エネルギーと質量の等価性

　前回の記事では「ローレンツ変換」を導入しました。今回はその続編として「エネルギーと質量の等価性」を導いてみます。

　ここでも、前回と同様に２つの慣性系としてＫ系とＫ'系を導入し、それぞれに観測者Ａ、Ｂが存在すると考えます。また、Ｋ系は静止する一方、Ｋ'系は（Ｋ系に対して）一定の速度vで運動する状況を想定しています。


【等速運動する慣性系における物体の衝突】

　今回は、等速運動する慣性系（Ｋ'系）の中で２つの物体を衝突させてみます。この２つの物体は同じ質量を持っており、互いに同じ速さ（向きは逆向き）で等速運動して衝突に至ります。

　この場合、Ｋ'系の観測者ＢとＫ系の観測者Ａでは、現象の見え方（認識）が異なります。まず、観測者Ｂから見ると「同じ質量m'の物体が、同じ速さu'で逆向きに運動して正面衝突し、衝突直後は静止状態に至る」と認識します。

　一方、観測者Ａから見ると「物体１と２は互いに同じ向きに、異なる速さu₁,u₂で等速運動しており（u₁＞u₂）、物体１が物体２に追いつくように衝突し、衝突直後は（慣性系Ｋ'と同じ）速度vで運動する」と認識します。

　また、観測者Ａから見ると、ローレンツ変換によってＫ'系内の時間と空間が変化しているので、２つの物体の質量m₁,m₂についても「互いに等しい」と認識できるとは限りません。

　そこで、Ｋ系の観測者Ａの視点で、Ｋ'系内の２物体の運動量保存則、および各物体の速度のローレンツ変換の式と立て、２物体の質量比(m₁/m₂)を導きます。

　本来、２つの物体と同じ慣性系に存在する観測者（この場合はB）から見れば、質量比は「もちろん１」となるのですが、異なる慣性系の観測者（この場合はA）から見ると「必ずしも１とは限らない」と考えるのです。

　ここで、この質量比(m₁/m₂)²の式は、運動量保存則とローレンツ変換の式から「u'とvを消去する」ことで導かれるのですが（教科書には「この記述」しかなかった）、このやり方には「コツ」があります。当初、独力ではなかなか導けなかったので、ネットで調べて漸くそのテクニックを見つけました。

　（※予め「1-u₁²/c²」と「1-u₂²/c²」を計算しておいて、後からまとめて代入するのです。）


【相対論的質量】

　続いて、Ｋ系とＫ'系のそれぞれに物体を置いた場合を考えてみます。今度は、物体１はＫ'系において静止状態にあり、物体２はＫ系において静止状態にある状況を考えます。

　この場合、観測者Ｂから見ると物体１は静止状態として認識されます。一方、観測者Ａから見ると物体１は（Ｋ'系と同じ速度）vで等速運動していると認識されます。

　さて、そもそもの前提として、物体１と物体２は同じ慣性系においては同じ質量を持っています。そこで、物体２を物体の本来の質量m₀、物体１をＫ'系において変化したかも知れない質量mと考えて、質量比(m₁/m₂)を求めてみます。

　この結果、Ｋ'系内における質量はmは、本来の質量m₀のγ倍に変化していることが判りました。この変化した質量mを「相対論的質量」と言います。


【相対論的力学】

　古典力学における「運動量」は質量と速度の積で定義されます。また、「ニュートンの運動方程式」は、「運動量の時間微分が外力に等しい」という形で表されます。

　これを踏まえて、相対論的質量と速度の積を「相対論的運動量」と言います。また、「相対論的運動量の時間微分が外力に等しい」という形で表される方程式を「相対論的運動方程式」と言います（次の式では速度と外力をベクトルで表記しています）。

　ここで、エネルギーの変化は外力による仕事によってもたらされると考えると、エネルギーの微小変化(dE)は微小仕事(F・dr)で表されます。後はひたすら数学の問題です。

　両辺を速度0からvまで積分すると、エネルギーの変化と質量の変化の関係（エネルギーと質量の等価性）が導かれます。

　ここで「右辺」の積分には、これまたちょっとした「コツ」が必要となります。こちらもネットで調べて漸くそのテクニックを見つけました。

　（※要は「(1-v²/c²)^-3/2=(d/dv)(1-v²/c²)」を発想できるかどうかがポイントです。）

ガリレイ変換とローレンツ変換

　先日の記事でも述べましたが、この夏の暑さは異常です。外に出るのも儘ならず、インドアで過ごすことが多くなりました。

　そこで、この８月中はスキマ時間に「特殊相対性理論」の解説を読み返しておりました。工学部(機械系)で特殊相対性理論を履修したのは、約四半世紀前の大学１年(教養部)の頃です。使用された物理学の教科書では僅か「10ページ前後」の記述でしたが、なかなか難解でした。あらためて理解したイメージを「メモ書き」として記事に残しておきます。


