読書ノート C・リード著 彌永健一訳 「ヒルベルトー現代数学の巨峰」 岩波現代文庫

20世紀を切り開いた「現代数学の父」ヒルベルトの評伝　第3回

序（その３）

（10の問題　つづき）
第6問題：物理学の諸公理の数学的扱い　「物理学は公理化できるか。」
ヒルベルトは「確率と力学」を物理学者による理論立てを数学者によって検証することによって仮説を立証するという一連のシステムの構築を望んでいた。 そのためこの第六問題は（確かに数学の範疇ではあるが）数学的問題を逸脱した部分が多く、数学と言うよりむしろ物理学に重きを置いている。そのため、その証明も力学や熱力学の権威の功績によるものが大きく、しかも「証明」というよりは「発展」に近いものである。
第7問題：種々の数の無理性と超越性
1.二等辺三角形の底角と頂角の比が代数的無理数（代数的数でありかつ無理数であるもの）である場合、底辺と側辺の長さの比は超越数か
2.自明な例外を除き、代数的数a、代数的無理数bに対し、a^bは超越数か
後者はアレクサンダー・ゲルフォントによって肯定的に解かれた。
第8問題：素数分布の問題、特にリーマン予想が正しいこと。すなわちゼーター関数という関数のゼロ点が負の整数を除いて、実部が1/2であること。
第9問題：一般相互法則
第10問題：ディオファントス方程式の可解性の決定問題
1970年、ユーリ・マチャセビッチが否定的に解決。ディオファントス方程式がどのような場合に整数解を持つかを決定付けるような一般的な解法は存在しないことを示した。
第11から第23の問題は表題だけを示す。第11問題：任意の代数的数を係数とする二次形式　　第12問題：類体の構成問題　第13問題：一般7次方程式を2変数の関数だけで解くことの不可能性　第14問題：不変式系の有限性の証明　第15問題：代数幾何学の基礎づけ　第16問題：n次代数曲線および曲面の相互位置すなわち位相の研究　第17問題：定符号の式を完全平方式を使った分数式で表現すること　第18問題：結晶群・敷きつめ・最密充填（球充填）・接吻数問題　第19問題：正則な変分問題の解は常に解析的か　第20問題：一般境界値問題　第21問題：与えられたモノドロミー群をもつフックス型線形微分方程式の存在証明　第22問題：ポアンカレ―の保型関数による解析関数の一意化　第23問題：変分法の研究の展開

本書の著者コンスタンス・リードはアメリカの女性で、数学関係者の伝記作家として活躍した。妹に女性として初めて全米数学会の会長を務めたジュリア・ホール・ボウマン・ロビンソン（1919年 - 1985年）という数学者がいる。序に書かれた著者の言によると、本書はヒルベルトの学生たちによる手記によるところが大きく、とりわけヒルベルト60歳の誕生を祝して書かれたオットー・ブルメンタールの伝記記事や、ワイルによる本書に採録された「ヒルベルトとその数学的業績」が重要であったが、多くの数学。物理学関係者の記憶に基づいて（聞き取り）書かれたという。また本書は1970年ヒルベルトになじみが深いシュプリンガ－出版社から刊行され、日本語版が1972年彌永健一訳で岩波書店から刊行された。2010年7月に岩波現代文庫に入れられた。訳者彌永健一氏は日本の数学者彌永 昌吉（1906年4月2日 - 2006年6月1日）の長男と言った方が分かりが早い。健一氏も数学者で東京商船大学・商船学部・教授であり、フィールズ賞受賞者の小平邦彦を叔父に持つ彌永家は数学者一家である。健一氏はセールの「数論講義」の翻訳で有名である。本書を紹介するにあたって、文庫本にして425頁という分厚い量であるためと、私自身が数学をよく知らない（興味はあるがついてゆけないだけ）ので、いわゆる年譜形式でヒルベルトに影響を与えた人、影響を受けた人、ライバルたちの交友関係を中心にまとめ、そして数学的業績の簡単な記述をしてゆきたい。章別けの題名は本書からそのまま取り、それに年譜を添えて、交友関係と数学的業績を記すという形式で進めたい。

