読書ノート 高木貞治著 「近世数学史談」 岩波文庫

ガウス

18世紀末ー19世紀初めの近世数学興隆記　ガウス、コーシー、アーベル、ヤーコビらの軌跡　第4回

１）　近世数学の誕生　ガウス （その１）

1796年3月19歳のガウスが、正17角形のの作図法を思いついた事件（ガウス日記第1項）から本書は書き起されます。ユークリッド原論第Ⅳ巻には円と三角形や多角形をを外接。内接させる作図法が述べられています。円に内接する正三角形、正5角形の作図法がていりとして示され、そしてさらに辺を二等分してゆき、正三角形（辺角＝120 °）から、6,12,24,48…角形、正5角形（辺角＝72°）から、10,20,40 …角形が作図できます。作図と線分の比例関係という解析により線分の作図ができます。後世に正15角形（辺角＝24°）が追加されました。これ以外の正多角形や奇数の素数からなる正多角形の作図は特に難しく、2000年以上誰も手を付けずに不可能と言われてきましたが、ガウスはできるものもあると示したのです。この一般かの理論は円周等分論、すなわち方程式x^n-1=0の、n=17の場合平方根によって解き得ることに基づきます。辺角φとすると、360＝17φである。三角法の定理を繁用して、ガウスは3つの2次方程式を書いて正17角形の作図は可能であると断じたのだ。これは幾何の問題ではなく代数方程式の問題であった。伝説によると、正17角形の作図法の発見で、ガウスは数学の道に入ったとされる。微積分法の発見をもって近代数学の起点とする見解に異論のある人はいないだろう。アルキメデスからニュートンの間の空白は実に長かったが、ニュートン、ライプニッツらの18世紀の数学者の先行期間の後をついでベルヌーイ兄弟、オイラー、ラグランジェ、ラプラースなどの後継者の活躍があった。微積分法の拡充が一段落すると数学の行き詰まりの時期があった。これ打破したのが、18世紀末から19世紀初めに再び急速な数学の進展があった。この不連続点から「近世数学の時代」と呼ぶ。ニュートンを近代数学の開基というなら、ガウスは近世数学の第一人者というべきである。ガウスは19世紀前半を通じて時代を超越した一世の秦斗であった。カール・フリードリッヒ・ガウス（1777－1855年）はドイツのブラウンシュワィヒに生まれ、1798年ゲッチンゲン大学卒業、1799年代数方程式の根の証明で学位を取得、1807年－1855年までゲッチンゲン大学教授兼天文台長を務めた。1799年から1807年静かに研究にふける時間を得て、この時期に数学上の偉大な業績が集中するか、開始された。18007年以降の大学教授兼天文台長時代は貧しく多忙であったという。1807年以後ガウスは応用数学に忙殺された。1812年超幾何級数論は、応用論からしても摂動論の展開が解決された。1814年ガウス積分の近似計算法も摂動論に寄与した。1818年摂動論には算術幾何平均論の端緒となった。1821年最小二乗法、1827年ガウスの曲面論は測量の必要から出たものであるが、三角形の内角の和が2πになるかどうという平行線の公理を確認したのである。1839年のポテンシャル論はで磁気学研究の賜物である（ガウスの名は磁束密度の単位となった）　ガウスはその数学思想の豊富さに比べて発表することが少なかった。小ｒは慎重主義、厳格主義（完全主義）からくるのであるが、今の研究成果のプライオリティ、業績発表至上主義からすると理解できないようである。何十年か後に誰かが定理を発見したと発表すると、それは何年も前に自分が発見していると言い出すガウスには、数学会の人々は閉口したらしい。1797年ガウスが20歳の時発表した「整数論」D・Aは驚愕の完成度を持つ作品であるが、教授の職に就いてからは時間に切り刻まれ、執筆に十分な時間だ採れなかったというのも一因かもしれないが、意満つるまでは発表しない主義で、新に革新的な内容（例えばガウスの反ユークリッド幾何学）は発表すると喧々諤々の世間の叫喚を呼ぶことを恐れたきらいがある。最小二乗法のプライオリティ（先発権）を巡るガウスとルジャンドルの悶着、1827年ヤコービが発見した楕円関数論の定理をガウスは1808年に発見していたこと、1826年アーベルがレムニスケート関数の幾何学的等分法を発見したこと、ヤコービの楕円関数論の発見などが、すべてガウスの文書に先行権があるというスキャンダルである。いまなら雑誌に発表された論文がすべてであり、個人が所有し世間で見ることはできない文書とか私信とかは証拠にはならない。とにかく昔はのんびりしていたと言わざるを得ない。

