本日はほぼ家に引きこもりで、いつもの作業の続きを。すこし一区切り付いたので、本日はここまで、と。
ネットでは特に大きな動きは無いみたいです。
なので、少し前の話題を。
a = b かつ b = c なら a = c は当然じゃ無いか、との話題が一部で起こって、あっという間に消えました。これは数学では推移(transitive)律とか推移関係と言って、同値関係と順序関係を説明する規則です。集合の要素の関係のこと。
幾何学で言えば公理の一つで、証明可能な定理では無く、前提の一つです。
同値関係では、反射律、対称律、推移律の3関係がセットになっていて、それぞれ、a≡a、a≡bならばb≡a、a≡bかつb≡cならばa≡cです。普通の数値の等号ならば普通に思えるでしょうけど、合同式(剰余)の合同なら自明では無いことはかなり自明だと思います。
同様に、順序関係では対称律の代わりに反対称関係が入るそうです。さっき調べたら、a≦b かつ a≧b ならば a＝b のことらしいです。集合の包含関係などもこの順序関係です。順序関係では普通に想起される全順序の他に、半順序集合も実例は珍しくは無いので、素朴に考えることはできず、公理論的に詰める必要があるようです。
ですから、推移的と言ったら、等号の場合と不等号の場合がある、ということ。数学ではあまりに当たり前の知識みたいで、なかなか説明にたどり着けませんでした。この歳になって気付くとは不覚、の感じでした。
ちなみに、とある数学の解説書では推移律の成り立たない関係として、友達の友達は友達とは限らない、と言う例が出ていて、この解説はあんまりだと思いました。
とっさに思いつくのは、a≠b かつ b≠c であっても a≠c とは限らない、です。
