3245. 行列と行列式、続き^2

　行列式の由来については、私は現時点では追跡していません。追いかけたい方は、クラメルの公式のクラメル氏の業績をトレースするのが、手始めとしては良いみたいです。
　行列は、現在ではベクトルの変換(拡大・縮小、回転、鏡映)と、構造計算など、2点の関係を表現するのに使われているようです。こちらもしっかりとはトレースできていませんが、20世紀初頭付近の物理学の発展と、20世紀後半のコンピュータ科学の発展に沿っているみたいです。
　いやだから、便利なので、分かって使う分には行列も行列式も、じゃんじゃん使って良いと思います。

　実際問題として、ベクトルの変換にはベクトルとスカラを使えば良く、構造計算は行列と言うより、計算機内部では計算機言語の配列です。
　私も含めて、行列があまりに便利なので、行列ではどうなるかを問題解決の最初の方で考えてしまうので、いろいろと大事な部分がすっ飛ぶと思います。

　やや批判的になるので曖昧にさせていただきますが、最近読んだ群論の本で、結晶群の表示に行列を用いていたのには、正直、かなりぶっ飛びました。確かに、座標変換が必要になった段階で行列を持ち出すのは、まだ意味があると思います。
　しかし、結晶の表現に行列を使ってしまうと、いわゆる部分群とか余剰類とか、すぐに出てくるとは思えず、要するに対称性が、あの2次元の数値表(行列のこと)の奥に隠れてしまうと思います。

　欧州では、多分、米国でも西洋数学の伝統、古典幾何学と代数学(無限級数)がすぐに想起されると思うので、これに解析学(微積分)を足すと、まっとうな思考に戻ると思います。しかし、我が国ではベクトルと行列が強調されすぎで、いやだから、ものは使いようなのですが、単にそろばんの使い方みたいになる傾向があって、その裏にある数学の流れが、いささかおろそかになっている感じがします。
　で、思い出しましたが、江戸時代の数学教室では、子供にはそろばんで、大人用教室というのもあって、そちらでは算木が使われていたそうです。ですから、連立一次方程式やn次方程式に関しては、普通。神社などに奉納される絵馬では幾何学の問題も盛んに出てくるので、こちらもOK。後は微積分との関わりで、工学分野では普通に出てきますから、こちらも対応する何かがあったような気がします。ですから、悲観するほどではないですけど、さて、具体的にはどうするか。

3244. 行列と行列式、続き

　カードが1月の1枚だけだったら、順列は一通りしかありません。
　　(1月)
　カードが2枚なら、順列、つまり並べ方は2通りあります。
　　(1月　2月)　　(2月　1月)
　カードが3枚なら、6通りとなります。
　　(1月　2月　3月)　　(1月　3月　2月)　　(2月　1月　3月)
　　(2月　3月　1月)　　(3月　1月　2月)　　(3月　2月　1月)
　カードが4枚なら、24通りとなります。
　　(1月　2月　3月　4月)　　(1月　2月　4月　3月)　　(1月　3月　2月　4月)
　　(1月　3月　4月　2月)　　(1月　4月　2月　3月)　　(1月　4月　3月　2月)
　　(2月　1月　3月　4月)　　(2月　1月　4月　3月)　　(2月　3月　1月　4月)
　　(2月　3月　4月　1月)　　(2月　4月　1月　3月)　　(2月　4月　3月　1月)
　　(3月　1月　2月　4月)　　(3月　1月　4月　2月)　　(3月　2月　1月　4月)
　　(3月　2月　4月　1月)　　(3月　4月　1月　2月)　　(3月　4月　2月　1月)
　　(4月　1月　2月　3月)　　(4月　1月　3月　2月)　　(4月　2月　1月　3月)
　　(4月　2月　3月　1月)　　(4月　3月　1月　2月)　　(4月　3月　2月　1月)