（つづく）

読書ノート 高木貞治著 「近世数学史談」 岩波文庫

18世紀末ー19世紀初めの近世数学興隆記　ガウス、コーシー、アーベル、ヤーコビらの軌跡　第3回

序（その３）

本書　高木貞治著　「近世数学史談」はガウスの関数論とその系譜が主題である。高木氏は「コーシーの1825年の虚数積分に関する研究をもって、今日の関数論の起源とするという一般に流布する見解に反対するものではない」としながら、1811年12月ガウスからベッセルへの手紙に述べられた、1851年にコーシーが発表した関数論の基本定理「コーシの積分定理」を、なんと40年前にガウスが発見していたことを高木氏は強調し、感嘆しているのである。だからガウスが公表していれば関数論の発展を早めたかどうかは不明である。ガロアの「積分論」のところ（本文172頁）で、研究成果の発表についてこういっている。「アーベルもガロアも処世術で失敗した。時代を超越するにも程合いがあって、20－30年以上の超越は危険である。数学会から潰されるだけである。ガウスのように世間を相手にしないで、意識いたかどうかは別にして公表しないでいたのである」という。著者は「ガウスが歩んだ道は、間違いなく数学の進む道であった。その道は帰納的である。特殊から一般へ」と主張する。数学の発見が帰納的になされるか、演繹的になされるかといえば、もちろん計算と記憶が得意なガウスにとって間違いなく機能的である。定理から出発する演繹的方法は既成数学の学習にのみ通用する。演繹からは新しい物は何も生まれない。ガウスにとって最初は膨大な数値計算によって、式の形が浮かんで句、そのためには代表的数表は記憶している必要がある。吉田武著「虚数の情緒」（東海大学出版部）にも同じことが言われていた。数値計算の過程で2π(6.28・・・・・）が姿を現したので、この計算結果の式にはπが絡んでいるとみなす記述があった。数字の羅列から超越数が姿を現すというのである。こうしたガウスにおける数学創造の過程を調べた高木氏は、同時代のフランスの数学者や、1世代若いア＾ベルやガロアを見て、数学者の個性を見て取る。「アーベルの方法は着想においてきわめて簡単である。それはオイラーが三角関数においてなしたことを、最も自然に楕円関数の上に拡張したのであった。ガウスのような難渋な帰納や探索の影もなく、すらすらと進行したのはアーベルの非凡な天才による」という。同じように数値計算が得意なガウスとフーリエを比較するとまた違った個性が見られる。ガウスは数値の羅列は趣味の対象だが、フーリエでは真剣にやっている。いつもガウスとの比較で割りを食っているのがルジャンドルであるが、ルジャンドルは新旧交代の時期にあって時代を代表する鮮やかな立場をに置かれたのであると。すなわち高木氏は、本書の扱う19世紀の始まりの30年を、新旧の数学が交差する転換期と捉えて、登場する群像にスポットライトを照らして功績を褒め称える役を果たした。なかでも高木氏は「ガウスやアーベルの肖像の鮮やかさは忘れがたいと」結んでいる。高木貞治氏の「類体論」の位置づけをしておこう。