4367. 集合論の啓蒙書、続き^2

　本日は一日出張でした。昼休みが長かったので、その1961年と1965年刊の現代数学の教科書を読んでいて、特に集合と位相に絞った本ではないので、今読んでいるのは群・環・体の所です。

　群は対称性を保つ操作のことで、図形の平行移動(並進)・回転・鏡映のセットが最も分かりやすく、しかし「現代数学」なのでいわゆる抽象群の話に終始しています。図形の群論などが分かっていればそれほど難しくはない、と思いますが、具体例を知らないと厳しいかも。
　環は整数のこと、体は有理数と実数のこと、と割り切れば、このような展開もあるのかです。
　どちらも懇切丁寧な解説で、増刷が続いている理由だと思います。具体的な書名は全部をざっと読んでから覚えていれば書きます。

　私にとっては思わぬ拾い物でした。この歳になって正規の現代数学の教程を学んだ気になりそうです。私は生物系ですから、大学の数学は線形代数、微積分、統計で終了していて、物理学は総論のみで、ベクトル解析が出てきて、しかしgrad/div/rotで終了です。力学は2次の常微分方程式まで行くと少し楽しいですが、高校では一次のみ、つまり斜面と滑車なので退屈だったのを思い出します。

　プログラミングや電子回路はほぼ独学です。電子回路はアマチュア無線の試験のために通信教育を受けただけで、後は市販の解説書や関連雑誌などからの知識です。プログラミングはNHKの教養講座のFORTRANが最初で、後はおなじく解説書と関連雑誌からの知識でした。つまり、いわゆるたたき上げに近いです。

　たたき上げが怖いのは、必要な基礎知識の一部がごっそり抜けている場合があることで、大学などでの正規の教程は重宝です。しかしその道のプロにならないのなら無駄となる部分も有りそうで、悩ましいです。

4366. 集合論の啓蒙書、続き

　集合論というか現代数学の教科書を読み始めていて、…眺め始めていて、むしろこちらの方が一歩一歩進めているためかわかりやすい部分があると思います。しかし、啓蒙書の著者(数学者)が難しいと言っているので、深くは見ていないだけかもしれません。
　ついでに、別の集合論入門も手に入れました。元は1957年刊で2014年に文庫本となり、増刷が続いているものです。やはり選択公理が気になっているようで、直接は触れられていませんが折に触れて言及されています。いや、詳しくは見ていません。ざっと読んだ感想です。

　選択公理でも可算選択公理までなら、私の考えですが、普通の計算機で対応できると思います。可算無限個のメモリが要求されていて、しかし全部を計算しなくても必要な精度の計算と比較、つまりε-δ論法が(ルベーグ測度1で)計算出来るはずです。可算無限のメモリ、の所を、必要なだけ必要な時にメモリが確保できる(不要になったら解放できる)、に置き換えれば良いです。
　あまり検討していませんが、もう少し広い探索が可能かもしれません。ただし、「実数」のこの取り扱い方法が数学的と言えるかどうかは微妙だと思います。

　で、その場合にどのような数学の姿になるのか。が検討されているのかどうか。その追加で買った本では読者に投げたままになっているようです。あまり考えたくないみたいです。

　集合論に何となくうさんくささを感じる最大の要因は、つまり集合論自体に問題があるのでは無く、選択公理の適用範囲のようです。これで大半のうやむやは解消すると私は考えています。

　今回分かったのは、うさんくささのもう一つの原因があって、「多対多」の対応が「それは写像では無い」の一言で片付けられてしまって、その後の検討が皆無になる、のようです。
　「1対1」だと単射だったか、写像であり、「多対1」でも写像であり、しかし「1対多」は写像では無く、しかし逆写像として考察の対象ではあります。しかし「多対多」はもはやそうでは無い。

　現実のデータベースでは「多対多」が普通に出てきて、対応しないといけません。しかし現在主流のRDB(リレーショナルデータベース)は集合論を基礎としているためか、「多対多」の直接の記述方法がありません。

　階層型データベースなら(多分網型データベースでも)簡単で、

　set table1("s0123", "2014/02/28", "item001") = "abc;123;xyz"

