ポアンカレ系

子供の頃、海にプカプカ浮きながら水平線をぼんやりと見てるうちに、ああ、地平とは直線ではなく、丸いのだなあ、と感じたことがある。
水面よりも上から見ると、それは下に向かって湾曲しており、水面下から見ると、そのRは上に向かう。
そして、自分の両サイドをぐるっと一周して、背後で円として閉じてるわけだ。
自分が円の中心にいると、その円は直線となるんだった。
だけどその図形は円ではなく、かといって直線でもない。
ぼくらの習う基礎的な幾何学の作法では説明のつかない、位置による相対的な図形だ。
ものの本によると、それを非ユークリッド幾何学というらしい。
たとえば、三次元の球面上では、「平行線」を引いてもやがて左右の端でつながってしまうし、三角を描いたら内角の和は１８０度にはならない。
ユークリッド幾何学の定義の範疇を超える幾何学が存在するわけだ。
ギリシャ時代にユークリッドが定義した二次元の幾何学は、ぼくら三次元（というか、二次元より上）の人間にしか認識できない。
同様に、ぼくらの生きる三次元世界における幾何学の振る舞いは、座標系をいっこ増やした四次元上から鳥瞰しないと、実体像がわからない。
そんな三次元の現象を四次元世界からながめて説明しよう、というのが、トポロジー。
そんな本を、今読んでるのだった。
世の中には本物の天才というのがいるもので、いや、天才というかなんというか、「異能のひと」というの？
そういう人物には、四次元の世界が実際に手でこねくり回せるくらいに見えてるらしい（イメージの中で）。
理論上にしか存在しない、空間のゆがんだ（というよりも、座標軸がいっこ多くて、三次元世界ではどうしても絵的に表現でき得ない）奇妙な構造物を、例えば「ナイフでこう切ると、こういう切り口になる」というようなことが直感で理解できる人間がいるというんだな。
その人物は、実際に四次元の世界を生きてるわけだ。
宇宙の根源を煎じ詰めてくと、必ずこの問題、すなわち「次元がいっこ違う世界」の問題に突き当たる。
アインシュタインは時間と空間の原理を相対性理論で統合したけど、量子力学なんかでは「力」のさらなる大統合に向けて、時空を超えたりもどってきたり、ってことが普通に理論化されてる。
どういうことやねん、と思ってたけど、トポロジーの考え方を知って、ほんの少しリアルに理屈が理解できたよ。
物理学と数学と天文学・・・どこまでもつながってて面白いな。

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ピタゴラス音律、続編

みんなが大好きな「ピタゴラス音律」の続報だよ。
こんな話題が好きなの、オレだけかな？
ピタゴラスの探った音律は、純正５度の音が周波数比で（物理学的に）ピタリと調和してるので、「純正律」と呼ばれてるんだ。
つまり、ドとソや、レとラのハーモニーに、一点の曇りもないの。
この「純正律」は、わかりやすく言えば、キー７個分ずつ飛び飛びの音を積み上げて積み上げて、７オクターブかけて１３個の音を採取したものだよ。
ド→ソ→（１オクターブ上の）レ→ラ→（また１オクターブ上の）ミ・・・という順に、等距離の音を７オクターブ分のスペースからかぎまわって集めまくったわけ。
最終的に、それら全部をシャッフルし、高低順に整頓して、オクターブいっこ分のスペースにコンプリート。
ドレミファソラシドが構築された。
ところがこのやり方だと、ほんの少しの誤差が積もり積もってくらしいのだな、分数で探って整数解に還元してるから。
ドからはじめて、ミを探り当てるまでに、すでに８０：８１って誤差が生じてるらしいの。
それをどんどん押し進めてくと、スタート地点での低いドと、７オクターブ先の高いド（シ♯）では、ユニゾンできないくらいに狂ってくるんだと。
だから純正律では、この狂いを直すために、シの♯が、最初のドと周波数比でしっくりくるように同音に調整されてるんだ。
こんな具合に、音階に整数比でピタリとくる配列は存在しないんで、「気持ちわるいで、１オクターブ分を１２できっちり割ろまいか」と平均値をとったものが、「平均律」という簡便な音階だよ。
これでも、純正律でピタリとハモってたドとソの音で、１／１２って周波数の狂いが出るんで、気持ちよくはないらしい。
この狂いが、歴代のそのスジの人々を悩ませてて、いろんなえらい数学者・物理学者たちが、いちばんしっくりくる周波数比の並びを研究してるんだよ。