高木氏は帝国大学理科大学において1895年より関数論ができる前の楕円関数論を学んだ。楕円関数論が、ガウス、アーベル、ヤコビ二よってつくられる様子が本書の中心的なテーマである。高木氏は藤沢力太郎助教授の指導を受けて、高木氏の生涯の研究テーマとなったアーベル体論からスタートした。そして1898年に3年間ドイツ留学を命じられた。ベルリン大学から1900年ゲッチンゲン大学に移った。ドイツで高木氏は「25歳になって、数学の現状に後れること正に50年」を痛感したという。ゲッチンゲン大学でヒルベルトの指導を求めたが、ヒルベルとはすでに数論から離れて数学基礎論や物理学に興味を移していた。「レム二スケート関数に関する虚数乗法」についての論文を完成して日本へ持って帰った。高木氏の研究の中心は、代数的整数論であり、その中で類体論、または相対アーベル体論と呼ばれるものであった。「代数的整数」という体の研究である。代数的整数というものは、±1、±2、±3…という有理整数を係数とする代数方程式で、最高次の係数を1とする方程式の解となる複素数（実数を含む）のことである。代数的整数θの有理数係数分数式の全体Q（θ）の形の集合ｋを代数体と言う。この代数体ｋまたは整数環Iの性質が研究対象であった。ガウスは4次の「平方剰余相互法則」を考えるにあたり、ガウスの整数m+ni（m,nは有理整数）を導入した。割り切れるか割り切れないかの判定にルジャンドルの記号を使う。ガウスの整数には素因数分解の一意性が成り立つが、クンマーは円分整数には一意性がないことを発見した。これに対しデデキントは一般の代数体kの整数環Ｉにおいｔｗ、数の整除関係をイデアル（Ｉの部分集合）の整除関係で置き換えることで、代数的整数論の基礎を築いたとされる。代数体kの元を係数とする代数方程式の解全部をkに添加してガロア拡大という代数体Kができる。Kの自己同形群をガロア拡大K/kのガロア群という。クロネッカーはＱのアーベル拡大体はすべて円分体に含まれることを発見した。クロネッカーはアーベルの逆が成り立つことを予想したが、この予想を「黒熱価の青春の夢」と呼ぶ。このクロネッカーの問題を受け継いだ人々は、ヴェーバー、フッター、高木、ハッセ、ドイトリンクなどがいる。ヴェーバーは虚数乗法により生じる虚2次体のアーベル拡大体をモデルにして、アーベル拡大体で「類体」を定義した。そのごヒルベルトはＫがk上で不分岐という性質を持つ「絶対類体」という特別の体を用いる提案をした。高木はヒルベルトの提案を退け、分岐する場合も入れた「相対アーベル数体の理論」を1920年に発表した。そして高木は「代数体kの任意のあーっべる拡大体Kは、kのある合同イデアル群に対する類体である」ことを証明した。これにより類体は特別のアーベル拡大体ではなく、アーベル拡大体一般を含むことになった。翌年アルティンは高木の理論を一般相互法則に精密化し、1927年証明に成功し類体論を完成した。高木氏の研究の中心である類体論と虚数乗法は、ガウスとアーベルの仕事を受け継ぎ発展させたのである。

