2991. ZOMETOOLの中心角^2

　前項の続きです。
　ですから、考え方の方向としては、まず角が90°、60°、36°の球面三角形があって、その辺を球の中心から見た中心角、φ、χ、ψを計算した、ということ。
　この球面三角形は辺で折り返して行くと球面を120個の合同な球面三角形で、ちょうど1回だけ埋め尽くします。この図は印象的かつ大切な図で、見ておく方が良いでしょう。
　日本語版Wikipediaの正二十面体のページで「完全正二十面体的対称性(英語版)」の図がそれです。完全は裏表を考えた場合の対称性です。図形的には裏返さず(全体の鏡映は考えず)回転だけで考える回転群の数が採用されます。
　よく見ると、正三角形(球面)や正五角形が見えてきて、もちろん正20面体と正12面体に直接関係しています。

　同様の球面三角形には、正四面体群の90°、60°、60°の三角形、正八面体群の90°、60°、45°の三角形があって、前者は24枚、後者は48枚で球面をちょうど1回だけ埋め尽くします。対称性の球面の図を描くと、正四面体群の方は正八面体群に完全に重なってしまうので、ZOMETOOLに追加したいとすれば、正八面体群の方の三角形、その角がπ/2、π/3、π/4の球面三角形が欲しい、ということになり、それを実現するのが緑棒(G/HG)です。

　前項の写真の左下が、角が90°、60°、36°の球面三角形を表したもので、球面があって球面三角形の頂点になっていると考えてください。右下が　角が90°、60°、45°の球面三角形を表した物で、緑棒が使われています。球面上の頂点を青(B)、緑(G)、黄(Y)で表すと、
　　∠BGY = 90°、　∠GYB = 60°、　∠YBG = 45°
　となっています。ミソはBとYの中心角が異なっている点で、左下では隣接した穴なのに、右下では少し離れています。

　写真の右下の棒間の中心角は、
　　φ#4 = ∠BWG = (1/4)π = 45°
　　ψ#4 = ∠GWY = κ = (1/2)arccos(1/3) ≒ 35°15′52″ ≒ 35.264°
　　χ#4 = ∠YWB = (1/2)π - κ ≒ 54°44′
　で、写真右上ではφ#4は現れていますが、χ#4とψ#4はZOMEボールでは同一平面には来ないので、黄棒はわざと抜いていて、青と緑の棒だけで撮影しました。

　つまり、元の正二十面体の対称性を表す球面三角形が赤(36°)、青(90°)、黄(60°)であるところに、緑を加えた結果、青(45°)、緑(90°)、黄(60°)の球面三角形が追加された形になります。この緑の方角は赤と黄を結ぶ線分(大円の一部)の赤寄りの位置にあって、赤の先の青から45°の角度(角度で距離を表す地球の緯度みたいな感じ)の場所です。上式に沿えば、赤から黄へ向かう線上、(1/4)π - κ(≒ 9.7356°)の位置です。
　黄棒の役割は同一ですが、元の赤(5回軸)の役割が青(4回軸)になっていて、青(2回軸)が緑(2回軸)、となれば完璧でしたが、まあ、世の中、そううまくは行きません。制限付きと思います。それでも、緑棒の存在によって、対称性では重要な図形がいくつも出てくるので、すばらしいアイデアだと思います。

　ちなみに、完全な平行移動だけですと緑の60の角度の中で12方向のみが正解、となりますが、螺旋モデルなどでは局所で基準となる立方体が傾いて行き、結局、「5つの立方体」と呼ばれる図形のような感じとなって、60の角度がすべて役立ってしまいます。

2990. ZOMETOOLの中心角

　ふむ、写真を掲載しないで良かったです。昨日作ったZOMETOOLによる螺旋モデルは実は長さが間違っているところに無理矢理棒を突っ込んだので、少々変形していたのでした。
　本日の朝に気付いて慌てて分解しました。ZOMETOOLはプラスチックで出来ているので、少々の間違いでは元の形に戻りますが、あまりに長時間続けると部品が変形してしまうと思います。

