2639. 対称性E8

　ステラステージはまあ普通。低空飛行ですけど、参加しているPの活動度はそれなりの感じです。当分、こんな感じかな。

　このところ話題にしている古典幾何学の翻訳計画。最後のミッシングリンクが繋がったような気がします。
　またもや群論の話で、コクセター＝ディンキン図形の話題。この表はwebで容易に出てくるはずです。図形には対応する幾何学図形があって、ほとんどはよく知られた図形なのですが、E6, E7, E8はそれぞれ6次元、7次元、8次元に特有の図形で、長年資料を探していましたが、いまいちの感じでした。
　E6とE7はE8の下位互換みたいな感じなので、E8を知ると全て分かるみたいです。みたいです、って、そう、まだ理解半ば。

　まずE8そのものですが、8次元の図形なのでなかなかイメージしにくいです。
　8次元と言えば、特異的なものすごい密度の超球の充填方法があるので有名な空間で、さっき調べたら、その通りでした。三次元の最密充填に相当します。
　このE8による蜂の巣が8次元超球の最密充填に相当することが証明されたのは、何と2016年とのことです。
　一つの8次元超球に接する超球は240個で、一見たくさんに見えますが、8次元超立方体の頂点は256個ありますので、まあ、数としては普通です。
　E8には240の頂点があるので、これが超球の最密充填に関係するのかな、と思っていたら、そうだった、ということ。ただ、英語版のWikipediaに書かれているように、8次元版の正四面体と8次元版の正八面体の頂点を合わせたような座標なので、イメージが到底追いつきません。三次元の空間充填図形にも同様の事情があるので、そこから類推すればよいのかもしれません。

　ここで取り上げたE8は古典的な幾何学上のものなので、まだこれで済みましたが、微積分が入ったリー群というのに話が移行すると、ものすごいことになっているみたいです。
　まず、モンスター群と呼ばれる散発単純群と少し関係があるそうです。
　2007年には例外型単純リー群の同じ名前のE8の表が完成した、というのでニュースになったはずです。
　いったい私たちと何の関係が、の感じがしますが、解説書によると両者とも物理学の超弦理論と関係しそうだとのこと。そのためなのか、英語版Wikipediaの関連記述がやけに詳しいです。最近も職場の近くの大型書店でそれっぽい本を探しているのですけど、がちの数学書しか見当たらないです。買ったけど、もちろんよく分かりません。一般向けの解説書は現在は日本では売られていないようです。

　私とて、このブログを書いてなかったらリー群なんかまったく関心が無かったです。幾何学の方は関心がありましたが。全く奇遇なこと。
　Wikipediaの件で愚痴っていたら、家族にあなたが書いたら、と言われてしまいました。専門でも何でもないのですけど。翻訳に目処が付いたら、考えてみます。