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2010年1月29日開設
大岡昇平、佐藤優、読書

【佐藤優】中学数学に欠損があるか ~数学、生き残るビジネスパーソンの必須スキル (3)~

2019年02月09日 | ●佐藤優
◆確認しておきたい/中学数学に欠損があるか

佐藤 パーセントはともかく、難関の私立中高一貫校出身者でも、中学数学の段階で欠損があるまま来ている学生が少なくないですね。

芳沢 中高一貫校で初めから私大文系型と決めると、数学を全くやっていないのです。
 そういった人たちも見ていて私が気になるのは、線を引く、円を書くといった一つ一つのプロセスをまず習っていない。直線のグラフすら書けなかったりします。

佐藤 それは深刻ですね。

芳沢 グラフの書き方を忘れちゃったっていうんです。学校でどう習ったのか聞くと、例えばy=ax+bという関数に数字を具体的に入れて、プロットして書いていくという原点を忘れている。

佐藤 y=ax+bというのをグラフにするとどうなるか、全然イメージが湧かない。
 経済学の代表的な教科書でも、グラフだけで数式がなかったりします。数式とグラフの対応関係が分かっていないというのは危ないですよね。

芳沢 関数のグラフというのは、3次関数だろうが4次関数だろうが、具体的に数字を取っていけばある程度書けるものです。まず、ちゃんと点を取っていけば、グラフというものによって視覚的に、式を理解できる。
 例えば、自分は算数の知識がさほどなくても、素朴に自分の持っているもので推理をするように頑張ろう。そんな考え方ができるよう意識を変えていきたい。

佐藤 数学が苦手なビジネスパーソンに対する私のアドバイスは、簡単です。要するに、数学に関してはどこかに欠損、分かっていないことがあるはずだと。
 その欠損がどこかを知るために、取りあえず数学検定(実用数学技能検定)3級を受けてみたらいい。対象レベルは中学3年程度です。中学までに欠損があるかどうかをまず知っておかなくてはいけない。
 もし欠損があれば、場合によっては小学校レベルに戻って勉強すべきかもしれない。
 ところが、数学にかなり不安を持っていても、ほとんどの人は受けないんですよ。落ちるのが怖い。もし落ちるとプライドがズタズタになって立ち直れないから。
 これは英語でも一緒なんです。英語に自信がないという人は、取りあえず英検(実用英語技能検定)3級を受けてみるといい。
 別に人に見られるわけでもないのに、このバリアを突破するのは結構大変なんです。

芳沢 思い出すのはちょうど今から36~37年前、米国のオハイオ州立大学に博士特別研究員として在籍していたころ、「住んでいたアパートの住人の方に三角関数を教える」という日課があった。
 私もうまく教えられたかどうか分からないのですが、みんな無邪気に、「ウォー、ワカッタ」とか楽しみながら、理解を積み上げていく様子が印象に残っています。
 「いい年をして……」なんてことは全くない。自分のペースで一歩一歩、学んでいけばいいのです。

□佐藤優「特集:文系でも怖くないビジネス数学」(「週刊ダイヤモンド」2019年2月9日号)の「【Part 1】 数学はビジネスパーソンの必須教養である」の「【対談】芳沢光雄(桜美林大学教授)×佐藤優(作家・元外務省主任分析官)「生き残るビジネスパーソンの必須スキル 今こそ「数学」の学び直しをせよ 」を引用

 【参考】
【佐藤優】パーセントが扱えない大学生 ~数学、生き残るビジネスパーソンの必須スキル (2)~
【佐藤優】×芳沢光雄:数学、生き残るビジネスパーソンの必須スキル (1)
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【佐藤優】パーセントが扱えない大学生 ~数学、生き残るビジネスパーソンの必須スキル (2)~