　みたいに区切り文字(上述の例では「;」)で区切ればよろしいです。区画内の各々の要素は「トークン」と呼ばれます。もちろんこの技法はRDBでも使えますが、仕様には入っていないはずです。

　現実の関数でも、たとえばグラフ用紙に円を描くと、x方向からもy方向からも関数値が多値になり得ます。これ、どう扱うのかな。リーマン面が近い考え方で、おそらく偏微分方程式では考慮の範囲で無いと不味いと思います。

4365. 集合論の啓蒙書

　いずれにしろ現代的な集合論の基礎はある程度は押さえておかないと、この方面での会話すら不可能ですから、私が最近読んだ啓蒙書の名前を挙げます。なんだかごちゃごちゃ言いましたが、とにかく勉強になったのは事実ですから。

　瀬山士郎。現代数学はじめの一歩、集合と位相。ブルーバックス B-2253、講談社、2024。

　松尾吉知。集合から空間へ。現数Select No.4、現代数学社、2024。

　どちらも復刻版で新刊です。さらに読むべき参考文献は前者に出ています。その中の専門書が手に入ったので、明日時間が取れそうなので眺めてみる予定です。私には理解できる、というよりは専門用語集になりそうです。

　集合論は私の小学生時代に学校教育に入ってきました。1970年頃の話です。それまでにすでに線形代数と微積分を柱とする数学教育方法は確立していました。ただし小中学校では普通の幾何学や代数学までです。

　私がクラシックな数学との接点として重宝している共立の数学公式集(1953年、1969年)では、微分学の章にA. 極限、B. 集合論、C. 導函数…、の順で入っていて、集合論では要素、空集合、和と積、補集合、の高校までの数学で習う範囲で始まり、集合族、写像、点集合と続き、点集合の中で近傍と閉集合・開集合と連結性・連続性、区間の話で終わっています。ちなみにこの数学公式集にはベクトル(幾何学)も行列(代数学)もありますが、線形代数のくくりはありません。
　他に押さえるべきキーワードは基数(連続体濃度)とコンパクト性、位相と測度です。選択公理は別途参考書などを探す必要があります。

　私の専門領域でもそうですが、実際に計算する際に使うのは主に線形代数と微積分の範囲で、集合論にまで遡ることは無かった、と思います。
　集合論が教養として必要な理由は、微積分では極限を取るので、実数の連続性を仮定する必要があり、その根拠というか数学的な構築の、現在の標準的な方法だからです。普通の代数と幾何学にとどまっていれば必要ありません。
　幾何学では座標を使う解析幾何学に入ると、連続性を仮定しないとグラフの見かけ上の交叉が、実際には当たらずにすり抜けてしまう場合が発生すると思います(中間値の定理)。有理数や平方根の範囲では問題なくても、超越数や、その手前の一般の代数的数ですら怪しいです。

4364. 詩花の中の人の誕生日

　本日、2月27日はPS4の最新アイマスゲーム、スターリットシーズンに出てくる仮想アイドル、詩花(961プロ)の声優、高橋李依さんの誕生日だそうです。いつものようにスターリットシーズンのPV新着欄で精鋭Pがお祝いのPVを上げています。

4363. 月曜日

　本日は普通の勤務日。いつもの大型書店に行ったら先日手に入れた一般啓蒙新書と同様の集合と位相の復刻本が飾られていて、手軽そうなので手に入れました。元は1975年の本らしいです。この領域が最近になって流行しているのかな。

　内容的には先日の本の補完になっていて、大体の様子が分かるようになっています。ただし、先日の本と同様に、位相と測度の関係が述べられていないので、ここは注文している専門書になりそうです。ここのところが何となくつかめたら今回の目的は達成できた感じになります。

　そう、何となく20世紀初め頃に激変があって、1950年以降の効率的数学に移行した経緯が分かってきたような気がします。オイラーやガウスのようなある意味、波風の立たない時代から、一旦激動した経緯。
　多分まず、産業革命の後半に機械化が進んで大量の技術者と計算が必要となり、数学書が充実されていった、のが我が国の蘭学の頃のようです。日本は機械化はまだ先だったでしょうし、算盤があったから計算能力も十分で、単に教養の感じだったと想像します。

