2929. 四面体

　本日は内勤のみですが、なぜか忙しくてきつかったです。しかし、幸いトラブルも何も無く、これで良いのでしょう。

　古典幾何学本の翻訳は本日は休み。しかし、気になっていたことを考えたりしていて。全ての多面体は四直角四面体に分割できる、との下り。少し考えても出来そうだし、幾何学者の主張なのでまずは大丈夫でしょう。本来ならば数学的な証明、そこに至らなくても、納得できる例示が必要です。なので、多分通勤時間などにぼーっと考えるはずです。高校時代ならマイブーム(もしかして死語?)になっていたはずです。

　四面体で全ての、つまり4個の表面が全て直角三角形なものを四直角四面体と呼びます。ですけど、これは著者の造語で、他の言い方があり、元来は二重直角四面体です。もちろんどちらも同じ空間図形。
　これの例は、正多面体、つまり立方体とか正四面体とか、その中心から面に垂線を取り、その面との交点からさらに辺の中点に垂線を取る。この時、立体の中心、面の中心、辺の中心、頂点の4点を頂点とする四面体が二重直角四面体です。自明ではありません。少し考えるか、図面に描くことをお勧めします。

　三直角四面体というのもあり、立方体のコーナーを任意の角度で切り取ったもので、3面が直角三角形なのは自明と思います。
　他にも特徴のある四面体があり、少し気になったのは垂心のある四面体(任意の四面体には垂心があるとは限らない。垂心がある場合は外心と重心の関係で面白いことが起こる)です。調べましたが、本件(全ての多面体は二重直角四面体に分割できる)とはあまり関係なさそうです。