ゴールデンウィークの前半が終了しました。私はゆっくり休んでしまって、必要な家事と書庫のわずかな整理をやっただけです。おかげさまで休暇にはなりました。
本日からは内勤で残務整理の感じになるので、比較的に時間が取れるはずです。ゴールデンウィーク後半は予定ありで、その後は普通にお仕事に戻ります。
書庫の件は、テンソル解析の項目のある線形代数の書籍を物色していたのです。が、最近の現代数学の勉強で加群からの連想で整数論が気になってしまって、そちらも少々。あと、当面の目標の微分幾何学との関連でリーマン幾何学の解説書も選択して。
複素平面の整数相当はいくつかあって、ガウス整数とアイゼンシュタイン整数が普通は解説されています。もう少し先があるはずなのですが、それが書かれた本はなぜか今回は出てこず。後日、発掘する予定です。
ガウス整数は(a + bi) (iは虚数単位)の形をしていて、複素数平面(ガウス平面)では正方格子になります。その倍数も正方格子になって、素数の概念があって、ユークリッドの互除法が成立して、とても整数らしい感じがします。
アイゼンシュタイン整数は(a + bω) (ωは1の三乗根で虚数の実係数が正のもの((-1+(√3)i)/2))の形をしていて、ガウス平面では正三角形の格子になります。
ガウス整数で単位になるのは1、i、-1、-iの4つであることはすぐに分かると思います。アイゼンシュタイン整数での0の隣は、複素平面の左回りで、1、-(ω^2)、ω、-1、ω^2、-ωの6個になります。ちょうど60°ずつに単位円上に並んでいます。もちろん対称性は3回回転系です。