2019年02月09日 | ●佐藤優
◆続出している/パーセントが扱えない大学生

芳沢 ただ最近、経済産業省が「数学を何とかした方がいい」と数学人材の重要性を訴えたり、日本経済団体連合会の中西宏明会長が「文系の大学生も数学を学ぶべきだ。数学を全然やらないのはおかしい」と提言【注3】を出したりして、風向きが変わってきた。
 しかしながら、私はそう簡単ではないと思う。例えば、論理に関して日本人が弱いのはallとsomeの使い方(「ゼロからじっくりと身に付けたい 論理的思考のエッセンス」参照)なんですね。あるいは「…ではないのですか」といった否定疑問文に弱い。この辺の英語に戸惑う人が多いのは、学ぶべき論理の基礎が身に付いていないからだと思う。
 学ぶべきものを学んでいないというと、2000年代初頭のゆとり教育でどんと削減されたイメージかもしれない。だが、教科書の内容は1970年代の半ばくらいから、減り続けていたんです。
 冒頭でお話があった『分数ができない大学生』は、私も分担著者だったんですが、1/2+1/3=2/5というのは、一つの警告だったんだと思う。それは、意味を理解していなくともやり方だけ覚えればいいという教育への警告です。
 分数の足し算は分母同士を掛けて、後はたすき掛けにして分子を計算したものが答えだと、やり方を暗記しただけで、小学校での成績は何とかなった。そして意味を理解しないまま大学生になり、また社会人になっていった。私はそのあしき状態が最近、もっと進んでしまっていると思う。というのも、「パーセント」が分からない大学生が今、続出しているんです。
 例えば、2億円は50億円の何パーセントか。比べられる量が2、もとになる量は50で、2÷50=0.04で答えは4%となる。これができない大学生が、日本には2割くらいいると私は思います。

佐藤 十分考えられますね。
 高校生の勉強を見ていて非常に心配になるのは、「暗記数学」という言葉があるように、数学を一種の暗記科目としてパターン暗記だけでやっている生徒が多くなっていること。この弊害が結構、進学校で出ています。

芳沢 これは日本の数学教育が抱える大きな問題だと思っています。抜本的に変えなくてはいけない。
 先のパーセントの続きですが、経済が今年から来年にかけて2割成長したとすると、1.2倍ですね。そして来年から再来年にかけて3割成長したとすると、1.3倍です。ということは、今年から再来年にかけては1.2×1.3=1.56で56%成長となる。しかし、50%という誤答が多い。
 日本の大学生の半分はこの計算ができません。半分以上だと思います。できないのは、まさにやり方だけ暗記しているためです。
 算数でやった「流水算」を覚えているでしょうか。流れる川を上ったり下ったりする船が、流れにどんな影響を受けるのかを考えるものです。
 この流水算【注4】は昔、静水時の船の速さと川の流れの速さをxとyにおいて、方程式を立てて解いたと思う。これが今は違う。見掛け上の下る速さから、見掛け上の上る速さを引いて2で割ったものが「川の流れの速さ」などと暗記しちゃう。方程式を立てずに答えが出てしまう。

佐藤 統計の基礎をやらずに、表計算ソフトにデータをぶち込んでいくやり方も同じ発想ですね。自分でデータを読めない。

芳沢 そういうことです。一番びっくりしたのは「微分は習ったか」と学生に聞くと、「簡単だ」と言う。「微分するというのは、右上にある数字を下に持ってきて、右上は1マイナスすること」とね。

佐藤 公務員試験用の経済学問題集の最初にも、「微分法というのは肩の数字を前の数字に掛けて、肩から一つ引いてやればいい。微分の深い原理について知る必要はありません」なんて書いてある。

芳沢 全てが今そういうことになっている。
 ご存じないかもしれませんが、小学校で習う「速さ」「時間」「距離」などの関係は、今は丸の中に「は・じ・き」「く・も・わ」【注5】と書いた図を使って覚えている。小学校で習ったときには分かるけれども、中学校に行くと、こんがらがってしまう。そして、その状態のまんま大学生になってしまう。

佐藤 これ本当に深刻な問題で、ちょっとズレますが、社会科でも同じ問題があるんですよ。私は大学で講義をする前に、山川の教科書の中から年号の問題を出してテストしているんですが、例えば、ロシア革命の勃発とソ連の崩壊の年号を間違えるのは、まあいい。時系列が逆転している人が中にはいるんです。ソ連崩壊の方が先でロシア革命が後とか、第1次世界大戦と第2次世界大戦の勃発年が逆転しているとか。1と2が分かっていないということですよね。

芳沢 大学の入試がマークシート式になってしまっているが故に、プロセスが分からなくてもやり方、暗記だけで答えが出るから何とかなる。だから、流れというかプロセスを理解しようという気持ちに欠けているんだ、と私は思う。このままでは日本は取り残されちゃうんじゃないか。