　つまり、全順列の場合の数は急速に増えて行きます。カードが5枚なら、最初の位置が5通りですから、全体は120通りとなります。この数列には名前と記号が付いていて、階乗で、記号は、
　n!
です。

　さて、2枚のカードを交換する操作を互換と言い、隣同士ならあみだくじの図で説明できます。
　(1月　2月)　→　(1月　2月)
はあみだくじの横棒は0本、または2本、4本と偶数です。
　(1月　2月)　→　(2月　1月)
ならば、あみだくじの横棒は1本、または3本、5本と奇数になります。
　カードが増えても、置換は互換の奇偶に分類でき、偶置換と奇置換と呼びます。たとえば、3枚のカードなら、
　　偶(1月　2月　3月)　　奇(1月　3月　2月)　　奇(2月　1月　3月)
　　偶(2月　3月　1月)　　偶(3月　1月　2月)　　奇(3月　2月　1月)
　あみだくじで例えましたが、隣接していない2枚のカードの交換も互換と言い、そうしても奇偶の分類は変わりません。

　行列式は、正方行列の各行から列が重複しない要素を取って掛け算し、それが偶置換になっていれば正の項とし、奇置換ならば負の項として、全体の和をとったものです。これが定義。
　ですから、3行3列の要素が次のようになっていたとして、
　　日1　日2　日3
　　月1　月2　月3
　　火1　火2　火3
行列式は、
　　＋(日1×月2×火3)　　－(日1×月3×火2)　　－(日2×月1×火3)
　　＋(日2×月3×火1)　　＋(日3×月1×火2)　　－(日3×月2×火1)
となります。よくある図で斜めに掛けている図は単なる解説図です。4次以上の行列式では簡単な図は描けないそうです。計算機プログラムはそれほど難しくは無いでしょうけど、急速に計算量が増えるのは想像できます。

　私が所有している1953年が初版の数学公式集では、この行列式がさまざまな場面で使用されていて、一種のブームだったようです。その後、おそらく次数が上がると急速に計算量が増えるのを嫌ってか、流行が去り、私が大学で行列式を見たのは物理の講義でしたが、上述の定義をすっ飛ばして余因子による展開をいきなり提示するものだから、かなりの混乱を学生に与えていたと思います。
　近年のコンピュータグラフィックスの発展に伴い、単純な定義を持つ行列式は少し見直されているみたいです。

3243. 行列と行列式

　シンデレラガールズが本日、9周年らしく、携帯ゲームなどでお祝いしています。もちろん、2011年11月28日の開始はソーシャルゲームの方のシンデレラガールズで、いまもそれなりに元気です。リズムゲームのスターライトステージも現在が絶好調と言えると思います。

　数日前に職場近所の大型書店に行き、行列と行列式の解説書が目立ったので買ってしまいました。新刊かと思ったら、2014年発刊みたいです。たしか、その頃だったか、高校の数学から行列が無くなってしまって、理系の学生は大学初年度で行列に出会うことになってしまったので、親切丁寧な参考書が必要になったみたいです。

　当然ですが、私のいる生物学系を含めて、いわゆる理系で線形代数(と微積分の初歩)が分からないことには、ほとんど何も出来ないと思います。私の意見では、どちらも現実問題を観察して、プログラミング言語(表計算ソフトでも可)の数式で実際に組めたら、私なら免許皆伝で良いと思います。大学の授業で納得できる人はそれで良いですが、普通は啓蒙書のお世話になるはずで、そのための本と思いました。

　ええ、多少不満があるから、こんな書き方になった訳。大学でも教育関係の方々の執筆のようで、私も多少ながら教育大学系に関係していましたから、多少の責任は感じます。

　まず、行列式の方が行列の考え方に先行していた、と言う事実がすっ飛んでいます。いや、そんなこと言えば、行列式は我が国の江戸時代の数学者である関孝和が考えていた、と言う説が書いてあるのですけど、私の記憶では、和算では5次以上の行列式の計算法は間違っていた、との落ちが付いているはずです。
　行列式の定義は、順列・組合せの順列による定義が基礎だと思います。なのに、この本には順列も、偶置換・奇置換も出てきません。だから、議論を進めるにつれて、際限ない混乱に入って行くはずで、そうなっているように見えました。

