とある微分幾何学の解説書にリーマン曲率テンソルの極めて簡易化した模式図が載っていて、私のような者にはイメージとして助かります。ただし、曲面の上にさりげなく書かれた線は測地線です。何となく線みたいなもの引くと曲がってしまいます。測地線上の移動なので制限がきつくて、ざっと見て共変3、反変1のテンソルみたいだ、と思ったらその通りでした。
しかし、そのままでは扱いにくいので、計量テンソルというので共変4に置き換えて考えるようです。
ただ、これを続けてもさらにややこしくなりそうなので、1形式などで考えた方が良さそうで、しかし今の私には変形は無理で、解説書を探さないといけません。
しかし、それでも手に負えるかどうか。一般に屈折率が場所によって異なる空間の光の進みはとても計算しにくいと思います。やかんから出る水蒸気のところで向こうの風景がゆらゆら揺れるのを想像すれば良いです。普通の数式ではとんと解決できません。いわゆる光線追跡(レイトレーシング)になります。
こうしたときに物理では温度とか圧力とか、経路によらず(時間と)場所を固定すると一定の値になる場の数値が好まれます。その上で、偏微分方程式の数値解法を考えます。
私の今の感覚ではブラックホールの周囲は空間と時間が「濃く」なっていて、それを空間の曲がりの代用として使えるのでは無いかと思っています。が、そうした解説があるのやら無いのやら。もちろん、私が構成するのは今は無理です。
その濃くなる原因は、質量とブラックホールの半径が比例するからです。水滴などではそうなりません。質量の増加に対して表面積の増大が大きいので、周囲の時空間を押し分けてしまいます。ええ、そんな解説は見たことがないので、私の勝手な想像です。
さらに情報量(エントロピー)との関係も気になりますが、とりあえず光の曲がりの数値計算方法を探ってみたいと思います。