　いまさっき作ったのは大丈夫とは思いますが、かなり複雑な形なので掲載してもとっさには分からないと思えるので、申し訳ありませんがパスさせていただきます。
　vZomeと呼ばれるコンピュータグラフィックスによるZOMETOOLのシミュレータがあって、無料で手に入ります。これで確かめれば良かったのですけど、かなり豪勢なソフトで複雑で、しばらく練習しないと使いこなせない感じ。
　なので、表計算ソフトで座標計算させて、まあこれで最初の6桁(十進数で)くらい合っていればまず大丈夫だろう、と考えて準備を始めました。しかしZOMEボールには穴が12+20+30の62個もあって、さらに緑棒で60個(12穴×5種)の角度が追加されます。これじゃ物量の関係でかなりプログラムに時間がかかると思いました。

　ひょっとしたら興味が湧いた方がおられるかも知れないので、必要なデータを以下で記述します。まずは下方にある写真をご覧ください。ボールの穴の角度、つまり球の中心からの中心角を強調したZOMETOOLによる模型です。
　左が青棒(B)、黄棒(Y)、赤棒(R)で構成されたZOMETOOLのオリジナルの中心角。
　正20面体と正12面体の対称性に関連しているので、よく研究されています。この3つの中心角には、φ(ギリシア文字phi: ファイ)、χ(chi: カイ)、ψ(psi: プサイ)が割り当てられていて、棒の端点のZOMEボールの中心点をWで表すと球の中心角は、

　　φ#5 = ∠RWB = λ = (1/2)arctan(2) ≒ 31°43′3″ ≒ 31.717°

　#5は正二十面体対称性、つまり5回回転軸(5回軸)でのφであることを示します。
　λ(lambda: ラムダ)は31.717…°をいちいち書くのが面倒なので記号で表します。以下、μ(mu: ミュー)、κ(kappa: カッパ)も同様。
　arctanは逆三角関数の逆正接関数です。通常の三角関数が角度から長さを返すのに対し、逆三角関数は長さから角度を返します。普通に逆操作(数値表を左→右、ではなく左←右に読んだ感じ)です、念のため。
　′は角度の単位の分(ふん)で1/60度(°)、″は秒(びょう)で1/60分 = 1/3600度です。
　球の中心角を続けます。

　　ψ#5 = ∠BWY = μ = (1/2)arcsin(2/3) ≒ 20°54′19″ ≒ 20.905°
　　χ#5 = ∠YWR = π/2 - λ - μ ≒ 37°23′

　ZOMEボールの中心点Wから単位球面(半径1の球面)との棒の交点もそれぞれB、Y、Rで表すと、球面三角形BYRの3個の角の角度は、
　∠RBY = π/2 = 90°、　∠BYR = π/3 = 60°、　∠YRB = π/5 = 36°
　となって合計が180°を超えてしまいます(球面過剰)が、球面三角形なので全くOKです。
　後は、ZOMEボールの穴の配置を考えると解けるはずです。
　具体的に計算するのは結構難しいですけど(多分、球面三角法の余弦定理の知識が必要)、数学好きの高校生なら、ひょっとしたら中学生でも計算できると思います。

　緑棒(G/HG)の話はかなりややこしくなるので次項に続く、…予定です。

2989. 左右非対称

　トランプ大統領が近々、日本に嬉しいニュースが来るだろうとかおっしゃったそうな。政治家の発言ですから、より一層の負担と行動を期待する、という意味だと思いました。ネガティブ方向の話題では無いと思います。何かな。無難なのは宇宙開発などの科学系ですが、どうなるか。