　連立一次方程式の解法の、クラメルの公式を出しているのですから、クラメル氏がいつの時代の数学者なのかを知れば(関孝和、つまり元禄時代のすぐ後、宮廷音楽とブルジョア音楽の狭間のモーツアルトの直前)、すぐに分かるはずです。

　ええと、順列の解説から必要な気がしてきました。サイコロでもトランプカードでも何でも良いです、数字の付いているものを用意しましょう。とっさに出てきたのは「妖怪花あそび」というゲゲゲの鬼太郎の意匠の花札です、とりあえず、これで行きます。
　1月が松、2月が梅、3月が桜、4月が藤(ふじ)、5月が菖蒲(あやめ)、6月が牡丹(ぼたん)、7月が萩(はぎ)、8月が芒(すすき)、9月が菊、10月が紅葉(もみじ)、11月が柳(やなぎ)、12月が桐(きり)です。季節が多少、現代感覚とずれているのは旧暦だからだと思います。

　なんだか脱力したので、気が向いて、面白い話になるのなら続きます。

3242. PS5の実物大模型、続き^3

　とある量販店のオンラインショップのPS5の抽選結果が出て、外れ報告が多数。私も外れ。
　しかし、ある人がつぶやいていたように、全国応募で50倍の競争率なら、かなりの数が用意されていた(たとえば1000台とか)はずです。この調子だと、オンライン抽選で外れた外れた、と言っている内に、普通に店頭販売開始の流れになる感じがします。時期は知りませんよ。来年に入るかも知れません。実際、デジタル・エディション(BDドライブ無し版)は余りの報告があります。

　本日も半日出張。ここの事業所は新型コロナとはあまり関係ない感じとは言え、悲壮な感じは全く無く、どちらかというと儲かっている感じでした。もちろん、バブルの時期のいけいけの感じはありません。
　職場近所の量販店では実店舗の人出が多く、普通に元気な感じです。

3241. PS5の実物大模型、続き^2

　やはり私の認識が間違っていたようです。PS5の世界初動が200万台強、とのことです。これでPS4のペースを上回っているとのこと。
　マスコミが静かですけど、空前のヒット商品、で良いみたいです。

　今回も随分と日本上げをやってもらっていて、たしかに信号処理部分と冷却などの筐体部分は日本のソニーの技術が目立っていると思います。しかし、肝心のハード、ソフト、ネットは米国が底力を見せた訳で、あくまで伝聞ですが、特にソフトは頑張ったみたいです。今後も1～2年をかけて最適化されていくようです。

　最適化は、とある予想ではSSD周りらしいです。私の考えでは、やはり映画作りみたいに画像優位になる感じ。テクスチャ作成段階で、どれほどの情報を盛り込めるかが、プログラミングの巧妙さと同程度の価値になって行くと思います。これには開発系の充実と、ゲーム開発現場の対応を同時に向上させる必要があって、私は、かつての電子計算機での外資系の教育プログラムの優秀さを思い出しました。PS4時代でもあったのかな。

3240. PS5の実物大模型、続き

　で、また別の量販店のサイトでPS5の抽選申し込み、と。
　米国ソニーからアナウンスがあったそうで、正直、在庫は無い、とのことです。ブラックフライデーは明後日ですから、これが終わらないとどうにもならない感じ。

　噂では米国の初動は200万台と少しらしいです。欧州も同程度とすると、以前からの噂の台数と似ていることは似ている。ちなみに、これが本当だとすると日本の割り当て分は統計学誤差の範囲内に入ってしまいます。PS4では日本の需要は世界比で10%に達していないので、まあ、しかたないね、の感じ。これでも日本では爆売れの範囲に入ると思います。