【異なる２つの空間（Ｋ系とＫ'系）】

　まずは一連の話の前提として、異なる２つの空間を導入します。一方の空間をＫ系、もう一方の空間をＫ'系と呼ぶことにしましょう。

　Ｋ系は静止状態にあり、この中には観測者Ａが存在します。また、Ｋ'系は一定の速度で動いており、この中には観測者Ｂが存在します。Ｋ系が駅のホームだとすると、Ｋ'系はホームを通過する新幹線のようなイメージです。

【慣性系】

　ここで、Ｋ系とＫ'系のそれぞれに座標を設定します。これらの座標系は「慣性系」と呼ばれます。慣性系とは、慣性の法則が成立する座標系の事です。慣性の法則は「静止している物体は静止し続け、運動している物体は一定の速度を保ちながら運動を続ける」と言う法則です。

　つまり、座標系は静止しているか等速運動をしているため、その加速度は常にゼロであり続けます。

【ガリレイ変換】

　Ｋ'系内における点Ｐに着目し、この点Ｐの位置を観測者Ａ、Ｂのそれぞれから見た場合の見え方について考えてみます。点Ｐの位置(座標は)は、観測者Ａからはｘの位置に見えます。そして、この位置xは時々刻々変化します。

　一方、観測者Ｂからはｘ'の位置に静止しているように見えます。観測者Ａの立場から言えば「観測者Ｂもまた点Ｐと共に同じ速度で動いている」のです。

　この関係を等式で表し、時間微分を施すと、位置の関係から、速度や加速度が導かれます。その結果、運動方程式はＫ系、Ｋ'系で同じ形となります。

　すなわち、一つの座標(慣性系)で成立する力学の原理は、これと等速運動する他の座標系(慣性系)についても成立します。従って、力学現象の基礎として絶対速度を測定する方法は無く、ただ相対速度のみが測定できる、と言うことです。これを「ガリレイの相対論」と言います。


【非慣性系と慣性力】

　ここで、もしＫ'系が慣性系ではなかった場合を考えてみましょう。つまり、Ｋ'系が一定の「加速度」を持って運動している状況です。この場合、Ｋ'系は「非慣性系」と呼ばれます。

　先ほどのガリレイ変換と同様に、Ｋ'系内における点Ｐに着目し、この点Ｐの位置を観測者Ａ、Ｂのそれぞれからの見え方（位置）について式を立ててみます。時間微分を施すと、位置の関係から、速度や加速度が導かれます。

　その結果、Ｋ'系の運動方程式の中に「-ma」と言う項（慣性力）が現れました。非慣性系の運動では、座標系自身の加速度に伴う「みかけの力」が新たに加わります。


【Ｋ'系における光の往復(1)】

　ニュートンの運動方程式と慣性系の関係を概観した後は、マクスウェルの電磁方程式と慣性系の関係を見てみましょう。ここでは、運動する座標系(Ｋ'系)の中で光(電磁波)を往復させ、その様子を外部の静止系(Ｋ系)の観測者Ａの目線で考察してみます。

　まずはＫ'系の中で、光を(Ｋ'系の)進行方向に沿って、距離lだけ往復させてみます。

　Ｋ'系では「光源から反射板までの光の速度はcであり、また反射板から反射される光の速度もcと認識される」と考えられます。

　一方、Ｋ系では、Ｋ'系自体の速度vも加わるため、「光源から反射板までの光の(相対)速度はc+vであり、また反射板から反射される光の(相対)速度もc-vと認識される」と考えられます。

　この結果、Ｋ系の観測者Ａから見た場合の光の往復に要する時間t₁が求められます。

【Ｋ'系における光の往復(2)】

　続いて、Ｋ'系の中で、光を(Ｋ'系の)進行方向とは垂直に、距離lだけ往復させてみます。

　Ｋ'系では「光源から反射板までの光の速度はcであり、また反射板から反射される光の速度もcと認識される」と考えられます。

　一方、Ｋ系でも「光源から反射板までの光の速度はcであり、また反射板から反射される光の速度もcと認識される」と考えられます。

　ただし、Ｋ'系自体の速度vの影響で、「光の進み方は『真っ直ぐ』ではなく『斜めに傾く』と認識される」と考えられます。

　この結果、Ｋ系の観測者Ａから見た場合の光の往復に要する時間t₂が求められます。

【２種類の光を合わせると】

　ここで、上記の２つの光(1)(2)を合わせた場合を考えてみます。

(1) Ｋ'系の進行方向に沿った方向(往復時間：t₁)
(2) Ｋ'系の進行方向に垂直な方向(往復時間：t₂)