（つづく）

読書ノート 高木貞治著 「近世数学史談」 岩波文庫

18世紀末ー19世紀初めの近世数学興隆記　ガウス、コーシー、アーベル、ヤーコビらの軌跡 　第2回

序（その２）

高瀬成仁著　「人物で語る数学入門」がその書の後半で語るガウスに始まる代数的数論は、本書高木貞治著　「近世数学史談」の外観を与えると思われるので概略を紹介する。
『数論にはフェルマーとガウスの2つの流れがあります。フェルマーは直角三角形の基本定理によって素数を2つの平方の和に分けられる条件を求めました。それはラグランジュに受け継がれ、「素数の形状」についての理論を展開しました。一方ガウスは、素数と素数の間に成り立つ相互関係という数論を展開しました。ガウス（1779－1855年）はドイツの数学者、天文学者、物理学者である。彼はリーマンやデデキントらを育て、近代数学のほとんどの分野に影響を与えたと考えられている。19世紀最大の数学者の一人である。ガウスは16歳から「数学日記」を書き始めたという。1799年（20歳）で「代数学の基本定理」で学位を取りました。1801年に「アリトメチカ（数の理論）研究」という著作を刊行しました。フェルマーは4で割ると1が余る素数は２つの平方の和に分けられるという「直角三角形の基本定理」を主張しました。ガウスの合同式を使うと、フェルマーの直角三角形の定理は、a≡1(mod.4)　と書けます。すなわちa-1は4で割り切れるということです。一般にa≡b(mod.c)は「aとbはcを法として合同である」といいます。法ｃを共通とする２つの合同式についても、加減乗除の演算規則が成立します。さらにガウスは１７歳で「平方剰余相互法則の第１補充定理」でx^2≡±１（mod.p)によって、直角三角形の基本定理が成り立つことを裏付けました。次いで「平方剰余相互法則の第２補充定理」x^2≡2(mod.p)?証明して、あわせて「平方剰余の理論における基本定理」と呼びました。平方剰余とは、pを奇の素数、合同式x^２≡a(mod.p)が解けるとき、この合同式を満たす整数xが存在する場合は、aは「pの平方剰余」と呼びます。pとqを法とする２つの２次合同式　①　x^2≡p(mod.q) 　②　x^2≡q(mod.p)が同時に解けたり解けなかったりする特定の「相互依存関係」に関心を寄せました。ガウスが見つけた相互関係は具体的には、①pとqのうちどちらかが４を法として１と合同なら、合同式は同時に解けるか、解けないかのいずれか、②pとqがどちらも４をｈぷとして３と合同なら、合同式①と②はどちらか一方は解けるが、もう一方は解けない、というものでした。これらの相互関係をルジャンドルは記号を使って、(a/p)=+1(解ける）、(a/p)=-1(解けない）とすると、、解けるケースと解けないケースの繰り返し演算規則が成立し、平方剰余の相互規則、第１補充定理、第２補充定理の関係式を表現しました。ラグランジェ（1736-1813年）は「変分法の領域に属する等時曲線」の問題を研究していましたが、ホイエンスが等時曲線はサイクロイドであることを示しました。ルジャンドル（1752-1833年）は「不定問題を整数を用いて解くあたらしい方法」1770年で、フェルマーの課題「ay^2+1=x^2（aは正の数）をみたすxとyを求めよ」という問題を、オイラーの連分数の手法により必ず解を持つことを示しました。こうした不定問題を解くことが「数の理論」（数論）と見なされていました。直角三角形の基本定理は「4n+1という線形的形状を持つ素数は、つねにx^2+y^2という平方的形状を持つ」と言い換えることができます。ガウスは不定問題の2次形式A=Bt^2+Ctu+Du^2が整数解を持つのは若干の特別な場合のみであると考えていました。ラグランジェは完全な決定を行いました。奇数の素数は（２を除いて素数は全部奇数である）「4n+1型」と「4n+3型」に区分けされます。ラグランジェは「4n+3型」の素数について一般理論を構築しました。ルジャンドルは解ける解けないケース別けにつてルジャンドルの記号を導入して相互法則を提案しましたが、4n+1型についてルジャンドルは証明に成功しませんでした。ルジャンドルの「相互法則」とガウスの「平方剰余」が組み合わされて今日の数論の「平方剰余の相互法則」が出来上がったのです。ガウスはさらに３次以上の剰余の理論　x^n≡a(mod.b)の研究を開始したのは1807年以降のことです。1813年ガウスは4時の冪剰余相互法則を発見したといわれています。しかし論文となるにはさらに15年かかりましたが（1828年）、証明はついていません。４次の冪剰余相互法則は、整数域では見つからず複素数に及びました。ガウスはこれを「ガウス整数」と呼びました。ガウスは虚数という呼び名がそもそもパラドキシカルであって、正の量を順量、負の量を逆量、虚の量を測量と呼ぼうと提案しました。その後、代数的整数論という理論が生まれ、ヤコビ、ディリクレ、クロネッカー、クンマー、ウエーバー、ヒルベルト、と続き、ヒルベルトのところに留学した高木貞治は「類体論」を生みました。