　PS5の続報が無いので、噂が先行しているようです。私から見るとわずかな差を問題にしている感じ。民生品なので、多少の差は無いのと同じと思います。
　たとえば、PS4のノーマルとproは2倍強の性能差がありますが、より売れているのはノーマルの方。なぜならPS4用のソフトはどちらでも動作しますし、売れているのは4Kテレビとは言え、現在普及しているのはハイビジョン(2K)ですから、それならどちらもあまり変わりないと。宣伝文句では2Kでもproの方が美しい絵が出てくるそうです。
　私の感覚が根拠で申し訳ありません。確かにPS nowのPS3ソフトもPS4 pro + 4K PCモニタだと綺麗に見えます。高価なのは理由がある、と言ったところ。

　例の古典数学書の翻訳作業を進めながら、ZOMETOOLも少しずつ理解を進めていて。ZOMETOOLには特徴的な形を主題としたお手軽シリーズがあって、その中の一つがDNA。螺旋ですから左右非対称性がある。黄色の棒で作れるようなのでトライしてみました。
　まず、正10角形が作れるみたいなので構成してみたら、何と、いわゆる捩れ多角形(skew polygon)でした。シクロヘキサンの骨格の一つ(椅子形)が捩れ正六角形なので、それの正10角形版です。
　ねじれを交互では無く、そのまま続けることが出来て、ごく当然な結果ですが、左巻き螺旋も右巻き螺旋も出てきます。黄の棒が螺旋の骨格で、形を保つために赤の棒で支柱が作れます。写真でご覧いただくことは出来ますが、あまりにあっけないので今回はパス。
　赤棒と黄棒の直接のコラボは初めて見ました。ちなみにシクロヘキサン(椅子形)の骨格は黄棒のみで再現でます(化学では無く、あくまで数学的な対称性の説明の範囲内)。

2988. 春の風物詩

　気温が若干上昇し始めたためか、通勤電車内でも朝食時の量販店でも近所のコンビニの周囲でも、多少行動が変に見える方々(老若男女を問わず)が出没しているようです。そういえば、なぜか最近はマスコミ関係でもよく目にするような。ある程度は昨今の社会情勢とも関係するのかも。

　例の古典幾何学書の翻訳計画は、英文打ち込みが終盤で、今は高次元(おおむね50次元以内)の正四面体相当、正八面体相当、立方体相当を三次元に投影したときの座標計算のやり方です。ここがちょうどZOMETOOLの主題と関連していて、まだ邦訳していないので正確なところは分からず、皆様に紹介できないのが残念です。私なりにしっかり理解できて、かつ、面白そうなら紹介します。

　ZOMEはもちろんZONE(帯: おび)とDOME(ドーム、円蓋)の合成語です。このZONEは具体的には菱形12面体や菱形30面体の赤道部を周回する菱形(一般には平行四辺形)の連続の帯を指します。数学的な存在ですが、何と、これを実際に建築に応用してしまった人がいるみたいで、つまり、帯を角度を変えて重ねるとドームになる、ということ。
　巨大ドームと言えば、いわゆるフラードーム(ジオデシックドーム ＝ バッキードーム)がつとに有名です。こちらも当然、ZOMETOOLの表現の対象の一つになっています。三角形(正三角形とは限らない)のフラードームがすぐに検索できると思いますが、たしか六角形(六角形だけだと球面にならないので一部は五角形)や、三角形と六角形の混在などもあったはずです。

2987. ZOMETOOL買い増し^3

　近所の駅近くのドラッグストアで、夕方までトイレットペーパーがすこしだけ余っていました。先週から、突然パニック買いが起こったようです。さすがに10日間も毎日数パック買っていると、家の中が大変なことになったのだと思います。どうなさるのかな。

　ZOMETOOLに関して問い合わせたら、販売元では無く輸入元から同社のパンフレットと若干の簡単な紹介資料が来ました。知りたかったことが書かれているのでありがたかったです。ありがとうございました。

　STEAMのキットに入っているケースには惜しいところで緑の棒が入らないので困惑して(些細な問題で、この件で問い合わせたのでは無い)、本日、若干時間が出来たので職場から少し離れた大型の100円ショップへ。というのも、職場近所の量販店で探したのですが、適当なトレーなりケースが見当たらなかったからです。
　便利な世の中で、ほぼぴったりのケースがありました。2種買って220円也。オリジナルと同様に蓋がパチンと閉まるやつ。
　日本独自のZOMETOOLのセットではこの詰め込み問題は起こりません。さすがと言ったところか、本質とは離れた細かいことにこだわっている、というか。