　その量販店の、私の職場近所の実店舗では、もちろん入荷未定のポスターが貼られていて、一応ディスプレイは置いてありますが操作はできないタイプの物です。しかも、モニタが30インチ程度ですので、近づかないと4Kであることが分かりません。
　店頭でデモするのなら、少なくとも55型のテレビでないと4Kの迫力は伝わらないと思います。
　同じ店で、ソニーの85型の8Kテレビが動作していて、時にグランツーリスモ・スポーツが表示されて、大迫力です。もちろんソースの解像度は4Kですが、ゲームなので色彩や動きが派手なので採用されたのでしょう。

3239. PS5の実物大模型

　先週の木曜だったか金曜日だったか、職場近所の量販店で新型Xboxの横にPS5の実物大模型が置いてありました。店頭で見ると、大きすぎる、といった感じは無いです。オーディオラックに余裕で入るはずです。

　PS5の日本での出荷数が少ないのは意図的みたいで、しばらくはこんな感じが続くとの報道があったそうです。当方も抽選が外れたし。

3238. 美希の誕生日

　明日、11月23日は765プロの仮想アイドルの一人、星井美希の誕生日だそうです。いつものように、有志Pがステラステージの新着PVにお祝いのPVを上げるはずです。

3237. 田舎

　濃い1日半でした。たしかに田舎で、JRのローカル線が1時間に1本程度の駅の近くです。でも、昔(40年ほど前)と違って、いわゆるインフラは充実していて、関東で言うと埼玉県中央部の感じです。山奥とかではありません。

　会合の参加者は高齢者ばかりかもと思っていたら、40歳くらいの若い人もいました。バックグラウンドが異なるので、感じ方は全く違うようですが、高次元の幾何学は他では聞けないしあまり言いたくも無いので、貴重な機会です。なので、内容は雑談程度なのですが、楽しいでした。
　ということで、私の持って行ったつもりの土産話の披露の機会は無く、ほぼ聞くだけで終わってしまいました。
　逆に言えば、確認の機会を失ったのですが、実際にプログラムを組んで動作を確かめてから出直すことにします。

3236. 数学愛好家の会合へ

　明日から3連休です。政府筋などから旅行に行け、いや行くなと、どちらを信じていいものやら。
　とにかく、とある近畿の田舎の美術館の展示にかこつけて、私が最近所属した数学クラブの会合とやらに初参加の予定です。参加人数は8人とのこと。精鋭の参加ですので、内容はある意味、濃いと思いますから、小さな学会みたいな雰囲気を想像しています。
　何か面白いことが起こったら、報告します。

　今回、持って行くお土産は、最近このブログに上げた、任意のn次元における(n-1)次元単体に垂直なベクトルの算出法です(ついでにその単体の容量(大きさ)が算出される)。誰かがとっくにやっていたら、それを知るのも嬉しいです。とにかく、これで私は任意のn次元の図形の計算が出来て、8次元までのコンピュータグラフィックスでの表示が可能と考えています。
　これと関連して、いわゆる反変・共変ベクトルのことを詳しく知っている人がいたら儲けものです。最近やっとかなり理解したと思っているのですが、まだテンソル解析に自由に応用できる程度ではありません。一応、記しておきます。

　まず、由来ですが、今のところ結晶学の19世紀末頃の発展に伴っている、との私の理解です。結晶には単位格子という単位があって、それが縦横上下に無限に繰り返している感じです。数学では、3次元デカルト座標で、整数の格子点を取り、立方体の積み木が連続している感じを想像すると良いと思います。そして、その立方体が構成原子/分子によっては、一般の平行六面体になる感じ。
　ここで、直交座標では無く斜交座標の必要が出てきます。平行六面体の単位格子の繰り返しは、互いに垂直な縦横上下から少しずれて、斜交します。これは座標軸の話で、位置ベクトルに相当します。これが反変ベクトルに相当するとのこと。
　ところで本物の結晶を見ると目立つのは外側の平面です。そこで、平面の平行移動に相当するのを共変ベクトルと呼びます。平面なのにベクトルなのは、法線ベクトルに注目するからです。反変・共変と言葉が分かれているのは、斜交座標では振る舞いが反比例の関係になってしまうからです。
　数学的には反変・共変は単なる双対関係を指し、結晶学、つまり物理学のような具体的なイメージは本来は伴いません。解説では上述のように幾何学的対象を持ち出すことが普通のようですが。

