本日は久しぶりの休日らしい休日だったので朝にやや規模の大きな理髪店に行きました。しかし、考えることはみんな一緒だったみたいで30分ほど待つことに。その間に、その一般相対性理論の数式に文系の雑誌編集長が挑む話の科学新書シリーズを最後まで読んで。
収穫は大いにありました。さすがに科学雑誌の編集長で、どれが重要用語なのかがよく分かっている。私にとっての収穫はΓ記号とメトリックが結びついている点です。こういうの、当たり前なのか普通の教科書にはなかなかストレートに地の文で表現されていないです。
まあ、最後の方はかなり急いでいて、数式の変形に専念して物理的配景がなかなか付いてこれず。それでもこれも私にとっての収穫で、例のハミルトニアンとラグランジアンの操作が見られて、これだけでも満足です。ハミルトニアンは力学エネルギー(運動エネルギ＋位置エネルギー)のことで、ラグランジアンは運動量の式でニュートンの第二法則に対応する量。どちらも保存量であるのが特徴です。良かったのは、ハミルトニアンの方が時間的な量で、ラグランジアンが空間的な量との解釈の下り。物理しています。
もう一つ、曲がった空間でのベクトルの微小な平行移動を接続と言います。曲がっているのでユークリッド空間だと単位ベクトルとなる基底ベクトルまで向きや長さが変わってしまうので、数式でもその項が加えられている、との下り。こういう言い方を普通の教科書でもして欲しかったです。よく分かりました。
まあなので、読んだ甲斐はありました。ただ、不思議なのは最後まで物理の反変・共変ベクトルの解釈がなかったことです。数学ではベクトルは単にn次元空間の矢印なのでかなり言い表しにくい概念になってしまっていると思います。
しかし、物理の反変ベクトルと共変ベクトルは、物理量の次元を持ち出せばあまりにすっきり分かるので拍子抜けです。この解説が欲しかった。
つまり、たとえば長さ系だと単位にm (メートル)が入っているのが反変ベクトルで、/m (メートルあたり)が入っているのが共変ベクトルです。これを掛け合わせるとメートルが1次元×-1次元ですから0次元となり(指数だから足し算になる)、つまりスカラ量になります。n次元空間ではnで剰余が共役になっていて、-1 + 3 = 2ですから、共変ベクトルは始平面と終平面の2次元で図示できます。
基底ベクトルが小さくなると、たとえば単位がmからmmになると、同じ反変ベクトルの成分は大きくなります。ところが、共変ベクトルでは始平面と終平面が遠くになるのでコンデンサの(電気的)容量が小さくなる感じで成分が小さくなります。つまり、長さと濃さは反比例すると覚えると覚えやすいと思います。
なので、3次元の場合は0次元量がスカラ、1次元量が反変ベクトル、2次元量が共変ベクトルで、3次元量がスカラに戻ります。物理で微分すると次元が1つ下がります。なので、n-1次元を現す共変ベクトルよりも、最近は微分1形式の考え方が主流になってきているようです。アインシュタインの時代の数学なので、このあたりは古き良き数学を楽しむ感じで読む必要があると思います。
もう一つ出てこなかったのは、たしかこのあたりの物理の式は中身が複素数であること。虚数成分の解釈に困るのは物理も数学も同様で、だから自乗などが出てくる。数学では虚数は回転を意味し、物理でもそう表現されると思います。
