多少のフォローアップが必要と思います。とはいえ、私はこの分野の専門家では無いので、あくまでフィーリング理解の範囲内です。
倍角公式がともかくも2乗の形式になる、という事実から、いわゆるオイラーの公式を想起した方が多いと思います。角度を足すと、累乗になります、ただし複素数ですが…。
倍角公式などがどこから出てきたのだ、と数学の先生に質問すると、多分即答で、それは三角関数の加法定理による、との答えが返ってくるはずです。
私が前任者と言っている数学者は、その道の専門家で、この加法公式からさまざまな実用計算用の公式が導かれる、と言って、具体的な展開をしてくださるはずです。ええ、私もその著書にさんざん助けられました。たしか、一度くらいはお姿を直接見たような記憶があります。
さらに突っ込むつもりで、その三角関数の加法定理はどこから出てきたのだ、と質問すると、多分、考えるんじゃ無い、感じるのだ!、みたいな答えが返ってくるはずです。
私の感覚では、オイラーの公式みたいに無限級数を考えると良いのでしょうけど、背景説明が膨大になるし、さらに突っ込まれると例の実数の連続とは何か、の21世紀の数学ではすっきりした説明が不可能な哲学の話題に突入します。ええ、私はこの部分は思想とか信念とか、その類いだと思っています、少なくとも現状ではそうですし、あまり楽観的にはなれないです。
つまり、代数式で表現すると、ぼろぼろと余計な数式の破片が出てきて、収拾がつかなくなります。幾何学図形では座標を導入するとそうなります。デカルト座標というやつ。しかし、座標が無いとなかなか先に進まないので、悩ましいところ。
ガロア直前の数学はそんな感じで、しかたが無いから近似式、つまり無限級数から考えて、その追求の結果は実に実りのあるものでした、さすが西洋数学、です。
今、追体験するなら、数学辞典の巻末にある積分表の数式を見ると良いと思います。よくもまあ、こんな複雑な公式が計算できたものだと舌を巻きます。
