2624. 幾何学の本^4

　んー、よく分からないイベントでした。ステラステージのPV投稿欄の話。私は通常運転のまま。
　プロデューサーメカニカル腕時計は1月中に届くと勘違いしていましたが、3月下旬のようです。写真では分からない部分があるので、届くのが楽しみ。

　その後少し図形学の恩師とやりとりがあって、どうやら私には数学の腕は期待していないみたいです。それは著者(原作者)に任せて、図形の解説ができるかどうかの方みたいです。
　ユークリッド空間の三次元と四次元は特別な空間で、他の次元にはない特徴があります。たとえば三次元では正十二面体と正二十面体が存在します。四次元では正120胞体と正600胞体で、いずれも五角形とその対称性が出てきます。意外なことに5次元以上のユークリッド空間に相同物はありません。
　なので、この本では三次元と四次元図形にかなりの分量を割いています。残りは少し前に言った座標変換と群論(対称性)。群論の部分はとある部分でここが基点の話があって、その部分が圧倒的なので、おそらくこの理由で60年後の現在でも米国などでは普通に買えます。　

　三次元のプラトン立体、つまり正多面体にはない四次元の正多胞体があって、正24胞体です。正八面体24個に包まれた正多胞体で、もちろん私にも正確なイメージは無理です。
　でも、ある程度のことは言える。

　正方形を辺で折り返して行くと普通に格子状に平面を覆います。立方体をその上に積んで行けば三次元空間を埋め尽くせるのは、納得できる方が多いと思います。さらにその上に四次元方向に超立方体を積んで行くことができます。四次元の正方格子です。
　正方形の辺の長さを1単位と考えると、内接する円の直径も1。正方形の対角線の長さは√2 (≒ 1.414)です。辺が1の長さの立方体に内接する球の直径も1。立方体の対角線の長さは√3 (≒ 1.732)になります。√2と1の直角三角形の斜辺の長さですから。ここまでは良いでしょうか。
　辺が1単位の四次元超立方体に内接する超球の直径は1。対角線の長さは√4なので、普通に2になります。ということは、超立方体の頂点を中心とする直径1の超球を追加して置くことが可能です。元々隣の8つの内接球と接していて、さらに16の頂点の同じ大きさの超球に接しますから、合計24個の超球と接する。これが最密充填のはず。で、超球の風船を膨らませて行くと多胞体になって四次元空間を充填してしまいます。それが正24胞体のイメージの一つ。
　…だったはずです。ずいぶん前に考えたことなので、計算し直さなきゃ。

　つまり、この手の解説が求められていると言うこと。数学者でも具体的な図形に関心がある人は少ないとのことで、ましてや四次元になると酔狂扱いみたいです。上記の文章もうかつにコピペすると変人扱いされると思います。