3110. PROLOG解説、その1

　本年から小学校でもプログラミングが必須となったようです。内容はほとんど知りません。私はC言語とその周辺ならどれでも良いと思っています。
　ただ、私が小学生だったら、画面でのゲームだけで無く、ぜひロボットとかを操縦したい訳で、組み込み用プログラムの一端は知らせる方が良いと思います。少なくとも、小学生用の解説書は欲しいです。
　組み込みプログラミングの肝は、タイマと割り込みです。これが無いと、リモコン一つ作れません。が、今のところは、プログラム理論とはかけ離れた技術的事項です。

　PROLOGもプログラミング言語の一種です。現存するほぼ唯一の論理型言語です。というのは、私の理解では論理型言語は普通に作るととても効率が悪い中、プログラム言語としても実用水準にあるからだ、と思います。
　一階述語論理が背景にあって、つまり述語(真か偽かが特定できる言説)のand∧、or∨、not￢とともに、全称∀と存在∃が加わっている論理の数学モデルです。

　なのですが、一階述語論理からPROLOGに持って行くやり方の解説が結構難しくって、さっき読み返そうとしましたが、途中で挫折してしまいました。私は電子回路の論理回路からの類推で、非常にお気楽な理解をしていたような気がします。つまり、命題論理が普通のand、or、notの組み合わせ回路(加算機など)で、述語論理が記憶素子、つまりDフリップフロップ経由でフィードバック部分のある、いわゆる順序回路です。
　なので、文献紹介でお許しください。

　Prologプログラミング。S.F. Clocksin, C.S. Mellish。マイクロソフトウェア、1983
　は、第五世代コンピュータ計画の当時にPrologに関心のある人々がほとんど必ず読んでいた本だと思います。私が読んだのはその邦訳。
　実は、当時、この本を読んでも私はPrologが分かったとは言い難い状況でした。お試しプログラムは作れますが、BASICの様に軽々とは扱えなかったからです。しかし、これでPrologが理解できた人も多かったみたいです。
　現在は普通には手に入らないと思います。当時は有名だったので、大抵の大学図書館にはあると思います。

　インターフェース増刊、archive no.9、no.10。CQ出版、1988、1989
　なので、悶々としていたところに出たのが、この2冊のmookです。Prologの実用面を解説したもので、副題が「道具としてのProlog」で、no.9が入門編、no.10が応用＆仕組み編です。私は大助かりでしたが、こちらは現在はまったく手に入らないというか、大学図書館にも無いと思います。なので、このエッセンスを紹介したくなった訳です。

　Prologの技芸。L. Sterling、E Shapiro。共立出版、1988
　Prologって、こんなに使える言語なのか、と改めて分かったのがこの本。これも有名なので、大学図書館レベルの図書館で見られると思います。最も役立ったのは第15章の差分リストの部分で、いわゆるappend述語がProlog標準の書き方で効率よく処理できる、その具体的な書き方が丁寧に解説されています。
　Lispにもappend関数があって、これはリストを連結する関数です。しかし、ポインタの付け替えで無く、リストをコピーしてしまうので効率が悪いです。Prologのappend述語も同様。なので、LISPではnconcとかsetfというのを使ってポインタを付け加えてコピーではなく、元のリストに連結します。が、ポインタの付け替えなので、さらに操作するときに思わぬ副作用が起こりうる、危険な関数でもあります。
　ところが、Prologでは(遅延評価の一種の)差分リストの技法で、Prologの本来の文法内で効率の良い接続が可能です。私の意見では、LISPに対するPrologの優位性はここだけです。ですが、この部分はとても大きな意味があって、第五世代コンピュータ計画の後期の並列論理言語のGHCでは非常にキーとなる部分となっています。
　なので、差分リストの技法の解説は、何としてでも現在でも知ってもらう必要があると思います。

　An Abstract Prolog Instruction Set。D.H.D. Warren。1983
　論文かな(?)。現在はネットで無料で手に入るはずです。いわゆる、Warren Abstract Machine (WAM)の解説書。現在のProlog処理系はほぼこの仮想マシンを使っているはずです。私の印象では、あまりに決定版だったので、その後の研究が滞ってしまったように思います。

