なんだかここ数日、通勤沿線が騒がしいです。私には影響がなかったのですが、ダイヤが乱れているとの表示が駅で見られました。
我が国はインフレ時代に突入しているので、デフレ期みたいに我慢すればやり過ごせる、のでは無く、それは何もしないことなので置いてけぼりになります。
新しい分野を身の回りから開拓しないといけなくて、多少のリスクは伴いますが、世の中のチャンスは格段に拡大しているので、どれかがヒットする確率が高くなっているはずです。
要するにいままでアイデアにとどまっていた新展開のチャンスです。これを生かし切れないのは、ややもったいないです。
で、どこが新展開するかは、それはやってみないと分かりません。なので当方もいつものようにコツコツと。
とりあえずは数学の多様体論に手を出していて、ただ、なかなかしっくりする記述にはまだ遭遇していません。初心者に最適とされた本は、確かに前半は具体的空間の話で分かりやすい書き方ですが、どうも著者が舌足らずというか、古典的な解析幾何学の話がしっかりしていないので、抜けがかなりあるのでは無いかと思ってしまいます。
知りたいのはゲージ理論周りの知識です。この分野は有望な物理学者が群がっているためか、数学者が多少遠慮しているように見えます。解析幾何学は古くからあるので、何とかしてまとめてほしいのですが。
たとえば、測地線に沿って微少な正方形が「平行移動」している図が出てきて、しかし合同変換(＝等長写像)が素直に成立するのはガウス曲率が一定の空間だけ、のはずです。一般の多様体では成立しない、はずです。
現在、私はこのあたりの解説を探しています。勝手に予想してみて、当たっているかどうかを確かめるのは面白いので、先に予想してみます。
つまり、ガウス曲率が一定で無い空間でも測地線は引けて、その上をミニカーというか亀が移動するのは普通に可能と思います。もちろん、最終的には分子や結晶内の電子や陽イオンの移動、さらには超弦理論の紐の移動を説明しないといけません。
で、局所はユークリッド空間、つまり線形ですから合同変換以外は相似や剪断変形が出てきます。線形の制限があるので、球は球か、せいぜい二次関数の楕円体にしかなりません。トーラスどころか、ジェリービーンズのような変形は起きないのです。
しかし実際のところ、変形したのは座標系の方です。実体は変形していないので、それこそ平行移動の際に緩やかな局所の線形変換を積み重ねないといけません。私はこれがゲージ理論の中身と思っていて、文献あさりをしています。
さあて、何が出てくるか、お楽しみ。それと、具体的な数値計算方法も両にらみで考察中です。
