ふむ、写真を掲載しないで良かったです。昨日作ったZOMETOOLによる螺旋モデルは実は長さが間違っているところに無理矢理棒を突っ込んだので、少々変形していたのでした。
本日の朝に気付いて慌てて分解しました。ZOMETOOLはプラスチックで出来ているので、少々の間違いでは元の形に戻りますが、あまりに長時間続けると部品が変形してしまうと思います。
いまさっき作ったのは大丈夫とは思いますが、かなり複雑な形なので掲載してもとっさには分からないと思えるので、申し訳ありませんがパスさせていただきます。
vZomeと呼ばれるコンピュータグラフィックスによるZOMETOOLのシミュレータがあって、無料で手に入ります。これで確かめれば良かったのですけど、かなり豪勢なソフトで複雑で、しばらく練習しないと使いこなせない感じ。
なので、表計算ソフトで座標計算させて、まあこれで最初の6桁(十進数で)くらい合っていればまず大丈夫だろう、と考えて準備を始めました。しかしZOMEボールには穴が12+20+30の62個もあって、さらに緑棒で60個(12穴×5種)の角度が追加されます。これじゃ物量の関係でかなりプログラムに時間がかかると思いました。
ひょっとしたら興味が湧いた方がおられるかも知れないので、必要なデータを以下で記述します。まずは下方にある写真をご覧ください。ボールの穴の角度、つまり球の中心からの中心角を強調したZOMETOOLによる模型です。
左が青棒(B)、黄棒(Y)、赤棒(R)で構成されたZOMETOOLのオリジナルの中心角。
正20面体と正12面体の対称性に関連しているので、よく研究されています。この3つの中心角には、φ(ギリシア文字phi: ファイ)、χ(chi: カイ)、ψ(psi: プサイ)が割り当てられていて、棒の端点のZOMEボールの中心点をWで表すと球の中心角は、
φ#5 = ∠RWB = λ = (1/2)arctan(2) ≒ 31°43′3″ ≒ 31.717°
#5は正二十面体対称性、つまり5回回転軸(5回軸)でのφであることを示します。
λ(lambda: ラムダ)は31.717…°をいちいち書くのが面倒なので記号で表します。以下、μ(mu: ミュー)、κ(kappa: カッパ)も同様。
arctanは逆三角関数の逆正接関数です。通常の三角関数が角度から長さを返すのに対し、逆三角関数は長さから角度を返します。普通に逆操作(数値表を左→右、ではなく左←右に読んだ感じ)です、念のため。
′は角度の単位の分(ふん)で1/60度(°)、″は秒(びょう)で1/60分 = 1/3600度です。
球の中心角を続けます。
ψ#5 = ∠BWY = μ = (1/2)arcsin(2/3) ≒ 20°54′19″ ≒ 20.905°
χ#5 = ∠YWR = π/2 - λ - μ ≒ 37°23′
ZOMEボールの中心点Wから単位球面(半径1の球面)との棒の交点もそれぞれB、Y、Rで表すと、球面三角形BYRの3個の角の角度は、
∠RBY = π/2 = 90°、 ∠BYR = π/3 = 60°、 ∠YRB = π/5 = 36°
となって合計が180°を超えてしまいます(球面過剰)が、球面三角形なので全くOKです。
後は、ZOMEボールの穴の配置を考えると解けるはずです。
具体的に計算するのは結構難しいですけど(多分、球面三角法の余弦定理の知識が必要)、数学好きの高校生なら、ひょっとしたら中学生でも計算できると思います。
緑棒(G/HG)の話はかなりややこしくなるので次項に続く、…予定です。