（つづく）

読書ノート C・リード著 彌永健一訳 「ヒルベルトー現代数学の巨峰」 岩波現代文庫

20世紀を切り開いた「現代数学の父」ヒルベルトの評伝　第2回

序（その２）

ヒルベルトの数学的業績を考える上で「ヒルベルトの23の問題」で問題とした課題を纏めておこう。ヒルベルトのリストは位相幾何学、群論および測度論が20世紀に急速に発展することを予測できていなかったし、それぞれの分野に恒久的な変革をもたらす公理的集合論、ルベーグ積分、位相空間あるいはチャーチの提唱を利用することはできなかったという歴史的制約があった。その意味では、リストは予言的ではなく、単に中途半端な予想だという批判もある。当時の欧州の数学者の小さなコミュニティによりヒルベルトのリストが速やかに受け入れられた。それら問題は綿密に研究され、1つでも解決できれば名声を得ることができたといわれる。パリで発表されたのは以下の10の問題であった。あとの13問題は後の追加である。
第1問題：ゲオルク・カントルによって提起された連続体仮説　「実数の部分集合には（高々）可付番集合と連続濃度集合の二種類しか存在しない。」
1938年にクルト・ゲーデルによってこの仮説が成り立つような集合論のモデルが構成され、もう一方で1963年にポール・コーエンによりこれが成り立たないようなモデルが構成された。両者を総合し、一般連続体仮説と選択公理がZFとは独立であることが示された。
第2問題：算術の公理と無矛盾性　「算術の公理が矛盾を導かないことを証明せよ。」
「算術」(arithmetik)という言葉のせいでしばしば自然数を扱える程度の、と受け取られてしまっている。後者については1936年にゲルハルト・ゲンツェンによって有限の立場に少し修正を施した上での無矛盾性の証明が発表された。
第3問題：等底・等高な四面体の等積性　「等底・等高の四面体の等積性は、連続変形なしで証明できるか」
底面積が等しく、高さが等しい三角錐（より一般には錐体）は体積が等しい。積分のような連続的操作によらず、これが証明できるかどうかと言うのが設問の動機である。即ち、底面積と高さの等しい二つの四面体A、Bがあるとするとき、有限個の四面体の組X1…Xnで、それらをパズルのピースのようにうまく組み合わせるとAにもBにも合同になるような組が常に存在するかという事である。二次元の場合、つまり三角形の場合はこれが可能である（ボヤイの定理）。この問題はデーンによって、否定的に解決された。
第4問題：直線が最短距離を与える幾何学の組織的研究　「公理がユークリッド幾何学に近い幾何学を求めよ。ただし行列の定理は保持し、合同定理は弱まり、平行線定理は省略されるものとする。」ヒルベルトは問題発表時、自身の研究により既に問題にあるような幾何学を得ており、その上での問題発表となった。 この問題は1901年にハメルによって解かれたが多くの制約を余儀なくされた証明法だったので、1929年にヒルベルトの弟子フンクがこれを改善したものを発表した。また1943年にはビュースマンも改善に成功し、問題を測地線の幾何学に一般化した。
第5問題：位相群がリー群となるための条件　「関数の微分可能性を仮定しないとき、リーによる連続変換群（リー群）の概念は成立するか。」
この問題は1930年にノイマンによって証明されたのを皮切りに、 その後1952年にはグリースン、以降モントゴメリ、ズイッピンらによっても解かれた。最終的には1957年にグラスコフが完全な形での証明を発表した。