　で、最初の難関は、ベクトルは幾何学由来なので、ユークリッド幾何学に単位格子は無かったはずですから(座標も無い)、数学の反変・共変ベクトルにも絶対的な単位格子はありません。
　なのに、座標の概念の導入のために単位ベクトルはあって、これが斜交していて、基底と呼ばれます。n次元にはn個のいわゆる独立した単位ベクトルを用意し、その一つずつに成分がくっついて、これで任意のn次元空間内の点を指定します。位置ベクトルですから、原点との位置関係になるので、1次元(長さ)に相当します。反変ベクトルを当てはめますが、用いるのは反変成分と共変基底の組です。
　平面の方は逆に、共変成分と反変基底を組み合わせて、この際に、共変基底が決定されると、自動的に反変基底が決定されてしまうようです。ようです、って、目下確かめる必要があるのはこの部分です。座標変換が必要な場合は共変基底の単位ベクトルの向きや大きさが自由に変わってしまうので(立方体から平行六面体への変位)、それに伴い、自動的に反変基底も変化します。もちろん、異なる座標になったのですから、成分も再計算する必要があります。共変ベクトルそのものは1次元ですが、表しているものは(n-1)次元要素の平行移動の振る舞いです。

　まあ何ともお恥ずかしいことに、この歳になってやっと具体的計算で反変・共変の成分と基底のふるまいを計算機(表計算ソフトなど)にさせよう、ということ。なぜか、この嫌ほど基礎的で、計算が容易なはずの部分の具体的計算例の解説を見たことがありません。
　テンソル解析などの教科書には数式と図が並んでいますが、座標計算のための仕掛けなのがさほど強調されていないと思います。多分、このあたりは私の役目でしょうけど、誰かもっとずっと深く知っている方に解説して欲しいと思います。

3235. 春香の中の人の誕生日

　本日、11月19日は765アイドルの一人、天海春香の声優、中村繪里子さんの誕生日だそうです。いつものように、PS4のアイマスゲーム、ステラステージの新着PV欄で有志Pがお祝いのPVを上げています。

3234. 静かな出発、続き^6

　初期販売数が発表されたようです。ある報道によると、PS5が12万台程度、Xbox series S|Xが(両者で)2万台程度とのこと。いわゆる体感上もそんな感じと思います。

　随分絞ったこと。PS4の初動の1/3程度だそうです。現在のゲーム機はオンラインに強く依存しているので、殺到を避けた、というのが好意的な見方だと思います。
　何となくですが、この分だと、以前から言われていたように、クリスマス頃までには初期需要を満たしてしまうと思えてきました。つまり、店頭に並ぶまでは、気長に抽選に応募していれば良いと思います。

3233. 静かな出発、続き^5

　PS5の発売からほぼ一週間経って、やけに落ち着いてきました。これが狙いだったようです。次に動きがあるとしても、今月(11月)末でしょう。

　景気が回復してきたみたいです。一昨年(2018年)のややバブル感まではありませんが、好調な業種が出てきている感じ。一部は新型コロナ感染症の影響で今も大変みたいですが。
　昨日(火曜日)の出張先も、新型コロナの影響をもろに受けている業種のはずなのに、元気な感じでした。かえって、そのバブルの前にまで戻った感じで、落ち着いた雰囲気すら漂っていました。当方もおかげさまでぼちぼちと。
　このまま平和裏にいろいろ決着してくれたら嬉しいですけど、どうなるか。私の予感として、この冬は緊張感が持続して、しかし、来春以降、いきなり新展開を提案してくれ、と言われて慌てることになりそうなので、準備をしておいた方が良さそうですし、するつもりです。