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ピタゴラス音律

「ドレミファソラシド」って音階は、ピタゴラスがつくった（発見した）って知ってた？
そのきっかけというのが、鍛冶屋さんがトンカントンカンと鎚打つ響きから、「はたっ、あの音とあの音は調和してるぞっ！」とひらめいたことからはじまるのよ。
それは、今で言う「ド」と「ソ」の、むずかしく言えばオクターブの２／３という周波数比の二音だったわけ。
さらに、そのドからソまで上げたのと等距離（純正完全５度という）を、今度は「ソ基準」でコマを進めると、オクターブまたぎの「レ」の音が求められる。
次に「レ基準」から等距離を進めば「ラ」、そして次々に「ミ」「シ」が得られるわけ。
最後に、スタート地点のドから逆向きに等距離をさかのぼる（つまり純正５度だけ下げる）と、最後の「ファ」の音が得られる。
この７つの音を１オクターブ内に背の順に整頓したら、「ドレミファソラシド」になった、というわけさ。
さらに前後に５度（半音階七つ分）ずつ進んでいくと、黒鍵の音（シャープとフラット）も得られるよ。
数学書を読んで、実際にピアノで試してみたら、ピタリときて感動したよ。
すごいぜ、数学。
ちなみに（何度も書いてるけど・・・）、ピタゴラスの時代、数学と音楽は同じカテゴリーだったんだ。
空間を分割するのが幾何数学で、時間を分割するのが音楽だからだよ。
それにしても、周波数を数学的に分割すると耳心地のいい調和が得られる、ってのは不思議だよね。

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ピラミッドと黄金比

長ーい縄を用意するだろ。
その端っこと端っことを結びつけるだろ。
大きな輪っかになるだろ。
その半径を測っとくだろ。
今度は、その大きな輪っかを四人でそれぞれ東西南北方向に引っぱるだろ。
縄は真四角に張りつめるだろ。
それを底面として、その中心（正方形の中点）から、さっき測った半径分の高さのところに頂点をもってきて、四角すいをつくるだろ。
すると、あのおなじみの建造物の形になる。
これが、ピラミッドのつくり方・・・と、ある説は言ってる。
つまりピラミッドは、黄金比をあちこちに緻密に配して造られたんじゃなくて、こんな感じでざっくり造ったら、結果、あちこちに黄金比が現れたんだ、と。
合理的で説得力のある説だと思うんだけど、どう？

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今日の豆知識

ハエトリソウは知ってるよね？
二枚貝みたいな形に開いてて、虫がその内側にとまると、パクッ、と食べちゃう（とじこめちゃう）食虫植物。
あのひとって、刺激を二度受けないと、チョウツガイを閉じないんだよ。
つまり、虫がとまって、動いて、はじめてそれを「虫だ」と感知するんだ。
見えてるんだよ。
知性を持ってるんだよ。
植物って、動物から進化した生き物なんじゃないかな？

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星の運命

宇宙には最初、水素しかなかったんだよ。
「水兵リーベ、ぼくの舟名前ある・・・」の最初のやつさ。
そのガスが宇宙空間を漂い、やがて万有引力ってやつでお互いに引かれ合い、集まってソリッドになり、そのかたまり同士もまた引かれあって天体となり、星が生まれた。
星は大きくなればなるほど万有引力で密度が増し（星を構成するすべての物質は星の中心に向かって落ちてくから、質量＝重力が大きくなるほど、物質がせめぎ合ってギューギュー詰めになるわけだ）、密度が増せば増すほど中心部分は高温高圧になり、やがて原子同士も押しつぶし合って、例の核融合ってことになるんだった。
そうやって、ヘリウムやら、炭素やら、酸素やらってものがつくられ、順ぐりに重金属までがそろってったんだってさ。
その自然現象を人工の容器の中で再現して、人類は「自然界最重位」のウランから、新しくプルトニウムってものをつくったんだ。
えげつないね。
神様の技をついに手に入れて、新たな宇宙を創造しちゃったわけだ。
やがてこの技は、星いっこを粉々にするくらいの力を手に入れるのかな。
知能って、神様なのかしら、悪魔なのかしら。

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改憲には反対ですから

史上最も醜悪な内閣で、憲法が変えられようとしてる。
気持ち悪いなあ。
憲法九条が破棄されて「お外でも戦争（集団的自衛権を行使）してもよい」となったらどうなるか、シミュレーションしてみよう。
アメリカが「あそこを攻め滅ぼすぞ～！」と勇ましく（かつ、おっちょこちょいな）号令をかけるだろ。
日本は「ははー！御意～！」となるだろ。
殺しまくるだろ（同時に、殺されまくるだろうが）。
すると攻撃された側の文化圏とは敵対することになって、日本の対外経済は壊滅するだろ（ものも売れないし、燃料も資源も入ってこなくなる）。
攻められた連中は、「アメリカは遠いし、強くてこわいから、手近で使いっ走りの日本をこらしめてやれ」となるだろ。
この平和ボケの国では、テロのし放題だ。
親分の身代わりにボコボコにされる手下の図、だよ。
結局、日本における集団的自衛権ってのは、アメリカの下請けに他ならないんだ。
それがいやなら、国防軍を創設するかわりに、アメリカ軍には日本国内から全部引き上げてもらって、日米安保は完全に破棄しなきゃダメ。
ニッポン、ついに独立！
・・・無理だけどね、この主体性のない国には。
結局、ボスにみかじめ料を払ってにらみを利かせてもらい、自衛隊が海岸線から外に出ないで、入ってくる相手とだけ拳を交える、くらいがちょうどいいんだよ。
吉田茂が、「軍備を放棄する」と決めたときのエクスキューズを思い出すべきだ。
すなわち、「わが国に攻め入ろうという理不尽な国が出現したら、それを克服すべく国際的必然が生ずるだろう」とかなんとか。
そのために国連軍ってものをつくったんじゃないの？
その国際的必然に期待して、わが国はどれだけ国連にお金を出してると思ってんの？って話だよ。

