円分方程式、
x^n - 1 = 0 「^」は累乗
のガウス平面、つまり横軸が複素数の実部で縦軸が複素数の虚部を値とする等高線表示のプログラムを作ったので公開します。
プログラムは次項に掲載します。まずは図の解説から。こんなの。
これは5次の円分方程式(x^5 - 1 = 0)の値をプロットした図です。中心がゼロ、つまり(0 + 0i)の点。その右の画面の半分と少しの所に灰色の円が収束して虹色の帯が集中しているように見える点が(1 + 0i)の点です。後者が方程式の解の一つ。
それを含めて中心から半径1の所に五個の解の場所が見えるはずです。他の4個の解はいずれも純実数の中央の横線から上下に外れているので、複素数解です。
まず、解の場所を表す白と黒の細い線に注目して下さい。この2種の線を表示するのが大元のプログラムでした。
白は関数値(x^5 - 1)の虚数部が0になる純実数の線。黒は実数部が0になる純虚数の線です。これが交差している所に方程式の解(値が(0 + 0i))がある、ということ。
他は本来はおまけというか、関数値が全体でどうなっているかを見るための色づけです。
灰色の、ずっと外側に行くと大きな円に近づく線は、関数値の絶対値の等高線を表します。絶対値(複素数を(a + bi)とすると絶対値は√(a^2 + b^2))ですから非負の値で、方程式の解の所(絶対値0)から離れると値が増大します。等高線の間隔は等差ではありません。中心から十分に離れると円に近づきますが、その時に等間隔になるように調整されています。どのように調節したかは後述します。
色相は複素数の極座標表示での偏角を表します。ですから白の線のところが0°と180°です。黒の線のところが90°と270°。赤とマゼンタの中間のところが0°付近、黄色が90°付近、緑とシアンの中間が180°付近、青色が270°付近です。等高線と直交しているように見えるのはその通りのはずです。