　解析幾何学と微積分には実数とその連続性の概念が必要で、出てきた結論が集合論で、これが改革というか騒ぎの発端だったようです。集合論では可算濃度と連続濃度に隔たりがあること、その無限列がさらに無限に続くことが明らかとなりました。ゲーデルの不完全性定理の少し前に公理主義が出てきて、直観主義では明らかに不自由なので選択公理を採用することにしましたが、ここでパラドックスが猛威を振るうことになります。

　私の感覚では、選択公理にも階層があることを強調するだけで、ずいぶん落ち着いた議論ができると思いますが、そうはなっておらず、結果として実用数学の線形代数＋微積分の方向と、ややファンタジックな現代数学に方向が分かれている気がします。それを結びつけるには20世紀初頭に戻る必要があって、それを知る数学者は今は超高齢になられているようです。なので昔の数学書が復刻。

　頼みは数理論理学と思っていますが、自然界がそうなっているようななっていないような。決定論と非決定論の行き来は何となくつかめている感じですが、AND/OR/NOTが基本的かというと、多数決素子みたいな別の構築方法がありますし。

4362. 千早の誕生日

　明日、2月25日はPS4の最新アイマスゲーム、スターリットシーズンに出てくる仮想アイドル、如月千早(オリジナル765)の誕生日だそうです。いつものようにスターリットシーズンのPV新着欄で有志Pがお祝いのPVを上げるはずです。

4361. 位相

　さらにその(数学の)集合と位相の一般啓蒙書の後半。集合のコンパクト性の話でした。
　やれやれ、これくらい丁寧にやさしく解説してもらわないと私には分かりません。いや、まだしっくりこないので、感触がつかめた程度です。コンパクトについては私は誤解していたのが分かった、のが収穫でした。

　途中からユークリッド空間からは離れていって、一般の集合の話となり、距離の概念を取っ払っても、点と点の関係性で近傍の概念を考えられるとのこと。私の仕事範囲だと、統計では普通の平均や標準偏差だけでなく、順序や単なる識別だけでも確率(測度)を計算して、珍しいことが起こっていれば有意差あり、と判断し、それが「科学的根拠」になってしまうので冗談では済まされません。ただし、コンパクト性はかなり抽象概念になってしまっているので具体的計算との結びつけは難しそうです。

　うーん、どうしようかな。私の関心事とはあまり強く関連しないような気がしてきました。巻末に次に読むべき本のリストがあるので、その中から適当に選んで手に入れて眺めようと思います。あまり深入りしない方が良いような気がしてきましたので。

　マスコミ系では株価上昇とAIの進展を結びつける論調があって、その最近のAIは統計的というかベイズの定理というか、素子レベルだと多数決素子とか、1/0でなく量的に処理するなら、浮動小数点数の加算とロジスティック曲線(tanh)の組み合わせみたいです。

　とあるスマホで画像をAI処理で無理矢理解像度を上げているらしく、ぼやけた看板を拡大すると見たこともないような妙な象形文字(?)が出現して、ネットの一部で話題になっていました。元々、ホワイトノイズ系の除去は容易ではなく、線形処理ではざらつきが残ってしまうので、簡単な非線形処理は従来も行われていました。が、擬解像というか、元々は無い輪郭が現れたりするので、いつか問題になるのでは無いかと思っていたら、これ。問題点も拡大してしまったようです。

　論理系の人工知能はLISPの具体的な処理系の出現の1950年代から数えると60年以上も経っているのに、計算機が画期的な数学の証明を行った、などといった話はとんと聞きません。四色問題とか散発単純群の探索で役立ったみたいですが、しらみつぶしの手伝いをやっただけのような気がします。もちろん理由はありますが、まとまった解析は見たことがありません。そろそろ専門家の方々は本音を言っても良い時期ではないのかな、と思います。