3109. PROLOG解説、準備、続き

　横浜DMM VR THEATERで公演予定だった美希(仮想アイドル)の回のネットでの配信があったそうです。フレPやゲームサイトなどでは評判上々のようです。物理VRと違って背景を暗くしないでもよいので、多分、ステラステージの765事務所です。ポリゴンも同様。
　いわゆるvtuberと比較されていて、いよいよ大手が参入してきた、みたいな扱いです。とはいっても、ネットの指摘通り、アイマスというかバンナムのVRにはかなりの蓄積があって、ようやく来たか、の声も。
　私は直接見ていません。VR THEATERでの公演は随分以前に直接見た記憶があります。

　で、PROLOG。現在、ほぼ唯一の論理型プラグラミング言語です。LISPと同様に、実際の処理系が無ければ、教科書やネットで説明されている動作は信じがたいと思います。なので、まずは手に入れやすい無料の処理系から紹介します。AZ-PrologとSWI-Prologです。WikipediaのPROLOGの記事の下の方からダウンロードサイトにすぐに行けます。インストールも簡単なはずです。AZ-Prologは国産のはずです。SWIは国際標準の感じ。
　以下、AZ-Prolog v9.63で説明します。

　起動すると、いわゆるコンソール画面が出てきて、プロンプト(入力促進記号)、
| ?-
が出てきます。?-は次の述語を否定してみなさい(背理法)、との意味です。
　まずは、終了述語(C言語の関数に相当)から。
| ?-halt.
です。コンソール画面はウィンドウですから、右上の[x]をクリックしても、今風には大丈夫でしょうけど、正式な終了手段は覚えておいた方が良いと思います。

　計算機ですから、計算させてみましょう。
| ?-X is 5+3.
X   = 8
で表示が止まります。Xはいわゆる変数で、isが述語で、その下に出てきたのは「反例」です。このような実例があるので、仮説は否定されました、の意味です。さらにリターンキーを押すと、
| ?-X is 5+3.
X   = 8
yes
| ?-
と表示されます。

　親切なマニュアルが付いていますので、ざっと眺めてみると良いでしょう。なぜか日本語版のWikipediaに懇切丁寧で膨大な入門編があるので、まあだいたい、Prologの典型的教科書はこんな具合なので、お試しプログラムは一通り経験できるはずです。

3108. PROLOG解説、準備

　ミリオンライブ・シアターデイズの3周年特集は本日が最終日のようです。52人分の記念のSRカードが配られていて、例年ですと、これからその育成が始まります。
　無料の10連ガチャがあって、複数枚のSSRカードと、普通はガチャでしか手に入らないSRカードが来ました。他には、特設のチャットルームがカオス状態で面白かったのですが、それだけにとても参加する気にはならず、後は楽曲などの短期間無料配布だったか。

　本日は土曜日で私は休日。新型コロナ感染症の反動で仕事が忙しく、いや、内容的には例年通りですが、4, 5月の休業の反動で休み無しの状態になっています。
　世間的には、マスクの供給が落ち着いてきて、アルコール消毒剤が元に戻りつつあります。個人的に職場に持ち込んでいた家庭用アルコール消毒剤は2月に買った以降、数ヶ月は見なくなりました。先週、やっととあるドラッグストアで見つけて、今週もあったので購入。5ヶ月ぶりです。

　なので、本日はゆっくりと休日。古典幾何学書の翻訳もパス。FPGAの資料を見直して、と。昨年にとある解説書が出たためか、とある評価用ボードが評判のようです。しかし、今はちと古いので、新版の評価ボードを、元の評価ボードと同様に扱うための拡張基板、arduinoの何と言ったかピギーバックみたいなの、が昨年秋にとある小さなメーカーで売り出されているのを発見しました。良く工夫されている。
　しかし、どちらかというと、Etherがあって、HDMIがあって、USBホスト(OTG)がある、やはり学習用の評価ボードの解説書の方が私は欲しいです。ARMの高機能CPU付きです(GPUは無い)。こちらとの接続方法も知りたいし。…、私も20年前なら積極的に手を出していたかも。

