流体方程式の導出

　前回の記事では「連続体の運動方程式」を導出しました。そこで今回はさらに「粘性流体の構成方程式」と「非圧縮性流体の連続の式」を適用することで、流体力学の方程式を導きます。

　まずは「ナビエ・ストークス方程式」を導出し、その後は簡単な条件を設定することで「ベルヌーイの定理」を導出します。今回使用するのは次の4つの式です。

　まずは、「加速度の定義式」と「粘性流体の構成方程式（応力と速度の関係式）」を「運動方程式」に代入します。その後、一部の項が「連続の式」の形となって消去されます。この結果、「ナビエ・ストークス方程式」の形が現れます。

　続いて、ベルヌーイの定理を導いてみましょう。

　次図のｘ‐ｚ系において、青い流線で表される流れを想定します。ここでｘ軸は水平方向、ｚ軸は鉛直方向に対応し、重力はｚ軸の負の方向に働くと仮定します。ここでは理想流体を考えるため、粘性係数ηはゼロとします。また簡単のため、流線に沿った１次元の定常流れとしましょう。

　このような条件下で、流線ｓに沿ってナビエ・ストークス方程式を立てると次のように表されます。後は、これを流線ｓに沿って積分すれば良いのです。この結果、ベルヌーイの定理の式が得られます。

　ここでは、ベルヌーイの定理の式を２種類書いています。上の式は各項が「単位質量辺りのエネルギー」で表されるのに対し、下の式は各項は「水頭（ヘッド）」で表されています。但し、数式自体は同じものなので、必要に応じて使い分けると良いでしょう。


　ベルヌーイの定理の応用例として２つ紹介します。まずは「ポンプ」です。ポンプは、その機械的作用によって、作動流体にエネルギーを付加するものです。

　下の流入口（状態１）から流体を吸い上げて、上の流出口（状態２）から吐出する場合を考えてみます。作動流体の持つエネルギーは、状態１より状態２の方が高くなります。

　この時、ベルヌーイの定理の式（エネルギーで表示）は、次の関係を表しています。
（状態１のエネルギー）＋（ポンプによって付加されたエネルギー）＝（状態２のエネルギー）


　続いて、管を通る流れです。水槽から接続された円管を通って、作動流体が流れ出る場合を考えてみましょう。

（状態１）では作動流体は静止していますが、位置エネルギーを持っています。一方、管の出口の（状態２）では、作動流体が速度ｖ_２で流出しています。

　作動流体の持つエネルギーは、状態１より状態２の方が低くなります。これは、管の入口（接続部）や管路の摩擦に伴うエネルギーの損失が生じるためです。

　この時、ベルヌーイの定理の式（ヘッドで表示）は、次の関係を表しています。
（状態１のエネルギー）＝（状態２のエネルギー）＋（管入口の損失）＋（管摩擦損失）