数の足し算しかできない現在のコンピュータでも、数値計算も数式計算も、ある程度の証明もこなせます。
　私が関与した1950年付近の幾何学書でも、著者はものすごい量の具体的数値計算をしていることがありありと分かります。それ以前の数学者も、ニュートンからガウスあたりまでは数値計算も良くこなしていたように思えます。

　多分、今は分業が進んで、たとえば昔の天文学者は観測用のレンズを磨きましたが、今は別にその筋の専門家がいる。という状況の説明とはある程度は理解できます。
　日本に関しては、たとえば幾何学と証明は1セットの感覚がものすごく希薄な感じがします。ユークリッド幾何学が賞賛されるのは単に図形を操作しているだけでは無く、証明の課程がしっかりしているからだと思います。異論があるのなら、説明が必要と思います。

　その数学的証明の方は私は今も追いかけていて、最近も2冊の本を手に入れました。以前買った本も読み直す必要があると思います。
　一つは論理計算に関する百科事典みたいな本で、もう一つはいわゆる数学基礎論の本。

　後者は珍しくカット述語について詳しく記述されているので手に入れたのですが、かなり難解で手強い感じがします。カット述語は途中計算を省くための仕組みで、計算機科学の立場からはいわゆる組み合わせ爆発を抑えます。別の言い方をすると、非決定性と決定性の間を取り持つので、たとえば有名なP≠NP問題などに関連しているはずです。また、私の意見では、なぜ時間が逆転しないかの説明の鍵の一つと思います。

　面白かったのは実数、つまり連続の定義で一階述語論理の範囲では記述できず、二階述語論理になっているとの解説。この説明は初めて見たような気がします。
　いわゆるメタ言語を使っている、と言う意味のはずです。普通の微積分の本では操作対象もメタ言語も同列の日本語で説明されるので、どうりで混乱するはずです。

　メタ言語と言えばSmalltalkと呼ばれる初期の人工知能の時代に流行していた計算機言語があって、しかし私はほとんど中身は知らず、解説書も持っていません。使える処理系が無かったからです。
　代用としては純LISPのS式とM式が近いはずです。SはSymbolで操作される対象としての式、MはMetaでプログラミング用の仕掛けのことです。

　最初期にはevalquote LISPと言って、計算機に計算命令するときはM式を入力するのがありました。中身は形式が異なるS式ですから、かなり慣れていないと混乱します。なので現在はeval LISPと呼ばれるすべてがS式のインターフェースになっていると思います。
　なのでメタ式があまり意識されることはなく、普通のプログラミング言語の感覚で扱えます。これは利点ですが、その代償として最初の構想時とは異なり、計算機がなぜ計算できるのかの意味を取るのがかえって難しくなると思います。

3691. 内心

　本日は内勤の日。それと回ってきたやっつけ仕事をさっさとこなして。
　やや余裕ができたので、今は趣味のコンピュータグラフィックスの懸案事項を休憩時間に考察、と。内心の座標計算です。目標は普通の平面三角形、球面三角形、ユークリッド3次元(普通の3D)の四面体、球面四面体(ユークリッド4次元内の超球表面)、当面ここまで。できれば任意の高次元空間の平らな単体と球面単体。

　手元の数学公式集には載っていないのでweb検索すると、平面三角形の場合の公式が出てきました。頂点の座標とその反対位置の線分の長さによる簡潔な数式です。ふむふむ。
　で、四面体の内心(内接球の中心)の公式は当然というか見当たらないので、考察。

　四面体の辺は6本ありますから2個余るのかな。n次元単体(頂点はn+1個)の2次元平面への正射影は角度を適当に決めると正n+1角形になり、そのすべての頂点の組み合わせ(n+1)C(2)の辺はn+1本の辺と内部の線分になりますから、云々と。まあ、これは間違いの元なので考察課程の説明なので忘れて下さい。

　内接円や内接球の中心から表面への垂線の長さはどれも同じなので1に単位化できます。その円や球に接して辺や面がある、と。三角形なら垂線は3個で四面体なら垂線は4個。　なので素直に類推すると表面となる胞の容量と反対側の頂点位置の式になると直感しました。次に暇ができたときに表計算ソフトで確かめてみます。その後に数学的証明にトライ。計画通りに行ったらこの手の話題に興味のある方には面白いので多分報告します。

　球面三角形の内心の方は、たしか10年ほど前にプログラミングしたときは球面三角法で無理矢理求めたと記憶しています。もう一度確かめなきゃ。これの4次元版、球面四面体の内心の座標決定(四面体の頂点座標から内心座標を割り出す公式)が当面の目標です。失敗したら非線形計画法での探索となりますが、最後の手段です。

3690. キーウ

　近々東欧3カ国の首脳がウクライナの首都キエフで会談するとのことで、たしかロシア軍に包囲されているという情報があったような無かったような。
　ネットではその首都をウクライナ語の語調に近いキーフやキーウと書く人が目立っています。今すぐに変えると混乱するのとウクライナ側からの要請が今のところ無いとのことでキエフと書いても当面は差し支えないようです。

　ウクライナ語はWikipedia等で見ることはできますが、私は勉強したことがありません。探せば日本語のウクライナ語入門書はあると思います。

　かなり乱暴な連想ですが、オランダ語とドイツ語みたいな関係なのかも。ドイツ語は大きな大学では授業があると思います。オランダ語の方は日本では話者が100人程度とか言われていて、それほど広まっているとは言えないと思います。綴りを見るとオランダ語とドイツ語は近縁な感じです。しかし発音は微妙に違って、数学者Schouteはカタカナのスハウテに近いらしいです。ドイツ語だとschはシュを連想させます。ちなみに、ドイツではしばしば英語が通じず、必死で発音したつもりの私のドイツ語は聞き取りにくいみたいで、だれか英語話せませんかー、と(英語で)叫んだことがあります。なにしろ母音が8つもあり、これがはっきり区別できないといけないみたいです。ちなみに日本語はあいうえおの5つ。英語とフランス語は6つ(アクサンの付いたeと普通のeの区別)と考えると良いと思います。

　オランダでは広く英語が通じるようです。数学もそうですが、情報学にも巨人がいて、排他処理のセマフォででてくるP命令とV命令がオランダ語の頭文字とか。辞書を見てもピンとこなかったので、紹介されたオランダ人に聞いたら、字義通りだよ、とか言われて、こちらはそうでは無いから尋ねたので、無理矢理納得するしか無かったです。
　ウクライナは科学技術で優れた国のようですから、科学論文は十分に書けるのだと思います。おそらく文学もいろいろあるでしょう。ですから学習する値打ちはあると思います。単に話者の数が相対的に少ないだけのことと思います。

3689. 歌織の中の人の誕生日

　本日3月13日はPS4の最新アイマスゲーム、スターリットシーズンに出てくる仮想アイドル、桜守歌織(ミリオンライブ)の声優、香里有佐さんの誕生日だそうです。いつものようにスターリットシーズンのPV新着欄で有志Pがお祝いのPVを上げています。