　とはいえ、やることと言えば私の仕事がらみの部分を除くと、計算機の歴史のトレースです。どこで何が可能になったのかと。
　文章が長くなったので、多分続きます。

3107. 次世代移行

　ゲーム機のxboxが、現行のone Sとone Xから、次世代機のシリーズXと、今は噂だけの廉価版に移行するとの噂が立っています。残すと機種が多すぎて、消費者が迷うからだとのもっぱらの噂です。普通のPCのやり方に見えます。

　そのPCですが、少し以前からインテルがやや足踏みしているとの、こちらも噂がネットに上がっているようです。つまり、基本的にPentiumPro (P6)の時代を続けている、とのこと。
　私は80486が今のパソコンの黄金期を開拓したと考えていて、その後続機がPenPro/PenIIです。世間的には80586に相当する初代pentium(とWindows95)の印象が強いと思います。
　その後、たしか20段パイプラインだったかの時期があって、クロック10GHzを目指していたか(約20年前)。現在のFPGAと呼ばれるプログラミング可能な汎用論理ICの加算機の桁上がり部分は10年くらい前から10GHz級の動作をしているようです。汎用部分はせいぜい300MHzクロック対応程度で、後は直列のインターフェース部分がGHz動作しているくらいですから、加算機の桁上がり部分というのは特別のハード設計みたいです。ええ、私は論理IC自体の設計などやってませんから、全て伝聞情報です。

　ARMにはクロック無し(非同期)というとんでもない設計があるそうです。が、その後の展開を知りません。最近になって躍進中のAMDのx86/x64 CPU(zenだったか)の中身は、かつてのスーパーミニコン、DEC社のCPU、alphaの系列らしいです。元々、WindowsNTはalpha CPUにも対応していて、当時(NT 3.1の時代)はDECはそれはそれはNTに熱心でした。というのも、NTはDECのOS、VMSの直系の子孫だからです。
　現行のAMDのCPUは二段階分岐予測をしているとのことで、私の考えでは、いわゆる量子コンピュータに一歩踏み込んでいます。通常のプログラムではパイプライン処理を乱す分岐命令はわずか5～6命令ごとに出てくるそうです。ですからたとえ20段パイプラインでも普通にやると、5～6段でリセットしてしまう、ということで、これでは速度は上がりません。
　ですから分岐予測をする訳です。分岐予測が多段になると、かつての第五世代コンピュータ計画の並列化と同等になって、要は一階述語論理の高速化に相当します。ただし、プログラミングによってはコンピュータがサイコロを振っているように見える、つまり複数の解がある場合に、ランダムに一つの結果が選ばれる、シュレーディンガーの猫みたいな事が起こります。

　私は今でも第五世代コンピュータ計画の意味はあった、との立場なので、思いっきり擁護します。このサイコロは人間の認識が生み出したもので、一階述語論理自体には特に面倒なことは起こっていません。何度も言って申し訳ないですが、鍵はカット述語とか、ガードと呼ばれる分岐での組み合わせ爆発を防ぐ機構です。
　私は、その多分最初の論理プログラミングが主体の人工知能の時代に社会デビューしましたから、現在の統計学を背景とした人工知能は、人工知能と言うよりはオペレーションズリサーチ(OR: 戦略研究)の一種、もっと卑近に言うとQC(品質管理)の一流儀に見えます。
　この話には続きがあるのですが、妄想を重ねることになるので、記事を改めたいと思います。いつものように、私の気分が向いて、かつ、面白い話になるようなら続きを書きます。

3106. 次元を進めると、続き

　新型コロナ感染症の我が国での感染者数が増加していて、しかしたとえば、私の職場の近所の大病院の外観は落ち着いたもの。SARSの時の厳しい対応とは大違いです。先月、6月半ばに検査態勢が変更になったし、軽症者への対応が分かってきたためだと思います。
　まあ、見りゃ分かる、と言うことでしょうが、どこかでまとめていますか。政府のページを見れば良いのかな。