2986. ZOMETOOL買い増し^2

　新型コロナ感染症に関して政府から新たな要請が出た、みたいです。が、多少私は混乱していて、たしか最初はこちらで行くことだったのでは無いかと。再び、今は何を言っても不謹慎に見えるので、これ以上言うのは止めます。

　今回もZOMETOOL(ゾムツール)の話題で申し訳ないのですが、こういうのは一気に言ってしまわないと、途中で飽きたら、はいさようなら、ですから。

　STEAMと呼ばれる現状で手に入る全ての長さの棒(16種)が入ったキットがあって、しかし、専用の解説書は無いみたいです。設計意図と取り扱いを要領よくまとめたManual 2.3(英文)と、緑の棒の追加セットに入っている緑の棒の説明書(英文)が全てのようです。教育者向けの解説書は邦訳(電子版のみ)が手に入ります。英文の詳しい解説書というか参考書が別にあって、それは今は取り寄せ中です。それとは別に、我が国の愛好家がまとめたSTEAMの文章があって、これも取り寄せ中。
　こういうのは、正解を知る前にあれこれ考えるのが楽しいので、続けます。したがって、本項の引用はご注意ください。

　少し前に紹介したように、12個の正5角形、20個の正3角形、30個の長方形の穴が空いている直径1.8cm程度の球は一種しかなく、角度はこれが決めています。棒は基本が10種で、青(B)、黄(Y)、赤(R)は黄金比のシリーズになっていて、用途が微妙に違うので違う長さのシリーズになっています。
　緑(R)と半緑(HG)は後に追加されたようです。というのは、最初の設計のままでは正四面体と正八面体という、極めて大切な三次元幾何学図形が出てこないからです。なぜか立方体は青の棒で出てきます。緑の棒を使うと、正四面体と正八面体だけで無く、この手の幾何学では極めて大切な対称立体がいくつか出てきます。なので採用。
　しかし、それでも正8角形が出てきません。正8角形は正八面体対称性では普通に出てくるので、当然、ZOMETOOLで検討されたようです。その棒の名称があるくらいなので、試作まではされた感じです。しかし、あまりに他に応用が利かないので発売はされていません。コンピュータグラフィックスでシミュレーションした仮想ZOMETOOLには入っているみたいです(未確認)。

　もちろん、現実に存在する立体模型キットなので、自由に造形して構いません。まあ、世の中には上には上がいるというか、とんでもない強者がいて、私の想像する範囲など、とっくに検討されているみたいです。今から必死で追試する予定。

2985. ZOMETOOL買い増し

　本日も昼食のために職場近所の量販店に。やることが無いらしい大学生、または大学受験生と、多分、小中学生がいるので家庭を追い出された高齢男性と高齢女性。混んではいませんが、なかなかシュールな光景です。…、私もその高齢男性の一人ですが。

　少し前に紹介した幾何学的立体模型の教育玩具、ZOMETOOLはwebで不思議な図形を複数確認(大20面体の断面図。ウサギなどのポリゴン表現)したので買い増ししてしまいました。
　揃えると結構な価格の物で、私事ですが、電子カメラとかホームシアター用のオーディオアンプとかの購入計画がすっ飛んでしまいました。価格的に、決して本ブログをご覧の皆様にお勧めは出来ません。立体図形模型に興味のある方は御勝手に。
　自分の勉強にはなるものの、ZOMETOOLに関心のある人々はものすごい硬派が含まれていて、並みのことではこの界隈で受けるような作品は作れないです。自分で満足している分には楽しいです。

