3723. 数セミ60周年、続き^7

　線形代数の方の問題は意外に図形と数値の対応ができていない人が多いと思えることです。と言うのもつい最近、割とよく知っていると思っていた人が3ベクトルの和が分かっていないみたいだったので驚愕した経験があるからです。

　本項では縦ベクトルを`aと表記します。本来は矢印(→)で書かないといけませんがタイピングが面倒なので。平面だと2パラメータで`(x1, y1)と成分表示できます。
　さて、
　　`c = `a + `b
だったら`aと`bで平行四辺形を書いてその対角線が`cだという図を見た方は多いと思います。成分だともちろん、
　　`(x1 + x2, y1 + y2) = `(x1, y1) + `(x2, y2)
となります。ここまではよろしいでしょうか。

　問題はあっと驚く、3ベクトルの和の図が描けないみたいだった、ということ。
　　`d = `a + `b + `c
ですよ。成分で表すと、
　　`(x1 + x2 + x3, y1 + y2 + y3) = `(x1, y1) + `(x2, y2) + `(x3, y3)
となります。あやふやな方は悪いこと言いません。図示してみて下さい。できれば方眼紙を用意するのがお勧めです。

　この和のベクトル`dが零ベクトル、
　　`(0, 0)
になる場合があるのです。それはどんな場合か。

　分かっている方には、馬鹿にするな、と思えるような問題でしょう?。しかし世の中、とっさに分からない人の方が多いみたいです。`aと`bと`cは三角形の辺になります。ええっ、と思った方は図示をお勧めします。申し訳ないですが、線形代数だとこんな初歩の所で迷うのはあってはならない事態です。
　ついでに4ベクトルなら四角形、5ベクトルなら5角形になります。

　こんな調子だと、0や負のスカラ値を掛けるとベクトルがどうなるかもしっかりと図で覚えておく必要があると思います。
　私はと言うと、コンピュータグラフィックスでベクトルを認識していましたから画面のどの場所に点がプロットされるかは分かりますから、この程度は共有できる知識と思っていたので驚愕した、ということ。

　さらに先があって、ここで立ち止まる訳には行かないのです。物理学では、いや数学でもか。座標を導入する場合に基底ベクトルを指定し、これが互いに直交する単位ベクトルだと簡単ですが、斜行ベクトル(アフィン座標)になることがあり、物理学で言う次元に対応して1次元を表す反変ベクトルと2次元を表す共変ベクトルがあって反比例の関係になります。
　これはベクトル解析の範囲内ですが、結晶学や一般相対性理論で初めて出てくるので、なかなか授業ではやりません。言い換えると、上述の普通のユークリッド空間でのベクトルの振る舞いを知っているだけで大抵は何とかなります。ちなみに0次元と3次元はスカラ値です。我々の住む世界が3次元だからで、他の次元だとまた異なります(3次元の場合が理解できたら、その先は難しくありません)。