（つづく）

読書ノート 高木貞治著 「近世数学史談」 岩波文庫

18世紀末ー19世紀初めの近世数学興隆記　ガウス、コーシー、アーベル、ヤーコビらの軌跡　第1回

序（その１）

高木貞治氏は「数学史は各人各様で面白い史論でなければならない」という。私は先日、高木氏の本書よりも、もう少し長いレンジと広い数学分野に関する数学史を著した高瀬成仁著　「人物で語る数学入門」（岩波新書　2015年5月）を読んだ。高瀬成仁氏は数学者高木貞治について、高瀬正仁著　「高木貞治　近代日本数学の父」（岩波新書　2012年）を著している。だから高木貞治氏の紹介は省略する。その本の中で高瀬氏は高木氏の最大の業績である「類体論」を次のように述べている。『ヒルベルトは1893年「数論報告」を行い、ガウス、クンマー、ディリクレ、クロネッカー、デデキントと続くドイツの数論の歴史を総括し、困難な壁にぶち当たっている代数的整数論の展開に「類体論」のアイデアを提出した。1998年ヒルベルトは2つの論文、「相対二次数体の理論」、「相対アーベル数体の理論」を書いた。「類体」という言葉はヒルベルトの創出ではなく、ウエーバーが楕円関数の虚数乗法により供給される特別なアーベル数体を「類体」と読んだのが始まりである。ヒルベルトは楕円関数の虚数乗法の理論と類体論を基礎にすると、「クロネッカーの青春の夢」の証明が出来るかもしれないと考えた。 アーベルの定理とは5次以上の高次代数方程式の一般的解法は不可能であるというものであるが、あらゆる次数について代数的解法を可能とする特別の方程式がある。この種の方程式解法は、その根の間にあるある種の関係に基づいているというアーベルの方程式論の根幹が、ガウスの円周等分方程式（オイラーの周期関数、複素三角関数、巡回的関係）からきているのである。クロネッカーは係数が整数であるならアーベル方程式は円周等分方程式であると看破していた。ここにアーベル方程式とは、一般的記述法で表す代数方程式のことではなく、このような関係を持つ方程式の類の総称に過ぎないことに注意のこと。1901年高木は「複素有理数域におけるアーベル数体について」という論文を書きヒルベルトに見せた。「ガウス数体上の相対アーベル数体はレムニスケート関数（楕円関数の一例）の周期等分値により生成される」というクロネッカーが1853年に提出した定理に高木貞治は証明を与えることができた。そして1901年9月高木貞治は帰朝し、26歳で東京帝大の数学科第3講座代数学の助教授に就任した。1904年（明治37年）より日露戦争が始まり、第1次世界大戦で欧州から論文が入手できなくなるまでの10年間ほど高木は眠ったかのように空白期が続いた。第1次世界大戦で眼が覚めたかのように、高木は類体論の研究を再開する。 ヒルベルトの枠を超えて、「分岐する類体」を考えるとアーベル体は類体であると了解される。これが高木の定理である。すべてのアーベル体を把握して、一望のもとに観察することが出来たのである。高木貞治氏の類体論は1920年の「相対アーベル体の理論」と1922年の「任意の代数的数体における相互法則」から構成された。前論文は「クロネッカーの夢」の解決であり、後者の論文はガウスからクンマーに継承された、冪剰余相互関係法則を確立した。高木貞治は1920年シュトラスブルグの第6回国際数学者会議の参加して「類体論」を発表した。高木の類体論は1927年「アンチンの相互法則」に受け継がれ、「高木・アンチンの類体論」と称された。「高木・アンチンの類体論」で高木の名声は欧州で確立したといわれ、その影響はフランスのシュヴァレー、エルブランにバトンが渡された。』
高木貞治著　「近世数学史談」は、高瀬成仁著　「人物で語る数学入門」の中ではガウス以降の近代数論の流れを描いていると言える。なぜこうなるかというと、高木氏は類体論という代数的数論の研究者であり、数学史研究家ではないからだろうと思う。時代は19世紀の始め、対象はガウス以降の近代代数的数論である。範囲は狭く、時代は短い（1世紀以内）、つまり系統的ではないが、高木の生で感じ取れる範囲の史論である。だから内容は極めて専門的で、登場する数学者の呼吸が聞こえてきそうなヴィヴィッドな話の展開である。数学史家の書く数学史と数学者の書く数学史の基本スタンスの違いであろう。