　当初、２つの光は時間差「Δt = t₁ - t₂」に相当する干渉を生じる（時間差がある＝光路差がある）と考えられました。しかし、実際には観測されなかったのです（あれっ？）。

　Ｋ系とＫ'系との間で「ニュートンの運動方程式」は変わらず適用できますが、「マクスウェルの電磁方程式」の場合はちょっと勝手が違うようです。そこで、次のような要請(アインシュタインの要請)が基本原理に組み込れました。

(1)１つの慣性系で成立する物理法則は、これと等速運動する他の座標系(慣性系)に対しても同じ形で成立する。
(2)真空中の光の速度は、光源および観測者の運動とは無関係に、常に一定である(光速不変の原理)。

　つまり、光速が変化するのではなく、Ｋ'系の空間が歪む(縮む)ことで「Δt = t₁ - t₂ = 0」、つまり「t₁ = t₂」となる(←辻褄が合う)と考えます。この時、Ｋ'系の空間は元の長さlからl'に変化すると考えます。この結果、「t₁ = t₂」が実現すると考えると、次のような式が得られます。

　このように、慣性系の速度に応じて内部の空間が縮むことを「ローレンツ収縮」と言います。


【ローレンツ変換】

　ローレンツ収縮の概念を拡張してみます。　

　改めて、Ｋ系(静止)に光源を設置し、Ｋ'系(運動)の中にある点Ｐに向かって光を発射する状況を考えてみます。

　ここで、Ｋ系とＫ'系の時刻をそれぞれt,t'と表すことにします。また、Ｋ系とＫ'系の座標をそれぞれx,x'と表すことにします。

　初期状態(t = t' = 0)の時、Ｋ系とＫ'系は重なっており、この瞬間にＫ系の光源(x = 0)から光を発し、同時にＫ'系は速度vで動き出すものとします。

　ある程度の時間(Ｋ系ではt、Ｋ'系ではt')が経過した後の様子を考えてみます。ここからは、座標系の取り方とは無関係に一様に流れる「絶対時間」という考え方を捨てて、各慣性系毎に異なる時間を考えます。

　改めて、光の経路上に点P₁、点P₂、点P₃を置いて考えてみます。P₁～P₂間はＫ系のみ、P₂～P₃間はＫ系とＫ'系が重なっている区間となります。

　ここで、Ｋ系に固定された光源(点P₁)から発せられた光は、点P₂を経てK'系内に入り、点P₃に到達したとします。

　観測者Ａの視点に立って、P₁～P₃間の距離を考えてみると、P₁～P₂間の距離は「時間tにおけるＫ'系の移動距離」であり、P₂～P₃間の距離は「Ｋ'系内を通過した距離」となります。

　一方、観測者Ｂの視点に立って、P₂～P₃間の距離を考えると、やはり「Ｋ'系内を通過した距離」となります。

　ここで、P₂～P₃間の距離について、２人の観測者の認識が異なります。観測者ＢはP₂～P₃間の距離をx'と認識しています。しかし、観測者Ａはx'からローレンツ収縮した長さを認識しています。K'系内は空間そのものが収縮しているので、観測者Bも一緒に収縮していることになります。もちろん、観測者Bは自らの収縮を認識できません。

　従って、観測者Ａの認識をベースに、観測者Ｂが認識する空間x'と時間t'を表現すると、次のようになります。

　つまり、Ｋ系とＫ'系では「空間の大きさが変わるのと同時に、時間の長さも変わる」ということです。この変換を「ローレンツ変換」と言います。また、この逆変換は次のようになります。

　ここで、ローレンツ変換の式を基に、空間と時間の微小変化を考えてみましょう。

　時間と空間の微小変化を基にして、速度成分のローレンツ変換の式を導くことができます。

　この続きとなる「エネルギーと質量の等価性」は、こちらです。

　ちなみに、現実の世界で身近な物理現象を考える際は、運動速度vは光速cよりも圧倒的に小さく「古典力学(ニュートン力学)」で十分対応できます。ローレンツ変換の式で「(v/c)→0」の極限を取ると、ガリレイ変換の式と一致します。

　一方、「光速に近い速度で運動する、または天体のような巨大な質量を扱う」ような物理現象を扱う際には、この知識は必要になると学びました。今後の人生において、そのような現象を扱うことが「全く無い」とは言い切れないので、念のため勉強しておきます。