（つづく）

読書ノート C・リード著 彌永健一訳 「ヒルベルトー現代数学の巨峰」 岩波現代文庫

20世紀を切り開いた「現代数学の父」ヒルベルトの評伝　第1回

序（その１）
これから本文中で述べることになるだろうが、ヒルベルトの生涯の仕事を概略示しておこう。ダフィット・ヒルベルト（David Hilbert, 1862年1月23日 - 1943年2月14日）はドイツの数学者である。当時プロイセン王国領だったケーニヒスベルク（現在はロシアのカリーニングラード）に生まれた。1885年ケーニヒスベルク大学卒業、不変式論で学位を得た。ケーニヒスベルク大学でヒルベルトは、ハインリッヒ・ウェーバー、フェルディナント・フォン・リンデマンから学んだ。特にウェーバーはドイツ数学の影響をヒルベルトに与えた。また、同大学でヘルマン・ミンコフスキーとアドルフ・フルヴィッツと知り合っている。特にミンコフスキーは「最良にして本当の友人」であったという。1895年、ゲッティンゲン大学教授。19世紀末から20世紀初頭にかけての指導的な数学者となった。主な業績分野としては、不変式論、抽象代数学、代数的整数論、積分方程式、幾何学基礎論、数学基礎論、一般相対性理論 であるといわれている。本書の末尾に、ヒルベルトがなくなった翌年1944年に著したヘルマン・ワイルによる「ヒルベルトとその数学的業績」という93頁の長文の解説文がある。ワイルによるとヒルベルトの数学的活動を年譜で示すと、
①不変式論（1885－1893）
②代数的整数論（1893－1898）
③幾何学基礎論（1898－1902）
④積分方程式論（1902－1912)
⑤物理学（1910－1922）
⑥数学基礎論（1922－1930）
になるという。5年から10年のインターバルで興味の中心が変遷したいったようだ。彼の公理論と数学の無矛盾性の証明に関する計画はヒルベルト・プログラムと呼ばれる。1900年のパリにおける国際数学者会議において有名な「ヒルベルトの23の問題」を発表した。さまざまな数学者がこの問題に取り組んだことで、ヒルベルトの講演は20世紀の数学の方向性を形作るものになった。その中には、リーマン仮説など現在も未解決の問題もある。ヒルベルト・プログラムとは、ダフィット・ヒルベルトによって提唱された、数学におけるすべての普遍妥当な論理式を機械的に導出可能とする公理系と推論法則を構築する計画をいう。ヒルベルト計画とも呼ばれる。ヒルベルトは、その証明を形式化することで、数学全体の完全性と無矛盾性を示そうと考えた。具体的には、1.数学において真である命題は必ず証明できること2.公理から形式化された推論をどれだけ行っても、矛盾が示されることは絶対にないということという事実を、有限の立場と呼ばれる確かな方法を用いて証明しようとする計画である。有名なヒルベルトの23の問題の2番目で、実数論の無矛盾性の証明を挙げている。1900年をはさんだ数年間に、数学の一部である集合論においていくつもの矛盾（パラドックス）が発見された。ヒルベルト・プログラムは、単にその矛盾を取り除く（＝無矛盾性）だけではなく、今後二度とこのような矛盾が現われないように、数学全体に確固とした基盤（＝完全性）を与える目的があった。この計画は、1930年にクルト・ゲーデルが発表した不完全性定理により深刻な影響を受けた。とりわけ「自然数論を含む帰納的に記述できる公理系が、無矛盾であれば自身の無矛盾性を証明できない（第2不完全性定理）」は、有限な立場のみではあらゆる公理系の無矛盾性を証明できないとするもので、ヒルベルト・プログラムでは自然数論だけでなく、実数論、さらには集合論全体の無矛盾性をも、自然数論のような基本的な体系の上で示すことを目的としていたため、この定理によって大きな修正を迫られることになったまた、彼は弟子の育成にも努め、マックス・デーン、エーリヒ・ヘッケ、ヘルマン・ワイル、ヴィルヘルム・アッカーマン、パウル・ベルナイスなど著名な数学者を輩出することになった。特にヨハネス・ルートヴィヒ・フォン・ノイマンの論文を評価し、当時22歳であったノイマンをゲッティンゲン大学に招いた。日本人では高木貞治がドイツ留学時代ヒルベルトの弟子であった。主な著書には、『公理的考察』、『幾何学基礎論』、『数学の問題』、R・クーランとの共著で 『数理物理学の方法』第1巻から第4巻、S・コーン・フォッセンとの共著で 『直観幾何学』第1巻と第2巻、P・ベルナイスとの共著で 『数学の基礎』などがある。1910年にボヤイ賞を受賞した。

