3106. 次元を進めると、続き

　新型コロナ感染症の我が国での感染者数が増加していて、しかしたとえば、私の職場の近所の大病院の外観は落ち着いたもの。SARSの時の厳しい対応とは大違いです。先月、6月半ばに検査態勢が変更になったし、軽症者への対応が分かってきたためだと思います。
　まあ、見りゃ分かる、と言うことでしょうが、どこかでまとめていますか。政府のページを見れば良いのかな。

　で、古典幾何学の話題。仕事の合間に、E5(1-2-1)(仮)、E4(0-2-1)(仮)、E3((-1)-2-1(?))(仮)の頂点数などを、E8(4-2-1)→E7(3-2-1)→E6(2-2-1)の単純な外挿で計算してみました。当然ながら、E3(3次元図形)とE4(4次元図形)に関しては、知っていた図形が出てきました。(-1)-2-1は側面が正方形の正三角柱です。
　0-2-1は、ええと、こう言うの何と言ったか。いわゆる切頂図形ですが、切り取る範囲が大きくて、辺の中点まで切り取った状態。つまり、正四面体の頂点から削っていって、ついに正八面体(普通の正八面体とは対称性が異なり、対称性は正四面体のまま)を出す感じで、4次元図形の正5胞体の表面の5個の正四面体を削っていって、5個の正八面体にして、頂点の所は同じ辺の長さの正四面体の中心点になります。
　と言うことは、正八面体は4面で隣の正八面体に接していて、完結してしまっています。残された四次元空間の穴、正四面体は頂点だけで接しています。正三角柱の方は、正方形の帯で完結してしまっていて、蓋と底の正三角形は離れてしまっています。

　ふむ、何となく仕掛けが分かってきました。多分おそらく、ユークリッド空間の球面充填の一歩手前の、超球面の球面充填です。残念なことに、単純群の範囲では、この系列は8次元で終了してしまいます。
　もちろん、9次元以上のユークリッド空間の超球面充填も存在して、たとえば24次元の特異的に稠密な超球面充填にはリーチ格子という名前が付いています。まだしっかりとは調べていませんが、E8の3回の直積とのこと。

　この分野(古典幾何学の対称図形)では直感の力は大したものです。ただし、今のままでは数学と言うよりは、数秘術というか単なる占いの段階で、しっかり調べる必要があります。

3105. 次元を進めると

　本日は一日出張。私の住んでいるところも雨。梅雨前線はずっと延びていて、九州や中国南部は大変みたいです。仕事の方は普通でした。

　例の古典幾何学本の翻訳作業はですから数学が難しい部分は終わったような気がします。後は図形表示(座標計算)と4次元の特異図形の話、のはず。

　例外型有限単純群と呼ばれている、E6、E7、E8は何とか図示したいです。その具体的図形、2-2-1、3-2-1、4-2-1については頂点や辺や三角形などの要素の数が計算されていて、表にすると、ちょっとした計算で規則性が出てきました。まあ、この程度など誰もがやっていると思います。
　そのどれもが超球の空間充填に対応している感じがします。ええ、今の段階ではフィーリングです。さあて、これを確かめることが私にできるかどうか。

　全く別の幾何学の楽しい図録で、その先、つまりE9とE5、E4、E3はどうなっているのだ、の話題があって、この対称性には別の名前があって、そちらの方が基礎的なので、普通は出てきません。ちなみにE9は8次元ユークリッド空間の対称性で、球面では無く平らな空間に平らになるので、ここが終点。E3は3次元ですから、普通に3次元図形(多面体)が出てきます。
　6次元以下については、具体的に具体的図形(半正多胞体)を計算した人がいて、手元に資料があるはずで、探して調べないといけません。当時はいくぶん酔狂な趣味の感じを受けましたが、今になって役立つとは。