4360. 集合論の啓蒙書、続き

　本日は天皇誕生日で国民の祝日です。我が事業所も休みです。
　昨日だったか、日経平均株価が史上最高値を取った、ということでニュースになりました。ネットでは結構な話題になっています。株価なので期待先行なのでこれから経済活動をしっかりしないといけません。新型コロナ感染症の少し前から好景気の感じがあって、まず企業内の環境整備をして、都市部などのインフラを整えて、流通拠点を新設し、…今この段階です。つまり新型コロナ感染症の影響がやっと払拭されただけで、元に戻っただけです。それでこの感じ。

　流通拠点ではなく流通経路はまだ建設中ですし、新型工場も本年から随時完成予定なので確かにこれから経済がしっかりして行く感じはあります。つまり短期的には大丈夫な感じがするので株価が上昇しているのでしょう。だから問題は長期的な展望が欲しい、に移ってきていると思います。まあ、この話題は折に触れて。

　集合と位相の本はちょうど中間部まで読みました。後半は位相の話題です。私の感触だと空間内の点は周囲、いわゆる近傍に影響を与えていて、その直感が局所のユークリッド空間の考え＋テーラー展開/マクローリン展開/ローラン展開、の形になっているはずです。と予想して読む予定です。合っていたらふむふむ、ですし、違っていたら面白いです。

　で、その前半。やはりバナッハ・タルスキーのパラドックスが出てきて、結語として「あるいは選択公理が、いまだ完結し得ない操作を完結したものとみなし、その結果引き起こされるまったく奇妙な現代数学の姿…」だそうです。
　私はこの分野の専門ではないので全くの外野からの意見ですが、自然科学たるもの、自然現象を観察して、仮説を立てて、検証するのが普通の姿だと思います。もしも不自然な結果が得られるのなら仮説、つまり数学だと公理を疑うのが本筋ではないのでしょうか、ユークリッド幾何学の第五公理のように。

　実際、その「バナッハ・タルスキーのパラドックス」と題した本の冒頭でも何の制限もない選択公理は見直す必要があるのではないか、とのつぶやきが見られます。一つのヒントは可算選択公理で、選択公理を解説した本では直観主義はやり過ぎで、せめて可算選択公理くらいは理論に取り込むべきだろう、と書かれていて、私もそれに近いです。私は機械の計算機を当てにしていて、つまり適当なチューリング機械で停止する、つまり普通に証明可能な範囲で議論すればOKと考えています。が、私にそれを証明、または納得できる議論をする能力は多分無さそうなので、関連書籍を探し続けています。

4359. 集合論の啓蒙書

　その昨日についでに買った一般向け科学新書の新刊で集合と位相の話。大幅改訂の復刻本らしいです。まだ途中までしか読んでいません。
　分かりやすいのは良いのですが、微妙な箇所になると急に話題を避けるのが気になります。

　前半が集合論で、可算無限と連続濃度が出てきて、選択公理の言葉が出てきます。しかしそれにもかかわらず、有理数と実数の扱いとなると急に素朴になるように見えます。どちらも「体」なので同じ演算が成り立つとの前提で話が進んでいる感じがします。それでいいのかな?。
　おそらく多分このあたりは集合論の成立時にも問題になったでしょうし、例のゲーデルの不完全性定理の際に散々議論されて、議論の割には実りがない、との考えが主流になったのだと私は邪推しています。

　もう少し読んで、結論がさりげなく書いてあったら再びこの話題を取り上げます。

4358. 資料付き世界地図

　本日は普通の勤務日でした。午前出張はあっという間に終わってしまい、午後の内勤の前に昼食と称して職場近所のショッピングモールにお出かけしました。
　世界情勢が激動、といって良い状態なので、今年も資料たっぷりの世界地図が気になってしまい、買ってしまいました。一昨年から引き続いて3年目です。

　ウクライナ情勢はNATOがどう動くかの微妙な段階に入っているような気がします。タイミングを見計らっている感じで、直近ではロシアの大統領選挙だったか。
　東アジア方面では引き続き貿易環境の激変が続いているようです。我が国は円安のボーナスタイムが終了するか、と思ったらとことんやる気みたいです。どこがやる気って、列強各国です。上述のロシア情勢も同様。

