明日から3連休です。政府筋などから旅行に行け、いや行くなと、どちらを信じていいものやら。
とにかく、とある近畿の田舎の美術館の展示にかこつけて、私が最近所属した数学クラブの会合とやらに初参加の予定です。参加人数は8人とのこと。精鋭の参加ですので、内容はある意味、濃いと思いますから、小さな学会みたいな雰囲気を想像しています。
何か面白いことが起こったら、報告します。
今回、持って行くお土産は、最近このブログに上げた、任意のn次元における(n-1)次元単体に垂直なベクトルの算出法です(ついでにその単体の容量(大きさ)が算出される)。誰かがとっくにやっていたら、それを知るのも嬉しいです。とにかく、これで私は任意のn次元の図形の計算が出来て、8次元までのコンピュータグラフィックスでの表示が可能と考えています。
これと関連して、いわゆる反変・共変ベクトルのことを詳しく知っている人がいたら儲けものです。最近やっとかなり理解したと思っているのですが、まだテンソル解析に自由に応用できる程度ではありません。一応、記しておきます。
まず、由来ですが、今のところ結晶学の19世紀末頃の発展に伴っている、との私の理解です。結晶には単位格子という単位があって、それが縦横上下に無限に繰り返している感じです。数学では、3次元デカルト座標で、整数の格子点を取り、立方体の積み木が連続している感じを想像すると良いと思います。そして、その立方体が構成原子/分子によっては、一般の平行六面体になる感じ。
ここで、直交座標では無く斜交座標の必要が出てきます。平行六面体の単位格子の繰り返しは、互いに垂直な縦横上下から少しずれて、斜交します。これは座標軸の話で、位置ベクトルに相当します。これが反変ベクトルに相当するとのこと。
ところで本物の結晶を見ると目立つのは外側の平面です。そこで、平面の平行移動に相当するのを共変ベクトルと呼びます。平面なのにベクトルなのは、法線ベクトルに注目するからです。反変・共変と言葉が分かれているのは、斜交座標では振る舞いが反比例の関係になってしまうからです。
数学的には反変・共変は単なる双対関係を指し、結晶学、つまり物理学のような具体的なイメージは本来は伴いません。解説では上述のように幾何学的対象を持ち出すことが普通のようですが。
で、最初の難関は、ベクトルは幾何学由来なので、ユークリッド幾何学に単位格子は無かったはずですから(座標も無い)、数学の反変・共変ベクトルにも絶対的な単位格子はありません。
なのに、座標の概念の導入のために単位ベクトルはあって、これが斜交していて、基底と呼ばれます。n次元にはn個のいわゆる独立した単位ベクトルを用意し、その一つずつに成分がくっついて、これで任意のn次元空間内の点を指定します。位置ベクトルですから、原点との位置関係になるので、1次元(長さ)に相当します。反変ベクトルを当てはめますが、用いるのは反変成分と共変基底の組です。
平面の方は逆に、共変成分と反変基底を組み合わせて、この際に、共変基底が決定されると、自動的に反変基底が決定されてしまうようです。ようです、って、目下確かめる必要があるのはこの部分です。座標変換が必要な場合は共変基底の単位ベクトルの向きや大きさが自由に変わってしまうので(立方体から平行六面体への変位)、それに伴い、自動的に反変基底も変化します。もちろん、異なる座標になったのですから、成分も再計算する必要があります。共変ベクトルそのものは1次元ですが、表しているものは(n-1)次元要素の平行移動の振る舞いです。
まあ何ともお恥ずかしいことに、この歳になってやっと具体的計算で反変・共変の成分と基底のふるまいを計算機(表計算ソフトなど)にさせよう、ということ。なぜか、この嫌ほど基礎的で、計算が容易なはずの部分の具体的計算例の解説を見たことがありません。
テンソル解析などの教科書には数式と図が並んでいますが、座標計算のための仕掛けなのがさほど強調されていないと思います。多分、このあたりは私の役目でしょうけど、誰かもっとずっと深く知っている方に解説して欲しいと思います。