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掃き掃除宇宙論

乾燥した朝。
工房の床をほうきで掃き掃除してると、どこから発生するのか、無数のホコリが集まってきて、やがてモコモコとした綿ボコになってかたまり、最後にはいっこの大きな毛糸玉みたいになる。
そんなとき、いつも思う。
ああ、宇宙の星ぼしはこんなふうに生まれたんだなあ、と。
なにもない空っぽの空間に、分子が生まれ、やがてそれらが集まり合ってガス状のもやもやを構成し、星雲となり、さらに質量が大きくなるにしたがって引力が機能しはじめ、なおも密度を高めて、凝集すると同時に加速的に巨大化していき、そんなこんなの結晶が、ついに天体となる。
それの生まれる最初の段階を、ぼくは朝の工房の足下に見てるんだった。
星くず＝スターダストと名付けた人物は、きっとぼくのように掃き掃除をしててひらめいたのにちがいない。
・・・それにしても、ただのゴミをこんなふうに美しいお話に昇華できるぼくって、すてき。

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数学と音楽

ピアノをはじめて一年と三ヶ月。
楽譜もまともに読めないまま、ひたすらに新曲を新曲を、と突き進んでます。
先生には「ブラッシュアップは必要ないんで、よどみなく弾けたらマルをちょうだい」というシステムでお願いしてます。

このへんまでやっつけました。
技術的にもそこそこ進歩してるはずなんだけど、なんつっても、音楽の構造理解が進むのがうれしい。
譜面を見てると、つくづく「音楽って数学だ」と思います。
昔のひとは「空間分割が幾何学、時間の分割が音楽」って考え方だったんで、数学と音楽は統一されたカテゴリーだったのです。
今のドレミの音階をつくったのも、数学の祖・ピタゴラスなのですよ。
オレは数学を理解するためにピアノをはじめたひとでして、鍵盤を叩けば叩くほど数学脳が刺激されるこの感じにしびれてます。
ところで、x軸y軸でおなじみの直交座標系って概念は、デカルトが編み出した、って知ってました？
一年中ゴロゴロと寝てて、ある日「コギト・エルゴ・スム（我思う、ゆえに我あり）」とつぶやいたあのひとです。
まあそれは置いといて、この「ふたつの数字を示すだけで、平面上の一点の位置を確定できる」「三つの数字で、三次元空間上の一点がわかっちゃう」ってシステム、すごくないですか？
つまり、「三本めの交差点を左に曲がった四軒め」と言えばそのマンションが示せ、「その５階」と言えば、三次元空間上であなたのいきたい場所が完全に特定できるわけです。
こんな代数学を、音楽に応用してくれたんですね、誰かが。
楽譜というやつの話です。
こっちの観念はもっと複雑系ですよ。
なにしろ、音と時間、という、取っ付きようのない感覚的なものを図面上に示そう、って試みですから。
というわけで、あの五線譜ってやつは、横方向に時間、タテ方向に周波数を分割してありまして、その組み合わせによって、音の連なりを記録できるようにできてます。
すごい知性ですよねえ。
とりあえず、こんなとこで。

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選挙にいこう、の論拠（補完）

さて一方、投票した人物が落選してしまった場合。
あなたの声は政治に反映されないのか？
そんなことはありません。
当選した人物たちは、落選した人物を推す声に追いつめられて、いい政治をしなきゃならない危機感が生じるからです。
落選する候補者に投票するくらいなら、投票しなくても同じ、と考えるのはあさはかです。
当選者たちは、「有権者たちの声」ではなく「投票者たちの声」のみを聞いて施政します。
お金持ちや土建業者や業界団体さんたちは、必ず投票に出向きます。
政治家たちが彼らのために有利な政治を行うのは当然のこと。
ご老人たちも投票が大好きです。
政治家たちが彼らを手厚くもてなすのは当たり前のこと。
ワカモノたちは投票にいきません。
政治家が彼らに、また彼らの子供たちに冷淡なのはなぜなのか、理解できますよね。
票を捨てるような連中を相手にサービスをしても無意味と、政治家は考えるのです。
自分をおびやかさない相手に対し、なんの手だても必要ありませんから。
投票しようとしないひとたちに、政治家がなんの義理を、あるいは圧力を感じるでしょうか。
声のないところに政治は行き届きません。
投票しなかった者は、当然の報いをこうむります。
実際的に言えば、投票をしないカテゴリーの人々は、より多くのお金を国家のために用意しなければならず、なのにより不便な暮らしをせねばならず、より危険な目に遭わなければならず、それによって困った場合にもよりほったらかしにされねばならない、という因果律の底に置かれることになります。
ところがあなたが投票という行為をするだけで、政治家たちはあなたをかえりみるようになります。
それくらいリアルな相関関係があるのですよ、あなたの暮らしと選挙には。
だから、さ、投票しましょ。

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