例の古典幾何学書の翻訳は粗訳が完了。ただし、細かい作業はいっぱい残っています。
結局、3年前にやっと式が読めるようになった反変と共変の違いは、元の行列と逆行列の関係だった、みたいです。どおりで最近はテンソル解析以外に反変・共変の言葉が見られないはずです。
ベクトルには普通の位置ベクトル系の反変ベクトルと、面の平行移動を表す共変ベクトルの違いがあり、直交座標のままだと区別の必要はありません。しかし、斜交座標が絡むと計算時に区別が必要となります。このとき、反変と共変を変換する行列は、変換方向によって順(?)行列と逆行列の関係になることはすぐに分かるでしょう。これが、説明上は基底ベクトルとベクトルの成分の話になって、ややこしいことにベクトルの成分がベクトルと呼ばれていて、n次元の基底ベクトルのn組は行列になりますが、こちらは行列とは呼ばれません。
線と面の関係は3次元だからそうなっている訳で、n次元だと1次元とn-1次元の関係になります。n次元空間のn-1次元の超平面の動きは、それと垂直な(n個成分の)ベクトルで表現できる、ということ。普通はn-1次元の平行超平面間の関係ですが、動きと表現すると微妙に微分と関係しそうで、実際、そうなっている感じです。
まあ正直言って、もう少しまとめないといけません。私が自在に扱えるようになったら、事の経緯を含めて、どこかで文章にまとめると思います。
ベクトルにはもう一軸、極性ベクトルと軸性ベクトルの区別があります。極性ベクトルが普通に思い浮かぶ向きと大きさを持つベクトルで、軸性ベクトルは回転の向きと強さを表します。この両者も、普通は区別はありませんが、鏡映時に振るまいが逆転します。
確か、両者を合わせて解説した図入りの解説書があったはずです。100年くらい前の本だったか。