3232. 静かな出発、続き^4

　で、本日、とある通販サイトの抽選に参加しました。当たれば、PS5が今月末に来るそうです。おそらく、何度かこんな機会があって、落ち着いてきたら本体の店頭販売開始、となるのでしょう。
　まあとにかく、じゃんじゃんと表現できるほど生産しているそうですから、単なるゲーム機ですし、日本では程なく初期の需要は満たすと思います。それよりも、米国の動向の方が気になります。ヒットは間違いないですが、その規模です。

　そう、ゲーム専用機はもうだめ、などとPS3の終盤ころには言われていたような気がしますが、PS4は売れてしまい、任天堂のswitchが現在、ものすごく健闘していますから、まだまだ一般受けする要素があるのだと思います。
　え?、そういうお前はPS5に何を期待しているのか、ですって?。新作のアイドルマスター(PS4版のみ?)を別とすると、まずは本物の4K画面とやらを見たいです。ですから、評判になっているPS5ネイティブの2～3のゲームをまずは買ってプレイして、あとは私はPS＋にもPS nowにも参加していますから、PS5のブーストモードを試してみたいです。PS-VRはそのうち接続すると思います。何か発見があったらその都度、本ブログで報告します。

　抽選に応募したのは通常版PS5なので、当選したら、最初はダウンロード版では無く量販店のPS5コーナーでパッケージ版を買うと思います。記念になりそうですから。周辺機器では、コントローラの充電器とリモコンと。
　カメラはどうしようかな。アイドルマスター・ステラステージのPV投稿は続けているものの、その他は本ブログのみなので、PS-VRとのインターフェースだったか、そちらが優先になると思います。考えを表現するのは好きですけど、芸能人になるほどの覚悟はありません。

3231. 静かな出発、続き^3

　PS5発売のインパクト予想の続きの続き。
　PS5のコントローラの触覚要素(ハブティック)は好評のようで、一度経験すると元に戻れないみたいです。分解すると簡単な仕掛けに見えるそうですが、制御は簡単では無いと思います。VR系ではずっと以前から検討されていた要素で、いよいよ家庭用にも入ってきた感じ。
　接触系は引き続き振動のようですけど、これは視覚障害者には非常に異様と思えるとのこと。無限の空間の動きの位置覚(線形加速度(重力など)と角速度)が何とかフライトシミュレータで再現できる訳ですから、コンとかドスンと物に当たった感じは再現できそうですけど、コントローラーの重量が増えたら減点ですから、何か革新が無いと難しいと思います(電池でも動かします?、あるいはコントローラーのわずかな変形とか)。

　音声系の報告はまだ聞きません。立体化があまりに当然のように思えているとしたら、それはそれで技術者冥利に尽きる、と想像します。まあ、そのような自然系がまずは普及してくれないと困ります。
　しかし、こちら(動的FIRフィルタ)は画像入力系のHDRと同様に、芸術的観点の表現に応用できると思います。
　あまり今は聞きませんけど、20世紀後半には現代音楽と称して、さまざまな試みがありました。古典音楽から何とかして脱却したい、みたいな動機ですけど、12音技法もあんまりと思いましたが、挙げ句の果てには無音を音楽と称したりして。キン、コン、バシャーン、ドスン、といった非楽音系やミュージック・コンクレートだったか、絵で言う貼り絵のコラージュを音で表現した物とか、たとえばオーケストラのパートに(LP)レコードがあるとか。
　今聞くと、ストラビンスキーは楽しいです。バルトークともなると、クラシックファンでもなかなか厳しいです。それを考えると、1980年頃(いわゆるピコピコ)～1990年頃(FM音源)のゲーム音楽はよくやっていたと思います。反面、江戸物や上方の伝統芸能の音楽系は今はさっぱり。と言っても庶民に近い芸能は、多分、今の方には単調に聞こえるはずです。