行列式の由来については、私は現時点では追跡していません。追いかけたい方は、クラメルの公式のクラメル氏の業績をトレースするのが、手始めとしては良いみたいです。
行列は、現在ではベクトルの変換(拡大・縮小、回転、鏡映)と、構造計算など、2点の関係を表現するのに使われているようです。こちらもしっかりとはトレースできていませんが、20世紀初頭付近の物理学の発展と、20世紀後半のコンピュータ科学の発展に沿っているみたいです。
いやだから、便利なので、分かって使う分には行列も行列式も、じゃんじゃん使って良いと思います。
実際問題として、ベクトルの変換にはベクトルとスカラを使えば良く、構造計算は行列と言うより、計算機内部では計算機言語の配列です。
私も含めて、行列があまりに便利なので、行列ではどうなるかを問題解決の最初の方で考えてしまうので、いろいろと大事な部分がすっ飛ぶと思います。
やや批判的になるので曖昧にさせていただきますが、最近読んだ群論の本で、結晶群の表示に行列を用いていたのには、正直、かなりぶっ飛びました。確かに、座標変換が必要になった段階で行列を持ち出すのは、まだ意味があると思います。
しかし、結晶の表現に行列を使ってしまうと、いわゆる部分群とか余剰類とか、すぐに出てくるとは思えず、要するに対称性が、あの2次元の数値表(行列のこと)の奥に隠れてしまうと思います。
欧州では、多分、米国でも西洋数学の伝統、古典幾何学と代数学(無限級数)がすぐに想起されると思うので、これに解析学(微積分)を足すと、まっとうな思考に戻ると思います。しかし、我が国ではベクトルと行列が強調されすぎで、いやだから、ものは使いようなのですが、単にそろばんの使い方みたいになる傾向があって、その裏にある数学の流れが、いささかおろそかになっている感じがします。
で、思い出しましたが、江戸時代の数学教室では、子供にはそろばんで、大人用教室というのもあって、そちらでは算木が使われていたそうです。ですから、連立一次方程式やn次方程式に関しては、普通。神社などに奉納される絵馬では幾何学の問題も盛んに出てくるので、こちらもOK。後は微積分との関わりで、工学分野では普通に出てきますから、こちらも対応する何かがあったような気がします。ですから、悲観するほどではないですけど、さて、具体的にはどうするか。