佐藤 要するに、日本は発展途上国の教育システムなんですね。記憶力と情報処理能力が中心のキャッチアップ型の教育がそのまま続いてしまっている。
 その結果、たぶん日本と韓国だけだと思うんですが、勉強が嫌いな大学生が異常に多い。一方で、目的合理的に受験テクニックを極める受験産業が異常に発達している。これはなかなか大変です。

芳沢 全体の流れをつかむこと、プロセスをきちんと理解することが大事なのは、さまざまな科目に共通しています。
 先の『新体系・高校数学の教科書(上・下)』を書いたのも、数学の教科書が何のポリシーもなくてバラバラになってしまったからです。それはまずいと、一つの大きな流れを示したかった。

佐藤 あの本で素晴らしいのは「関数の極限」のところです。高校生にはまだ消化が難しい「イプシロン・デルタ論法」【注6】を用いずに、しかも直観に頼らず、とても工夫して書かれているのが、強く印象に残りました。

芳沢 イプシロン・デルタはみんな面食らっちゃう。一体これは何だと。私自身はこれまで文系、理系合わせて10の大学で、それこそ本当にパーセントが分からない大学生から数学専攻の大学院生まで、1万5,000人くらいの学生に教えてきました。得た結論として、高校と大学のギャップを埋めなくてはいけないっていうポリシーを持っています。そこをご指摘いただいて、感激しました。

佐藤 そこは本の序文でも少し触れておられて、僕も強い感銘を受けました。

 (続く)

 【注3】経団連の提言
  経団連は大学の教育改革に関する提言をまとめ、「大学は、例えば、情報科学や数学、歴史、哲学などの基礎科目を全学生の必修科目とするなど、文系・理系の枠を超えて、全ての学生がこれらをリテラシーとして身に付けられる教育を行うべきである」としている。

 【注4】流水算
  例を用いて説明しよう。「船が川を9キロ上るのに45分かかり、同じ区間を下るのに36分かかるとき、静水での船の速さと川の流れの速さを求めよ」という流水算がある。この問題は、「船が川を9キロ上るのに4分の3時間かかり、同じ区間を下るのに5分の3時間かかるとき、静水での船の速さと川の流れの速さを求めよ」と書き換えられる。見掛け上の上りの速さは時速12キロであり、見掛け上の下りの速さは時速15キロになる。「やり方」暗記型の子どもたちは、静水での川の速さ=時速(15-12)÷2=時速1.5(km)、静水での船の速さ=時速(15+12)÷2=時速13.5(km)と、機械的に求める。

 【注5】 「は・じ・き」と「く・も・わ」
  それぞれ意味として、「速さ×時間=距離」「もとにする量×割合=比べられる量」を表す。「は」は速さ、「じ」は時間、「き」は距離、「く」は比べられる量、「も」はもとになる量、「わ」は割合のことである。子どもたちは、円の中にそれらの文字を機械的に書いて、意味を理解せずに式を暗記する。その悪影響が大いに懸念されている。

 【注6】イプシロン・デルタ論法
  この解説は難解だ。読み飛ばしてもらっても構わない。
  xを限りなく2に近づけると、3xは6に限りなく近づく。これを「x→2のとき3x→6」と書く。これを一般化して高校数学では、「x→aのときf(x)→a」を「xを限りなくaに近づけると、f(x)はaに限りなく近づく」と説明する。これをイプシロン・デルタ論法では、「任意の正の数εに対して、ある正の数δがあり、 0<│x-a│<δ⇒│f(x)-a│<ε」 と書いて説明する。この両者の説明の違いに、理工系の学生でも参ってしまう者が続出するのである。
  これを理解するには、「全て」と「ある」の言葉の使い方をよく理解する必要がある。

□佐藤優「特集:文系でも怖くないビジネス数学」(「週刊ダイヤモンド」2019年2月9日号)の「【Part 1】 数学はビジネスパーソンの必須教養である」の「【対談】芳沢光雄(桜美林大学教授)×佐藤優(作家・元外務省主任分析官)「生き残るビジネスパーソンの必須スキル 今こそ「数学」の学び直しをせよ 」を引用

 【参考】
【佐藤優】×芳沢光雄:数学、生き残るビジネスパーソンの必須スキル (1)

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【佐藤優】×芳沢光雄:数学、生き残るビジネスパーソンの必須スキル (1)