　で、古典幾何学の話題。仕事の合間に、E5(1-2-1)(仮)、E4(0-2-1)(仮)、E3((-1)-2-1(?))(仮)の頂点数などを、E8(4-2-1)→E7(3-2-1)→E6(2-2-1)の単純な外挿で計算してみました。当然ながら、E3(3次元図形)とE4(4次元図形)に関しては、知っていた図形が出てきました。(-1)-2-1は側面が正方形の正三角柱です。
　0-2-1は、ええと、こう言うの何と言ったか。いわゆる切頂図形ですが、切り取る範囲が大きくて、辺の中点まで切り取った状態。つまり、正四面体の頂点から削っていって、ついに正八面体(普通の正八面体とは対称性が異なり、対称性は正四面体のまま)を出す感じで、4次元図形の正5胞体の表面の5個の正四面体を削っていって、5個の正八面体にして、頂点の所は同じ辺の長さの正四面体の中心点になります。
　と言うことは、正八面体は4面で隣の正八面体に接していて、完結してしまっています。残された四次元空間の穴、正四面体は頂点だけで接しています。正三角柱の方は、正方形の帯で完結してしまっていて、蓋と底の正三角形は離れてしまっています。

　ふむ、何となく仕掛けが分かってきました。多分おそらく、ユークリッド空間の球面充填の一歩手前の、超球面の球面充填です。残念なことに、単純群の範囲では、この系列は8次元で終了してしまいます。
　もちろん、9次元以上のユークリッド空間の超球面充填も存在して、たとえば24次元の特異的に稠密な超球面充填にはリーチ格子という名前が付いています。まだしっかりとは調べていませんが、E8の3回の直積とのこと。

　この分野(古典幾何学の対称図形)では直感の力は大したものです。ただし、今のままでは数学と言うよりは、数秘術というか単なる占いの段階で、しっかり調べる必要があります。

3105. 次元を進めると

　本日は一日出張。私の住んでいるところも雨。梅雨前線はずっと延びていて、九州や中国南部は大変みたいです。仕事の方は普通でした。

　例の古典幾何学本の翻訳作業はですから数学が難しい部分は終わったような気がします。後は図形表示(座標計算)と4次元の特異図形の話、のはず。

　例外型有限単純群と呼ばれている、E6、E7、E8は何とか図示したいです。その具体的図形、2-2-1、3-2-1、4-2-1については頂点や辺や三角形などの要素の数が計算されていて、表にすると、ちょっとした計算で規則性が出てきました。まあ、この程度など誰もがやっていると思います。
　そのどれもが超球の空間充填に対応している感じがします。ええ、今の段階ではフィーリングです。さあて、これを確かめることが私にできるかどうか。

　全く別の幾何学の楽しい図録で、その先、つまりE9とE5、E4、E3はどうなっているのだ、の話題があって、この対称性には別の名前があって、そちらの方が基礎的なので、普通は出てきません。ちなみにE9は8次元ユークリッド空間の対称性で、球面では無く平らな空間に平らになるので、ここが終点。E3は3次元ですから、普通に3次元図形(多面体)が出てきます。
　6次元以下については、具体的に具体的図形(半正多胞体)を計算した人がいて、手元に資料があるはずで、探して調べないといけません。当時はいくぶん酔狂な趣味の感じを受けましたが、今になって役立つとは。

3104. 双対

　量子力学のとある科学新書の最新刊。巻末に独特の数式の解説があって、とても分かりやすいので大助かりでした。ディラックのブラとケットのことです。(複素数の)内積の記号を分離したのが由来だとのこと。って、多分、ディラックのその本の訳は持っているのですが、時間が無いのでまだ読んでいません。
　まあ普通に、ブラとケットは、ケット部が普通のベクトルで、ブラはその双対との解説でした。量子力学ですから複素関数となるので、幾何学的説明は厳しいみたいです。

