オメガ方程式のイメージ

　気象予報士試験の勉強では必ず登場する「オメガ方程式」。その姿は見る者を圧倒します。

　少し解りやすくするために、次の２つの式を適用すると

　このように書き直すことができます。

　鉛直運動（鉛直流の分布）は「渦度移流の鉛直シア」と「温度移流」によって生じる、という意味です。また、上の式には書いておりませんが、「非断熱効果」を加えることもあります。

　数式自体が長く、複雑な形をしているので、その意味するイメージを描きにくいのが特徴です。試験対策としては、「鉛直流」の要因を考える際は「渦度移流の鉛直シア」「温度移流」あとは「非断熱効果」に着目する、と言うことを押さえておけばよいでしょう（実際、私がそうでした）。

　この記事では、「ごく簡単な条件」を想定することで、この複雑・難解な「オメガ方程式」のイメージを読み解いていきます。

　例えば、次のような場を考えてみましょう。x軸は東西方向、y軸は南北方向を表します。ここで、擾乱はy軸,p軸方向に一様とし、鉛直シアを持つ西風の一般流U(p)の場に重なるものと仮定します。

　今回は４つの等圧面(500,700,850,1000hPa)に着目します。
　想定する領域の長さをL_xとし、500hPa面は渦度ζ_w500（西端）とζ_e500（東端）、700hPa面は鉛直流ω₇₀₀（中央）、そして850hPa面は温度Ｔ_w850（西端）とＴ_e850（東端）とします。また、一般流として等圧面毎にＵ₅₀₀、Ｕ₇₀₀、Ｕ₈₅₀、Ｕ₁₀₀₀とします。これらは一様に西風とします（但し、上空ほど速度が増す）。

　つまり、「500hPa面と1000hPa面の間の渦度移流の鉛直シア」および「850hPa面の温度移流」から「700hPa面の鉛直流」が決まることを考えています。FAX天気図のイメージです。

　擾乱はy軸,p軸方向に一様と仮定したので、これらの物理量は「x軸方向のみ」を考えます。

　ここで、解ωの関数形について、次のような三角関数で表すことができると仮定します。

　続いて、微分演算子、一般流の鉛直シア、1000hPa面の一般流を次のように近似します。

　以上を「x軸方向のみ」のオメガ方程式に適用すると、次のような式が得られます。

　こうして簡単な代数方程式の形に帰着しました。あとは右辺の各項について見てみましょう。

右辺第１項について
・ζ_e500＜ζ_w500　⇒　(-ω₇₀₀)＞0 の側に作用する（上昇流）
・ζ_e500＞ζ_w500　⇒　(-ω₇₀₀)＜0 の側に作用する（下降流）

右辺第２項について
・T_e850＞T_w850　⇒　(-ω₇₀₀)＞0 の側に作用する（上昇流）
・T_e850＜T_w850　⇒　(-ω₇₀₀)＜0 の側に作用する（下降流）

　このように、渦度や温度の「移流」が「傾き」の形で表現されるので、イメージがつかみやすくなります。
　
　さて、上昇流となる場合のイメージ図は既出ですので、下降流となる場合のイメージ図も掲載しておきましょう。

　ちなみに、Ｑベクトルを用いると、オメガ方程式は次のように書き表されます。

　とってもシンプルになりました。