　今回揃えたのは初期計画には含まれない緑(G)と半緑(HG)の棒で、長さが3種ずつあります。つまり、G0、G1、G2、HG0、HG1、HG2と呼ばれる6種。半緑(HG)の棒は以前に画像で紹介した白色では無く、本物は青緑に彩色されていました。基本の10種(B0、B1、B2、Y0、Y1、Y2、R00、R0、R1、R2)もわんさか来ました。もちろんZOMEボールもたくさん。
　STEAMと呼ばれるセットで、大きな収納ボックスが付いてきましたが、何と、素直には全部品が収まりません。いかにも米国製で、世界最先端で超精密で極めて堅牢で確実なのに、このがさつな感じは何というか。日本では誰も真似できないと思います。

2984. PS5へ

　先月(2月)末にあると噂されていたPS5関係の公式からの追加発表は無く、その代わりなのかPS5の予想性能の新たなリーク情報が一部で出回っているようです。
　とはいえ、普通に噂されている範囲で、ネイティブ4K(4K/HDR/60Hz)が完全サポート、8Kと4K120Hzは画像技術で実現のようです。CPU/GPUはフル4K + VR程度。当然、seriesXも同程度。
　なんかしつこくデマと分かっている従来の数値を書き込む人がいて、多分、昨年夏のPS5開発機はそれよりもずっと高性能なのだと思います。

　その噂情報の中で、光線追跡法はハードの追加での対応はPS5もXboxも予定していて、特にマイクロソフトが精力的だ、とのこと。おそらく本体系はこれで決まりの感じがします。私はこの部分はとても楽しみにしています。
　というのも、パソコンにわくわくしたのは、黎明期と、その次は80486の時代にCD-ROMとFM音源が来た頃から、PentiumIIのころの画質と音声がどんどん向上していた時代と思います。私の経験です。
　それでも、それがこなれて当然になったのはここ10年ほどのことと思いますから、パソコンの発展は続いていた訳ですが、わくわく感は無くなって行ったと思います。今は一部のマニアを別とすれば、Windows系は堅牢なのを選ぶか、安いのを選ぶかの感じ。

　もしかしたら、ですけど、再び豪華な感じのするパソコンが出てくるような気がします。どんな形になるのかは、ちょっとしたお楽しみです。

2983. 新8Kテレビ

　本日、職場の近くの量販店に行ったら、数日前まで85型の4Kテレビが置いてあった場所に、明日発売予定の85型の8Kテレビが置いてあって、8Kソースの絵が出ていました。
　解像度感は4Kとあまり変わらないと思いましたが、何しろ画面がでかい。うんと広くなった4Kの感じです。多分、見る距離の違いと思います。

　ホームシアターのMOOK等では実際の部屋の様子が紹介されていて、こうしたテレビやオーディオ用の別室を作るような家庭では、85型程度は普通に置けるみたいです。
　うーむ、よく見てみたいのですが、身近なところで見られるようになるのはいつになるのやら。しばらくは、その量販店の展示を時々見に行くことになるのかも。

2982. 黙示録

　昨日夕から本日午前にかけて、私の職場ではちょっとした悲喜劇があって、事務方は各方面との連絡で大変だったようです(徹夜まではしていない)。こちら技術系は指示通り動くだけなので、難しくは無かったです。そう、新型コロナ感染症の流行に伴う措置。曜日の関係でおそらく政府から第三の指示が来たみたいです。

　なぜこんなに統率が取れてうまく行っているのかは、もう正解をネットで言っている人がいるみたいで、言われてみれば当然なのですけど、今言葉で表現するとものすごく不謹慎な感じがするのでパス。全部が私の憶測ですし。

　私の方は花粉症の季節で、昨日は兆候が出ていたのに薬を飲み忘れたので、大変なことになってしまいました。本日は　ちゃんと薬が効いてOK。そのうち、かゆみ、くしゃみから鼻閉に移行するので、そちらの薬も本日手に入れて、と。本日も世の中は順調です。

