20世紀現代数学の夜明けを告げる公理論主義の記念碑的著書 題8回 最終回
第6章 パスカルの定理
デザルグの定理(定理53)は公理Ⅰ結合、公理Ⅱ順序、Ⅳ*狭義の平行すなわち空間の公理を用いて、Ⅲ合同の公理を追加することなく証明できる。パスカルの定理(定理40)も立体公理を付加すれば合同の公理なしに証明しうるのかという問題がある。ところがパスカルの定理はデザルグの定理と異なり、アルキメデスの連続公理が決定的に重要になる。ここでアルキメデスの公理を言いなおす。
Ⅴ1*(線分算のアルキメデスの公理): 1直線gの上に線分aと2点A,Bが与えられているとする、有限個の点A1,A2,A3・・・,An-1,Anを見出し、BがAとAnとの間に在り、かつ新線分算の意味において、線分AA1,A1A2,・・・An-1Anをaに等しくすることができる。
定理57:定理40のパスカルの定理は公理Ⅰ,Ⅱ、Ⅳ*、Ⅴ1に基づいて、すなわち合同定理を除外して、アルキメデスの公理を用いて証明可能である。
定理58:パスカルの定理は公理Ⅰ,Ⅱ、Ⅳ*に基づいては、すなわち合同公理とアルキメデスの公理を除いては証明不可能である。
定理57と58の証明は算術の演算法則の相互関係に基づいている。アルキメデス数系においては定理59により、算法の交換律が成立する(ab=ba)。非アルキメデス数系に対しては定理60より情報の交換律は当然の帰結ではない。デザルグ数系は乗法の交換律と連続の公理を除いて成立する複素数系である。定理57は乗法の交換律はパスカルの定理40に他ならないことを言っている。デザルグ数系Ω(s,t)では乗法の交換律は成立しないので、これを非パスカル幾何学という。非パスカル幾何学はすなわち非アルキメデス幾何学である。定理61により、デザルグの定理(定理53)は合同公理Ⅲおよび連続公理Ⅴ1を用いることなく、パスカルの定理(定理40)から証明することができる。
第6章 パスカルの定理
デザルグの定理(定理53)は公理Ⅰ結合、公理Ⅱ順序、Ⅳ*狭義の平行すなわち空間の公理を用いて、Ⅲ合同の公理を追加することなく証明できる。パスカルの定理(定理40)も立体公理を付加すれば合同の公理なしに証明しうるのかという問題がある。ところがパスカルの定理はデザルグの定理と異なり、アルキメデスの連続公理が決定的に重要になる。ここでアルキメデスの公理を言いなおす。
Ⅴ1*(線分算のアルキメデスの公理): 1直線gの上に線分aと2点A,Bが与えられているとする、有限個の点A1,A2,A3・・・,An-1,Anを見出し、BがAとAnとの間に在り、かつ新線分算の意味において、線分AA1,A1A2,・・・An-1Anをaに等しくすることができる。
定理57:定理40のパスカルの定理は公理Ⅰ,Ⅱ、Ⅳ*、Ⅴ1に基づいて、すなわち合同定理を除外して、アルキメデスの公理を用いて証明可能である。
定理58:パスカルの定理は公理Ⅰ,Ⅱ、Ⅳ*に基づいては、すなわち合同公理とアルキメデスの公理を除いては証明不可能である。
定理57と58の証明は算術の演算法則の相互関係に基づいている。アルキメデス数系においては定理59により、算法の交換律が成立する(ab=ba)。非アルキメデス数系に対しては定理60より情報の交換律は当然の帰結ではない。デザルグ数系は乗法の交換律と連続の公理を除いて成立する複素数系である。定理57は乗法の交換律はパスカルの定理40に他ならないことを言っている。デザルグ数系Ω(s,t)では乗法の交換律は成立しないので、これを非パスカル幾何学という。非パスカル幾何学はすなわち非アルキメデス幾何学である。定理61により、デザルグの定理(定理53)は合同公理Ⅲおよび連続公理Ⅴ1を用いることなく、パスカルの定理(定理40)から証明することができる。