今年(2023年)の猛暑を甘く見てはいけない

【2023年08月25日(TUY / Yahoo!ニュース)】
救急車到着後も練習継続　体育祭の練習中に熱中症で中学生13人搬送

　先日、同じ山形県の米沢市で悲しい出来事があったばかりです。その教訓が全く活かされていないようです。

　山形市における８月の日最高気温の推移(1976～2023年)を調べました。日最高気温は「猛暑日」「真夏日」「夏日」「夏日未満」の４階級に分け、各々の出現回数を表示しています。今年(2023年)は24日までの集計ですが、「猛暑日が14日、真夏日が9日、夏日が1日」と、特に「猛暑日」が多く現れています。

　続いて、山形市における８月の降水量の推移(1976～2023年)を調べました。年毎にバラツキはありますが、平年の月降水量「153mm」に対し、今年の降水量は24日までで「60.5mm」（平年の４割程度）に留まっています。ちなみに、新潟県新潟市（観測・新潟）では24日までの時点で「0mm」の状況です（図略）。

　山形では1933年7月25日に最高気温「40.8℃」が観測され、その後「2007年8月16日」に更新されるまで、実に「74年」もの長きに渡って「国内最高気温」の記録を守り続けました。幾ら「北日本」と言えども、ひとたび「フェーン現象」が牙を剥くと気温の上昇は顕著となります。

　先日の記事でも言及しましたが、今年(2023年)の夏は「暑さが際立ちやすい」状況となっています。学校関係者各位が中学生だった頃の「昔の夏」の感覚とは（少なくとも今年の夏は）「別物」であると言えるでしょう。「意識」のアップデートが必要です。

猛暑日が目立つ夏

　この夏は(2023年)、いつもにも増して「暑さが際立っている」ように感じます。

　まずは、8月14日の14時30分時点での新潟県内の気温と風の様子です。台風７号の北上の影響で（図略）、北陸地方では南東の風に伴うフェーン現象が顕著に現れました。この夏は、このような高温の日が多いのが特徴です。

　そこで、新潟県内4地点の8月の日最高気温の推移(1976～2023年)を調べてみました。日最高気温は「猛暑日」「真夏日」「夏日」「夏日未満」の４階級に分け、各々の出現回数を表示しています。今年(2023年)は20日までの集計ですが、「真夏日」と「猛暑日」しかありません。また、「猛暑日」の出現回数が顕著です。

　さらに、上空の天気図を見ていると、「いつもの夏とはちょっと違う」と感じることがあります。一般的に、太平洋高気圧の目安としては500hPa面の「5880m」等高度線（ジオポテンシャル高度）に着目します。

　しかし、最近の数値予報図で暖湿気(高相当温位)の流れを見ていると、「5880m」等高度線の縁辺ではなく、むしろ「5910m」等高度線の縁辺を回り込んでいるように見受けられます。つまり、ここ最近については、太平洋高気圧の目安として「5880m」よりも「5910m」を見た方が良さそう（要は、高気圧の指標が平年よりも高め）と言うことです。

　次の図は2023年8月18日の模式図です。

　これら一連の背景を理解するために、最近（2023年8月中旬）の特徴をラフに描きました。南の活発な対流に伴って、偏西風や太平洋高気圧は北に偏り、日本付近における高温域の広がり（気温の底上げ）を招きました。

　また、偏西風の峰（リッジ）に伴い、高気圧の中心も東に偏り、日本付近では南風が目立ちました。この南風に伴うフェーン（風炎）現象が日本海側の高温に拍車を掛けた（さらに気温が上がる）ため、猛暑日の日数が増加したと考えられます。

7月の日最高気温の推移

　今年(2023年)は梅雨明けしてから、非常に厳しい暑さが続いております。その背景については、グローバルな視点から前回の記事でも触れました。

　フィリピン付近の対流が活発で太平洋高気圧が強まりやすい傾向（正のPJパターン？）であり、さらに台風などの影響も加わって、特に「暑さ」が増す傾向にあります。

　そこで今回はローカルの視点で、山形県内４地点（酒田・新庄・山形・米沢）の7月の日最高気温の推移（1976～2023年）を調べてみました。グラフでは、日最高気温を「猛暑日」「真夏日」「夏日」「夏日未満」の４階級に分け、各々の出現比率（100%が31日に相当）を表示しています。

　この結果、「夏日未満」の出現比率（日数）は年を追って減少する傾向がある一方、近年は「猛暑日」がより現れやすくなっている様子が窺えます。