　幾何学で双対図形というと、たとえば立方体と正八面体で、辺の中点を合わせると、互いの頂点が互いの面に対応し、辺は直交しています。座標的にも緊密な関係があったはずです。
　正四面体みたいな単体だと、自己双対なので、対応はしかしこちらも頂点と対面のn-1次元単体、つまり胞と呼ばれているものとなり、それを表現するのは法線ベクトルというのは前述しました。つまり、かなり明確なイメージがある、ということ。

　元に戻って、スピン1の光子のスピンが偏光に対応していて、90°違いになっている、と直接書いてありました。この記述は初めて出会いました。ええ、普通に量子力学の教科書を読んだら読み取れるのでしょうけど、私には無理っぽい。だから、助かりました。

　まあでも、私はスピン1は双極子(ダイポール)を意味していて、音波で言うと地震波のS波、つまり横波なので、それから妄想開始して、スピン0は縦波(P波)、スピン2の重力子は4重極子と思っています。どのスピン0の粒子が光子の相棒なのかは、今は追跡できていません。弱い力のあれか、とも思いますし、最近暗黒物質(暗黒エネルギー?)の正体だと言われているアクシオンとやらか。
　ついでに、電子のような基本的なフェルミ粒子はスピン1/2を持っていて、電荷の場合なのでモノポール(単極子)となり、磁力の場合はスカラポテンシャルではなくベクトルポテンシャルなので、私の妄想ではトロイダルコイルみたいに局所化してニュートリノとなっているとか、ぶつぶつ…。これが複素数の双対かも知れないとか。
　それとは別に、電子やニュートリノなどの3世代の存在も気になります。私の若い頃は第4世代があるかどうかが問題になっていましたが、現在は3世代で終わり、ということになっていると思います。しかし、すっきりした説明は見たこと無いです。

3103. 七夕天体ショー

　明日、7月7日は七夕です。よくある質問で、なぜ梅雨の真っ最中に2つの星と天ノ川なのだ、ですが、web検索するとすぐに出てきます。本年(西暦2020年)の伝統的七夕は8月25日だそうです。
　現在の太陽暦は季節と日付が一致している、という著しい特徴があって、現代ではこのほうが便利に感じる、ということ。太陰暦は月明かり(動物や昆虫や、多分、植物も感じる)と潮の干満に関係していますから、昔はこちらの方が役立ったのかも知れません。季節の方は春分とか夏至とかありますから、こちらも困らない。

　で、なぜかゲーム機のアイドルマスターでは、桃の節句とこの日はアイドルと多少関係があるように見えるのか、この日にPV大会が開かれます。まあ、現状から言って大賑わいとまでは行きません。

　ついでに、今年のこの時期は木星と土星が目立つそうです。木星は晴れていればすぐに分かります。さすがにジュピターで、堂々とした明るさが目立ちます。双眼鏡や望遠鏡で見ると、ガレリオ衛星が見られるはずです。
　土星は太陽から、ですから地球から遠いので、やや暗めです。しかし、それでも明るい。今なら木星の近くで金色に光っています。輪は見えやすい位置にあるので、運が良ければ認識できるはずです。

3102. 高木社長の誕生日

　明日、7月6日は765プロ初代社長、高木順一朗氏と、たしか従兄弟(いとこ)だったか、2代目社長の高木順二朗氏の誕生日、となっています。いつものように、PS4の最新アイマスゲーム、ステラステージで有志Pがお祝いのPVを…、多分、上げるはずです。

3101. ミリオンライブのアニメ化決定

　だそうです。元の画像は見ていません。ゲームサイト経由の感じでは、やっと未来たちの話が始動みたいです。長かったです。
　現在、シアターデイズは大々的に3周年と称していますが、ミリオンライブ自体は7年目です。元はソシャゲで、手作りの武道館から大きなシアターを築き上げる物語です。内容もソシャゲの範囲で結構面白くって、いろんな場面でアイドルたちが活動していました。
　シアターデイズは元から大きな劇場があって、今年に入ってからいろいろ展開がありますけど、最初は単調、というかどこかのゲームに似た外観で、あまりぱっとしませんでした。親方バンナムだから、潰れる心配は無くなりましたが、安心したのかだらだらした感じ。