（つづく）

読書ノート 小平邦彦著 「幾何への誘い」 岩波現代文庫（2000年）

図形の科学としての平面幾何の論理と現代数学の論理　ユークリッドとヒルベルト 　第8回　最終回

第2章　数学としての平面幾何 （その３）

ヒルベルトの「幾何学の基礎論」では無定義語は意味を持たないとされていますが、「幾何学の基礎論」は常に図形に導かれて展開しているように考えられます。それは幾何学という以上、図を見なければ理解不能なのだからです。代数学のようにむやみに関係式の展開をしてみても、何のことやらさっぱり理解できません。絵画でいえば抽象絵画と具象絵画の関係にあります。抽象絵画を突き詰めると文学か哲学の分野に近くなり言語の世界に入ります。絵画と矛盾する背理となります。つまり絵画と理解するにはどこかで具象絵画との関係性を維持していなければなりません。約束事です。その典型が中国絵画の抽象性（無の世界）にあります。約束ごとの組み合わせで見る人にある考えを想起させます。一見すると自然を描いているようでこれはほとんど文学の世界です。幾何学も同じです。そこで小平邦彦氏は、「幾何学の基礎」の平面幾何の公理的構成はあまりにも厳しくかつ難しいので、もう少し易しくて一応厳密な平面幾何の公理的構成を試みて、1985年岩波書店より「幾何のおもしろさ」という本を出版した。「幾何のおもしろさ」の公理的構成は、基礎的な部分のみならず円論から比例や面積にいたるまで平面幾何全般に及んでいる。無定義語は意味を持たない記号ではなくて、最初から意味が分かっているとして定義しないだけの概念と理解する。公理は理由を述べないまでも真と認める命題であるとする。形式主義とは反対の立場である。8つの公理を設定する。
公理1：2点AとBが与えらえたとき、AとBを通る直線を引くことができる。そしてAとBを通る直線はただ一つしかない。
公理2：直線lが3点A,B,Cのいずれをも通らないときlは線分AB,BC,ACのいずれとも交わらないか、またはその2つと交わって他の一つと交わらない。
公理3：線分AB上の点CがAとBの間にあるとき、等式AB=AC＋CBがなりたつ。
公理4：点Cが∠AOB の内部にあれば等式∠AOB=∠AOC＋∠COBがなりたつ。
公理5：三角形△ABCと合同の△OPQを任意の位置に描くことができる。（移動）
公理6：2つの直線ｌ,mが第3の直線と2点A,Bで交わるとき、∠ABOと∠BACの和が2∠R以下ならば直線l,mは直線ABに関してCと同じ側にある1点で交わる。（直線lとl外の1点Bが与えられたとき、Bを通ってlに平行な直線はただ一つ引くことができる。第5公準：平行線の公理と同値）
公理7：長さが１に等しい線分OEが存在する（線分な長さの計測原理）
公理8：円βが円αと交わらないなら、円βは円αの内部か外部にある（円に関する順序の公理）