（つづく）

読書ノート 高瀬正仁著 「人物で語る数学入門」 （岩波新書2015年5月）

近代の数学者らが格闘した曲線、関数、微分、数論の問題とギリシャ数学 第9回　最終回

７）　無限小ーコーシー、デデキント、ディリクレ、リーマン、カントール

曲線の微分積分は無限小という概念をその中心においていました。ラグランジュとコーシーは、無限小を排除するため、関数の一般概念から出発する連続関数論を基礎にして展開を図りました。オイラーの関数は代数曲線と超越曲線に別れますが、ラグランジュは1797年の「解析関数の理論」において、関数を無限級数で表す理論展開を試みました。級数が収束するなら、x=aにおけるテイラー級数展開の関数f(a)=Σ(ｆのn回微分(a)/n!)(x-a)^n　（a=0ならマクロ―リン級数）はあらゆる関数に適用出来て、無限個からなる多項式になります。ラグランジュの級数展開は今日の微積分で「解析関数」であれば可能ですが、オーギュスト・ルイ・コーシー（1789-1857)は級数の収束と元の関数になるかどうかに疑問を抱き、関数の微分を定義しました。これが我々世代が高校の時学んだ微分の定義です。dy/dx=lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/hという定義です。極限値を暴関数と呼びます。今になって考えると近似的な考えで、式をバラして展開しh及び高次のhの付く項をゼロとするやり方です。これとライプニッツの微分演算規則を使えば、どのような関数でも微分できます。ゼロで割るという考えは回避できます。今日ではε―δ（イプシロンーデルタ）法が用いられます。関数は実数域区間で定義されているとして、「不等式|x-a|＜δをみたすすべてのxにたいして、不等式|f(x)-f(a)|＜εが成立する。この時関数はaにおいて連続であるといえます。この考えは、数値解析ニュートン・ラプソン法の基本となっています。積分については古代ギリシャのアルキメデスは放物線の求積問題で「取り尽くし法」を考案し、無限級数で面積の和を求めました。（ギリシャ時代には無限という考えはありませんので有限回で十分な値が得られました）　コーシーの定積分の定義も取り尽くし法の一種ですが、小区間の長方形に分けて、Σf(xi)(xi+1-xi)を求めます。区間幅が(xi+1-xi)、高さがf(xi）とする長方形の面積の和（コーシー・リーマンの和）です。コーシーはこれの極限値を∫f(x)dxと表しました。リーマンは必ずしも連続とは限らない有界関数の定積分を考察しました。リヒャルト・デデキント（1831-1916)は、コーシーの連続関数の根幹には「短調に増大し、上方に有界な数列は収束する」という認識は幾何学的直観に助けられていて厳密ではないと考え、連続性の基礎づけを行った。1858年デデキントは「有理数の切断」に基づいて「数」の定義を考えました。1872年「連続性と無理数」で数の連続性の本質を厳密に定義しました。デデキントは、基礎解析の算術化、および現代の代数的整数論を構築し、環、加群、イデアル、体、ベクトル空間といった概念を生み出した。また、彼はガウス、ディリクレ、リーマンと共同して活躍した。実数の概念を明確化するという哲学的な作業の中で、切断という概念を導入した事が特筆される。ディリクレ（1806-1859)は「数xに対して数yが対応する」関係自体が関数であるとしました。つまり一価性条件を定義に加えました。これには関数をフーリエ展開（三角級数）するためです。有理数の時ある定数に等しく、無理数の時は他の定数に等しいとする「ディリクレの関数」と呼ばれました。複素解析の分野はオーギュスタン＝ルイ・コーシーが独力で研究していたが、ベルンハルト・リーマン（1826-1866)は、1851年コーシー＝リーマンの微分方程式を複素関数の定義として、さらに写像やリーマン面など新たな成果を組み込むことで複素解析の基礎づけと共に理論的な発展をさせた。1854年「幾何学の基礎にある仮説について」では、初めて多様体の概念を導入して、リーマン幾何学を確立した。これは後にアルベルト・アインシュタインによって一般相対性理論に応用されている。ゲオルグ・カントール（1845-1918)は無理数の定義によるフーリエ級数の収束性をデデキントと議論し、初期集合論の発展のきっかけとなった。

（完）