円の面積の話

円の面積の求め方って知ってる？
半径×半径×π、つまりπr２（二乗）だよね。
じゃ、なんでこんな式なのか知ってる？
これが面白いんだよ。
まずね、円の半径を底辺とした三角形を、円の内側に描くんだよ。


三角形の面積の求め方は、底辺×高さ÷２、じゃん。
底辺はrなんだから、高さがわかれば、この三角形の面積はわかりそうだよね。
じゃ、今度は、この三角形の高さを、極限まで低く見積もってみる。


すると、こんな扁平な三角形ができる。
rを底辺としたこの三角形の高さは、円における二本の半径間の弧の長さに限りなく近い値だ。


この三角形で、円の一周分を埋め尽くす。
言い換えれば、円を限りなくたくさんの三角形に分割する。
このひとつひとつの三角形の高さを足し合わせたもの、すなわち無数の弧の長さの合計は、円周と等しい（というか、限りなく近似値）。
つまり、すべてを合計した三角形の高さは、円の円周長という値でまかなえそうだ。


円周分の長さを、ニョニョっと直線に伸ばして、高さ分に取ってみる。


すると、底辺×高さ÷２は、半径×円周÷２、と置き換えられる。
これを約分すると、πr２（二乗）になるってわけなんだった。
かしこいひとっているね。
では、πの数値、すなわち直径に対する円周の比は、どうやって求めたんだろうか？
いつかにつづく。

東京都練馬区・陶芸教室／森魚工房 in 大泉学園