2981. 小さな学会

　少し前に取り上げた、ZOMETOOLの愛好者の内輪の会合があるらしく、たまたま偶然、例の古典幾何学本の翻訳計画とわずかに絡んでいるので行くつもりです。会員制で、申し込んだら、会員番号が何と400番くらい。その会は17年の歴史があるらしく、まあ、こういうのはあれです、小規模な学会というのはこの程度です。

　なぜそんなこと知っているのかは、本ブログの趣旨と合わないのでパス。権威のある大規模な「学会」は数千人の会員の規模で、しっかり会費を取っていて、学会大会が年に1回は必ずあって、学会雑誌を発行していて、その道ではそれなりの権威。なのが普通の方のイメージと思います。
　それは間違ってはいないのですけど、元来の学会は愛好家の集まりで、連絡手段はお互いの手紙で、現在ならばホームページを用意すると思います。こうした小規模の学会は、運営はその方面で商売している会社とかの社員がほとんどボランティアでやっている。だから応答は早いですけど、過度の期待は禁物です。こちらがある程度の知識と技量を持っていないと、ものすごくつまらないのが普通です。

2980. ひな祭り

　本日、3月3日はひな祭りなので、女性アイドルということか、PS4のアイマスゲーム、ステラステージでもそれにちなんだPVが上がっていて、ややお祭り気分です。ほとんどが男性Pなのは秘密です。

　本日もお昼に職場近くの量販店に行きました。多分、臨時休校のためでしょう、書店などには親に連れられてきた小学生みたいなのがちらほら。ゲームコーナーにはおらず、こちらにいたのは男性高齢者で、孫の相手でもさせられている感じ。要するに、普段と客層がやや異なります。

2979. 山場

　先週の政府発表を信じるのなら、現在が山場の真っ最中です。我が国での新型コロナ感染症の流行のこと。起こったことと言えば、…私の通勤路では報道の通り。我が社もしっかり対応していて、とは言っても大仰なものではありません。政府通達を淡々と実行しているだけ。
　これ以上何か発言すると現時点では不謹慎になるので、感想を書き込むのはずっと後にします。

　本日も昼食と称して近くの量販店へ。liteで無い方のswitch不足(販売のこと)はそのままみたいです。他はあまり変わりなし。確かに今年初めに比べればやや閑散としていて、食事の時も他人と2m以上は離れていて、こちらも防疫体制ばっちりの感じ。手をアルコール消毒して、と。
　それなりの大型書店に移動。先週に雑誌系は買ったから、本日は見るだけになりました。

　新書版の科学系啓蒙書の新刊で、四元数と8元数に触れた本があって、内容は正確に見えましたからお勧めです。ただ、私が知りたかった突っ込んだ内容はとても無理なので、書名は書きません。
　四元数の方は19世紀末の雰囲気と相まって、いろいろあります。キーワードを並べると、2次形式(多次元の2次関数)、群論(結晶群)、テンソル解析(線形代数)。微積分関係ではLie群ですが、四元数がらみの所は入門時は難解と思います。

2978. ゲーム機の音響

　少し前でしたか、今度のPS5に搭載予定のVRの音響用ハードと同様のハードをシリーズXでも搭載するとのアナウンスがあったと思います。私はそのように解釈しました。
　Xboxの方はVRには現時点では消極的な姿勢と表明していたようですけど、しっかり押さえるべき所は押さえています。私は朗報と思いました。

　私の想像では中身はいわゆるFIRフィルタで、専用のICチップと言ってもそれほど高価では無く、うまく行けば内蔵も可能でしょうから、ゲーム機の価格を押し上げることは無い、と思います。リアルタイムの係数の計算は今のCPUなら普通にこなせると思います。
　ただ、ヘッドホンやアンプなどはそれ相応の高級機が欲しくなるところで、私が期待するのはむしろこちらです。

　国内ではソニー初の8Kテレビが今週末に発売予定です。先週、職場の近所の量販店に行ったら、ソニーの大きさは同じ85型の4Kテレビのそばに、予約用でしょうか、220万円の値札が表示されていました。この大きさは店頭でも存在感があります。どこにどれだけ普及するかがちょっとした見ものです。