　日本で言えば応仁の乱後の戦国時代のような感じですか。どちらかというと江戸時代みたいな太平の世の中が到来するのが私好みですが、どうなることやら。太平と言っても中央だけでなく、地方の活力が上昇した時代と思います。
　室町時代に農業の生産性が向上し、その成果は江戸時代に通じていて、私の少年時代の昭和中頃まで続いていたと思います。明治維新から100年ほども経った頃です。

　今は高度成長に続くバブル時代の好景気の影響なのか、すっかり(西洋風?)文化的な生活に移行していて、その昭和の頃に戻りたいとはちっとも思いません。バブル期の騒動とその後の落ち着いた感じは、時代的には悪くないと思いますが、いつまでも続く訳がないと思っていたら、昨今の世界情勢です。
　どうするつもりなのかな。第一次世界大戦後の感じまで戻すとか、もっと以前の感じに戻すとか、ネットでは言われていて。

4357. 春のような

　昨日と本日は暖かくて、春の装備で通勤しました。明日からは元来の寒さに戻るそうです。
　寒暖差があるためか体調を崩す人が多いようで、我が事業所でも主要スタッフの一人が新型コロナ感染症にかかって今週はお休みになりました。2020年の頃のように事業所を閉鎖して消毒、までは行きません。しかしこちらは思わず仕事量が増えました。まあ、仕事ができるだけありがたいことだ、と思っておきます。来週以降は普通、になるはずです。

　もうそろそろ話題に出しても良いのかなと思います。いわゆるクラシック音楽は19世紀には主流の娯楽の一つだったはずです。ベートーベンが出たのがフランスのブルジョワ革命(1789年)の頃で、それまでは宮廷音楽とか教会音楽だったのが、市中に小金持ちが増えたために、それまでの庶民的な芝居小屋が一気に高級化され「芸術的」になっていった、のだと思っています。私はこの分野は特にトレースしていないので、多分そうだと思っているだけです。とにかく、ベートーベンに続いて20世紀初めまではクラシックの巨匠作曲家が続出した時代です。

　当然、消費者は少し贅沢になった市民ですから、その大量の需要に応えるために、作曲家と演奏家はもちろん、演出家や興行主の活躍は大変なものだったでしょう。19世紀後半には競争が激しくなり、内容も激しくなっていった、のでしょう。現在のクラシック音楽はどちらかというと保守的な印象があるでしょうが、最盛期は過当競争もあったと思います。でないと、A=440Hzなどの国際標準の説明はできないと思います。
　つまり、演奏時に勝手に曲をアレンジするなど普通だったようで、元々は即興の流れでしょうけど、提供側からこれはあんまりだ、の意見があったはずです。私の感触では、指揮者のストコフスキー氏が19世紀的な方で、ディズニーの初代のファンタジアでその姿と演奏ぶりを見ることができます。

　逆に譜面通りと言われる演奏家がいて、私の記憶ではピアノのバックハウス氏がその代表格だと思います。ブラームスのピアノ曲の演奏のレコードが残っていて、今聞くと誰が演奏したのかがすぐに分かるほど個性的なものの、アレンジは最小限のようです。
　譜面通り弾いてしまって、しかも一般の観客に受ける音楽が提供できる、というのは神業に近く、そんなことができる実力ある演奏家はほんの少数でしょう。普通の実力の人は受け狙いで多少のことはする、のが普通だと思います。

4356. 真の中の人の誕生日

　本日、2月19日はPS4の最新アイマスゲーム、スターリットシーズンに出てくる仮想アイドル、菊地真(オリジナル765)の声優、平田宏美さんの誕生日だそうです。いつものようにスターリットシーズンのPV新着欄で精鋭Pがお祝いのPVを上げています。

4355. 日曜日

　本日は日曜日で私は休日。家の中のこと以外は何もせず休息しました。先月後半にやや仕事で忙しかったのが尾を引いている感じです。今週は普通のはず。体調は良好です。

　日本国内の景気は堅調と言った感じで、バブルが始まっている説がネットに出始めていますが、たとえば土地バブルは一部の工業地帯でとしか起こらないでしょう。たしかに、ここらで一つ景気づけが欲しいです。

