オプションとは、将来の一定期間に、約束した金額で金融商品（金融資産）を売ったり、買ったりする事ができる「権利」です。
例えば、『株Ａ（時価：１１０万円）を６か月後に、１００万円で購入するオプション（権利）を購入する』 事案を考えてみましょう。この時、株Ａのことを「原資産」、６か月後と言う時期のことを「満期」、１００万円という価格を「権利行使価格」または「ストライク」と言います。
もし、満期・６か月後に原資産・Ａの株価が暴落して、時価５０万円になった場合、このオプションを「放棄」することで、損失を免れることができます。一方、満期・６か月後に原資産Ａの株価が高騰して、時価２００万円になった場合は、このオプションを「行使」することで、差額分だけ利得が発生します。
このように、オプションを適正に行使する（または放棄する）事で、原資産（金融資産など）の価格変動のリスクをヘッジすることができるのです。
ある価値を有する原資産Ｓ(ｔ)を，満期Ｔの時点で権利行使価格Ｋ円（ストライク）で購入できるオプションを考えます。この時、Ｓ(Ｔ)がインデックスに相当します。
満期Tの時点で原資産の価値が暴落し、時価がＫを下回れば、オプションを放棄することで損失を回避できます。
一方、原資産の価値が高騰し、時価がＫを上回れば、権利を行使することで利得ｈ(Ｓ)＝Ｓ(Ｔ)－Ｋが発生するのです。この取引の結果生じる利得ｈ(Ｓ)のことをペイオフ関数と言います。
オプション取引を行う際は、予めその権利を購入する必要があります。この権利のお値段、つまりオプションの価格（価値）のことを「プレミアム」と言います。
オプション取引に伴う利得は青のグラフ（ペイオフ関数）で表されますが、実際には既にプレミアムを支払っている状態なので、実際の収支は青のグラフよりもプレミアム分だけ下にシフトした赤のグラフのようになります。
プレミアムは、将来時点Ｔで見込める利得を、現在時点（契約時点）での価値に換算したものです。
オプション取引では、原資産の価値が時間と共に変動しています。これに伴って、オプションの価値・プレミアムもまた、時間的に変動しています。その変動は原資産（危険資産）と同様に、確率微分方程式で表現されます。
ここまで、安全資産・危険資産、そしてプレミアムの微分方程式やリスクの市場価格の式を導いてきました。これらの式を基にして、プレミアムに関する方程式を導くことが出来ます。
このBlack-Scholesの偏微分方程式に変数変換を施して熱伝導方程式に変換し、オプション取引の条件を適用した上で、解の重ね合わせ（積分）を行うことで、次のようなプレミアムの公式を得ることが出来ます。
これがBlack-Scholesの公式です。
また、原資産Ｓ(ｔ)が指数関数で表され、その指数が正規分布に従うと仮定されることから、Ｓ(ｔ)は対数正規分布に従うと仮定されます。正規分布と対数正規分布の関係について、補足しておきます。