　声優さんと元のシナリオのポテンシャルの高さから言って、残念な現状でした。ここで、このアニメが何とか突破口になってくれることを祈ります。
　ついでながら、ミリオンライブ自体は本物の武道館ライブにこぎ着けたこともあって、成功したコンテンツだと思います。

　アニメサイトなどでは期待の声が大きいです。ゲームサイトでは、シンデレラガールズのアニメが失敗していたことになっていて、しかし、私はあのアニメでシンデレラガールズが飛躍したと思っていますから、多少違和感がありました。第1話は伝説の出来だと思いますし、多分、美城常務が出てきた第2期のことを言っているのでしょうが、私の担当アイドルに声優が付いたのは、あのごたごたの結果ですから、さすが大手の346プロと言った感じです。

　劇場版アニメ・アイドルマスターで、7人がアニメになっています。ゲームでは未来たちがポリゴンになったことがあります。どちらも良い出来だったと思います。
　春香たちオリジナルメンバーを特別扱いしたとしても、39人もアイドルがいますから、2期の計画ですと、やはり主軸を決めることになると思います。ビジュアルでは未来、静香、翼の姿が見えていて、3年間もずっと着ている私服で出ていて、そこはかとない不安感が。アイドルなので、アニメ・アイドルマスターみたいにいろいろ工夫して欲しいです。
　キャラ的には主軸が14歳と極端に若いのが特徴です。この世代の奔放さが描けたら、素晴らしいと思います。個人差が出てきて、しかしいろんな未来が描ける時代。
　一方で、突出したキャラが何人もいるので、そちらの特徴も出てきて欲しいです。
　あとは、玲音と詩歌の扱い。ということは、961プロの扱い。765プロが見る間に大きくなってきて、もはや小企業では無いです。39人のアイドル、ということは、年商100億円ほどは稼がないとやばい訳で、初代や2でいうと、2回引っ越しの1回目の一棟借りの時代の感じ。これを765シアターにするのかどうかが設定上はキーになると思います。

3100. 三角関数の加法定理

　多少のフォローアップが必要と思います。とはいえ、私はこの分野の専門家では無いので、あくまでフィーリング理解の範囲内です。

　倍角公式がともかくも2乗の形式になる、という事実から、いわゆるオイラーの公式を想起した方が多いと思います。角度を足すと、累乗になります、ただし複素数ですが…。

　倍角公式などがどこから出てきたのだ、と数学の先生に質問すると、多分即答で、それは三角関数の加法定理による、との答えが返ってくるはずです。
　私が前任者と言っている数学者は、その道の専門家で、この加法公式からさまざまな実用計算用の公式が導かれる、と言って、具体的な展開をしてくださるはずです。ええ、私もその著書にさんざん助けられました。たしか、一度くらいはお姿を直接見たような記憶があります。

　さらに突っ込むつもりで、その三角関数の加法定理はどこから出てきたのだ、と質問すると、多分、考えるんじゃ無い、感じるのだ!、みたいな答えが返ってくるはずです。
　私の感覚では、オイラーの公式みたいに無限級数を考えると良いのでしょうけど、背景説明が膨大になるし、さらに突っ込まれると例の実数の連続とは何か、の21世紀の数学ではすっきりした説明が不可能な哲学の話題に突入します。ええ、私はこの部分は思想とか信念とか、その類いだと思っています、少なくとも現状ではそうですし、あまり楽観的にはなれないです。

　つまり、代数式で表現すると、ぼろぼろと余計な数式の破片が出てきて、収拾がつかなくなります。幾何学図形では座標を導入するとそうなります。デカルト座標というやつ。しかし、座標が無いとなかなか先に進まないので、悩ましいところ。
　ガロア直前の数学はそんな感じで、しかたが無いから近似式、つまり無限級数から考えて、その追求の結果は実に実りのあるものでした、さすが西洋数学、です。
　今、追体験するなら、数学辞典の巻末にある積分表の数式を見ると良いと思います。よくもまあ、こんな複雑な公式が計算できたものだと舌を巻きます。