2019年02月09日 | ●佐藤優
佐藤 数学・算数に関して、何といっても衝撃的だったのは1999年に出版された『分数ができない大学生』でした。そのころで「2分の1足す3分の1は?」の問いに「5分の2(正解は6分の5)」と答える大学生の割合が、全体の約17%に達していた。
 それを読んで私が思い出したのは、外務省時代に研修生の教育係をしていたころ、モスクワ高等経済大学とモスクワ国立大学地理学部に研修生を送り込んだときの経験です。共に外交官試験合格者の中でもなかなか優秀な成績を収めていたんですが、成績不良で退学になってしまった。
 そこで大学の教務部長に「いったい何に問題があるのか」と理由を聞きに行った。私はてっきりロシア語力の問題と思ったんですが、「そうではない。問題は別にある」と言う。
 一つは数学。微分積分や行列、ベクトルなど線形代数が全然できない。だから授業に付いていけない。二つ目は、アリストテレスの昔から論理の基本となっている「同一律、矛盾律、排中律」【注1】が分からない。だからディベートができない。そして三つ目に哲学史の知識に欠けるので、思考、思索の型というものが分かっていない。
 日本の教育というのはかなり特殊なんじゃないかと、言われたのです。聞き取りをしてみると、確かに文系は高校数学、下手すると中学段階でも数学をきちんとやらなくて済む。
 私は3年前から同志社大学の神学部で教えているんですが、「数学と神学は隣接しているから、きちんと数学をやっておきなさい」と言っているんです。芳沢先生の講談社ブルーバックスの『新体系・高校数学の教科書(上・下)』を丁寧に読んでいる学生も多い。高等学校卒業程度認定試験で9割は確実に取れる優秀な学生たちです。
 ところが、私はショックだったんですが、「リーマン幾何学【注2】では平行線はどういう状況で交わるの?」と聞くと、皆キョトンとしている。「先生、平行線が交わるんですか?」と。

芳沢 数学に関して幾つか迷信があります。例えば、まず「私立大学の経済学部は文系だから数学は不必要」という迷信です。

佐藤 ひどい話ですね。

芳沢 世の中にはさまざまな経済関連の問題がある。でも、必ず最後は数字をもって客観的に議論すべきものです。そこで数学が必要になる。ところが、日本ではおかしな方向に進んでいる。

 (続く)

 【注1】同一律、矛盾律、排中律
  同一律は論理学で、「AはAである」ということ。矛盾律は論理学で、「命題pは真であり偽でもある」ことはできないということ。排中律は論理学で、「任意の命題は真か偽である」ということ。

 【注2】リーマン幾何学と直線
  普通の平面上に、2本の平行な直線を引くと交わらない。しかし、例えば球面上の図形を考えると事情は異なってくる。球面上の異なる2点に対し、その2点を結ぶ球面上の最短の曲線である「線分」を延長して「直線」を考える。すると、この「直線」は球面上の円になり、その中心は球の中心である。この円を球面上の大円という。イメージとしては、地球上の2点である東京とニューヨークを結ぶ最短距離で飛行する航空機のルートを想像するとよい。これが最短距離であると認識することは、意外と難しいかもしれない。球面上の異なる「直線」同士は、平面上の図形のイメージとは異なって、必ず交わる。

□佐藤優「特集:文系でも怖くないビジネス数学」(「週刊ダイヤモンド」2019年2月9日号)の「【Part 1】 数学はビジネスパーソンの必須教養である」の「【対談】芳沢光雄(桜美林大学教授)×佐藤優(作家・元外務省主任分析官)「生き残るビジネスパーソンの必須スキル 今こそ「数学」の学び直しをせよ 」を引用

 【参考】
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【佐藤優】生き残るための教養主義
【佐藤優】外交でも問われるセンスと勇気
【佐藤優】少年少女期をどう振り返るか
【佐藤優】社内試験に使える究極の実用書
【佐藤優】米軍の教本に基づく意思決定
【佐藤優】転職の際にも資本主義の内在的論理を踏まえたほうがいい
【佐藤優】宗教の危険性に対する警鐘
【佐藤優】元防衛事務次官の憲兵隊構想
【佐藤優】補助科学としての数学の活用
【佐藤優】再び革命運動が起きる可能性
【佐藤優】職場にもやもやしている人
【佐藤優】フェイクニュースへの耐性
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