　家電量販店で目立つのは65型などの大型テレビで、しかし8Kはぱっとせず、当分は4K時代が続きそうです。国内だと地方の活性化ですが、すでにやることは一通りやってしまったような気がします。
　贅沢方向、たとえば小型飛行機とかプレジャーボートとかは、前回のバブル時代だったかに一瞬流行しかけたような気がします、が、続きませんでした。
　趣味方向は多方面に充実していて、20世紀末と比べても良くなっていると思います。安価なコンテンツがそれ以上に増えているので気付きにくいですが。

4354. H3ロケットの打ち上げ成功

　我が国の新型宇宙ロケット、H3の打ち上げが成功したそうです。ほっとしました。関連計画は目白押しだそうで、関係者はまずは安堵していることでしょう。

　国内のインフラ整備は一巡したみたいです。各分野での新事業の展開が望まれますが、国際情勢が激変中なので絶賛準備中、と言った感じです。目下の注文点はもちろんロシアと中国で、どのルートでもとっくに西側の対応のシナリオはできているのでしょうが、どれが選択されるのかはまだ分かっていないと思います。

4353. リーマン幾何学入門

　1ヶ月ほどは少し余裕ができそうなので、マイコンボード計画は先送り中です。RX621ボードは200箇所程度の半田付けを待っている状態で、動くはずだと思っています。が、動かなかったら大変で、ラズベリーパイ・ピコに母艦を切り替えないといけません。目的はグラフィック液晶(VRAM 2KB)とSPI接続のEEPROMとSRAMの駆動と利用方法の手探りなので。

　多分1971年刊の矢野健太郎氏による「リーマン幾何学入門」を読んで…、眺めています。本当は丁寧に1行1式ずつ追いかけていないといけません。なるほど良書であることは感じられるし、もうすでに日本の揺るぎない数学古典になっているでしょうから、以下、私が外野からごちゃごちゃ言ってもまず大丈夫、と思います。

　第一章がテンソル代数学で、反変・共変ベクトルとその微分、テンソルの構成について懇切丁寧に記述されています。ところが、この本、リーマン「幾何学」なのに巻末まで一切、図が出てきません。これほど徹底して、いわゆるユークリッド追放(一松信氏)をやるとは、当時の雰囲気が出ていると思います。
　反変ベクトルと共変ベクトルには幾何学的に明確なイメージがあって、私の感覚では比較的無害なイメージなら載せてもOKと思いますが、徹底した公理主義の本で、いや私はやり過ぎと思います。気になった方は泉信一他「共立 数学公式 附函数表 [改訂増補] (1953年、1969年)」の「ベクトルとテンソル」「微分幾何学」の章を眺めれば良いと思います。ここに出てくる図が私の理解する「比較的無害なイメージ」です。

　任意のn次元空間の曲線・曲面の話で、明らかにユークリッド空間に埋め込まれた曲線(部分空間)の話に見えます。多分、この本の最初のハイライトの曲線論の章では任意次元の曲率の式が出てきて、最初のが多分普通に言う曲率で、その次が捩率で、以下同様だと思います。捩率は3次元空間の図だと曲がっているような曲がっていないような、感じでしょうけど、おそらく高次元から見ると曲がっているように見えると思います。こんなの多分、イメージを披露しても差し支えないと思います。でないと逆に、思いつかなかったのか、と誤解されると思います。

　その次が曲面論で、え、これで終わり?、みたいなまとまり方です。いや、丁寧に読んでない私のフィーリング理解ですから当てにしないで下さい。高次元でも4～8次元あたりは話題豊富で、その後も特異的な幾何学的次元はあります。それとせっかく群論に触れているのですから基本領域の話題は出して欲しかったです。でないと曲面を旅することができないと思います。

　まあ、どれもこれも私がしっかり理解できて、具体的に計算出来たら図示を検討します。リーマン幾何学の本は他にもいろいろ有る状態なので、先にそちらをトライしてみます。