（完）

読書ノート 小平邦彦著 「幾何への誘い」 岩波現代文庫（2000年）

図形の科学としての平面幾何の論理と現代数学の論理　ユークリッドとヒルベルト　第7回

第2章　数学としての平面幾何（その２）

第1章「5つの公理群」の§１「幾何学の要素と5つの公理群」は、点と線の用語の「定義」（説明）から始まります。ととえば三角形の定義は「同一直線上にない3つの点の2つづつを結ぶ３つの線分からなる図形」です。三角形を説明するには点と直線と線分という用語を使います。第1章「図形の科学としての平面幾何」や「原論」には「直線とはまっすぐな線」というような言い換えに過ぎない表現でした。だから点と直線を定義しないで使ってきたのです。これを「無定義語」と呼びます。§2公理群Ⅰ：結合の定理で3つの公理I1（2点を通る直線が存在する）,I2（2点を通る直線は１つだけである）,I3（一つの直線上には少なくとも2点がある。直線上にないすくなくとも3点がある）を掲げています。I1とI2をあわせて第1章図形の科学の「公理Ⅱ：2点を通る直線は一つあって、ただ一つに限る」に相当します。ここでは「点」も「通る」も無定義語です。§3公理群Ⅱ：順序の公理は第1章「図形の科学」にも「原論」にもなかった公理です。「間にある」という無定義語を使用し、公理Ⅱ1、Ⅱ2、Ⅱ3は一直線上にある点の順序に関する公理です。第1章「図形の科学としての平面幾何」では、「線分」とは直線ABの上の点Aと点Bに挟まれた部分でしたが、「幾何学の基礎論」では「一つの直線aの上の2つの点AとBの組」を線分と定義します。終端がAとBという意味です。だから直線とは点の集合ではない、線分とは直線の部分ではないと考えます。平面上の順序の公理Ⅱ4は一直線上にない3点A,B,Cとそのいずれをも通らない直線lに関する公理です。これをパッシュの公理という。「直線lは線分AB,BC,CAのいずれとも交わらないか、またはその2つと交わって他の一つと交わらない」というものですが、3点が同一直線上に在っても成立するので、一直線上にない3点A,B,Cという条件は不要です。この公理Ⅱ4は公理Ⅱ1とⅡ2を用いて証明することができる。§4「結合と順序の公理からの帰結」では公理群Ⅰと公理群Ⅱから導かれる点と直線にかんする定理2,3,4,5,6,7を三角形を作図して証明が与えられている。「幾何学の基礎論」では、平面幾何を公理的に構成しようとすることは、いくつかの公理から出発してろんしょうによって次々と定理を証明しようということです。平面（および立体）幾何の論理的構成に当たっては直感を一切排除して論理だけを用いて論証を進めることです。途中で幾何学的直観をに訴えることは許されない。その公理的構成は論理的に厳密であることが要求されます。例えばユークリッド「原論」における作図では線が交わることを証明をせずに直感によって自明として交点を決めていますが、論理的厳密性を欠いているように見えます。また三角形の3つの中線は1点でまじわる（重心）定理を「原論」では、まず2つの中線の交点をGとすると決めていますが、これは幾何学的直観によるもので、まず三角形の中で2つの中線の交点があることを言わなければならないといった類の直感がいたるところでみられる。ヒルベルト「幾何学の基礎論」の公理的構成については、無定義語に実体的な意味づけはないと考えます。代数とおなじで関係式だけが重要なのです。意味を持たない記号で書かれた命題には直感が働きません。証明は論理だけです。命題は記号で書かれたものですから、その真偽を云々することは未意味だといいます。だから公理は任意に設定された命題であると考えることです。これに慣れていない人は実体との関連づけに拘束され、論理の自由な展開ができません。だから現代数学やヒルベルトの「基礎論」は難解なのです。「幾何学の基礎論」では幾何学の用語は意味のない記号でしたが、論理の用語は意味を持っていました。ヒルベルトは「幾何学の基礎論」の後に創設した数学基礎論では数学の用語のみならず論理用語も意味を持たない記号としました。一定の記号列を公理として掲げ、そのルールに従って順々に定理という記号の列を導く体系を作った。すると数学は一定のルールに従って遊ぶゲームというのが、現代数学の主流をなす形式主義の考えです。形式主義は「幾何学の基礎論」から始まって20世紀の数学を指導しました。

（つづく）