3099. 三角関数

　などと言っていたら、本日やっと前任者が迷った奇妙に見える公式の所に来ました。私も真剣に翻訳するまで気付きませんでしたが、著者にも奇妙に見えたらしく、しっかりと説明しています。
　つまり、一見、奇妙な代数式に見えるのは実質的に三角関数の式、だとのこと。

　要は、倍角公式とか3倍角公式とか半角公式とか、の類いでした。基本的に、倍角なら2乗、3倍角なら3乗、半角なら平方根が出てきますが、素直な平方根などでは無くて、何だか余計に見えるものが派生している感じ。ここから、いわゆる媒介変数表示でsin、cosが消えてしまったら、奇妙に見える数式が残る、と言う塩梅でした。

　あまりにつまらない落ちなので、多少めげました。とはいえ、その前任者は我が国トップ、とまでは行くかどうか知りませんが、当時は割と有名な数学者です。どうしようかな、素直に感想を言ってしまうか、この仕事を私(数学者では無い)にさせた恩師(数学者では無い)の反応を先に見るか。

3098. 経緯

　ということで、翻訳を始めて1年半の今頃になって、このあたり、つまり座標計算の双対性と具体的な計算が結びついてきて、ついでに多面体系の全体像の再構築をしていたりして。
　まあ、そんなの最初から分かっていたら、このような楽しい経緯にはならなかったですから、痛し痒しと言ったところです。

　良かったのは私の、この分野に対する理解が進んだことで、下手するとここで終わってしまいそうで、最初は数学書の翻訳など気が進まなかったのは多分この点でした。
　つまり、次があるかどうかで大違いです。続かなかったら、とても暇になって、やりたいことをやるだけになります。
　続いたとしたら結構大変で、いわゆる燃え尽き、まで走らないといけません。経験上、やりたかったこととは微妙にずれていって、でもまあ、これが自分の実力と思わないといけないです。

3097. 法線

　先週後半から今日までがなぜかやや忙しくて、翻訳作業がストップ。なので、コンピュータグラフィックスの構想を隙間時間にやっています。
　高次元図形でも対称性はあって、多面体方向では鏡映操作がメインになります。しかも、現在の所はこのあたりしか攻め口が無いみたいで、群論関係の話題はここに集中している感じです。

　高次元の鏡映ですから、反射するのは面では無くて超平面です。たとえば、3次元なら四面体を想像して、ある頂点の鏡映の結果の像は、その頂点以外の3頂点が作る面での反射を考えます。
　この時、計算上、面に垂直なベクトルを得ると分かりやすくなります。ある面に垂直な直線は法線と呼ばれます。英語ではnormalだったか。日本語の数学用語の法線の法の由来は多分、斜面を法面(のりめん)というのと同じだと思います。

　4次元での超平面は3次元となります。この段階でも想像は難しく、法線方向のベクトルを考えることになります。便利なことに、5次元以上でも法線ベクトルを考えれば通用します。
　まあですから、普通の接線方向を示すのが普通のベクトルで、法線ベクトルは振る舞いが異なるので、この2つがいわゆる双対の関係になっていて、前者を反変ベクトル、後者を共変ベクトルと言うみたいです。反変と共変の名前の由来は、単位ベクトル(基底)が変わった場合に、位置ベクトル(係数)がどう変化するかで、真逆の変化になります。良く例えられるのは、単位がメートルからセンチメートルに変わると測定値は100倍になる、つまり反比例します。これが普通の(反変)ベクトルで、法線ベクトルは逆、つまり比例するそうです。

　反変と共変間の具体的な計算には、多分、n元連立一次方程式を(数値計算で)解く必要があります。高次元と言っても、今考えているのはせいぜい8次元ですから、強引に計算しても多分大丈夫だろう、みたいな感じで考えているところ。具体的に成功したら、どこかで発表すると思います。