2932. 八元数へ

　本日は臨時の出張。判断は必要なものの忙しくは無いのですが、途中で先方で施設の工事が始まってしまい、なんだか騒がしいこと。こちらは強制的に断続的に暇になり、なぜか八元数のことを思い出したので、自分のメモ用紙に落書きしながらあれこれ考えて。

　四元数もまだ勉強中で、まあしかし何となく仕掛けは分かってきた感じがします。電磁気学と深い関係があり、なぜか物理学からは嫌われている理由も。
　しかし、八元数はなかなか適当な解説書も無く、理解はまだ入り口です。なぜ気になっているかというと、6～8次元程度の幾何学と関係があって、目下絶賛翻訳中であるはずの古典幾何学書の主要テーマの一つです。もう一つは最近の物理学、つまり重力理論と何となく繋がっているから。最後は単なる趣味というか興味。八元数は数と認めない立場もあるようですが、主流は整数系は別軸で、実数、複素数、四元数、八元数の4つが数学的なピュアな数として認められています。

　多分、私の思考など大したことないので、全部言ってしまいます。八元数で有名な解説図があって、三角と円を組み合わせた図形で、7つの「頂点」があって八元数の7つの虚数を表しています。この7点から3点の三つ組みは7つあって(コンウェイ氏によると、124、235、346、450、561、602、013)、それ自体で小さな幾何学を構成するようです。幾何学と言っても普通に想像する三角形とか円とかのユークリッド幾何学とはまるで違っていて、公理から一階述語論理を使って定理、定理と進めて行く近代的というか、形而上学的な幾何学です。

　この図を四面半六面体という図形に当てはめた人がいて、オリジナルが日本発だったら私がびっくりします。とにかく、7つの虚数部の内の6つを四面半六面体の頂点に割り振っていて、残る一つはおそらく多分、立体の中心です。三つ組は四面半六面体の正三角形と4つと、頂点の対角と中心点を合わせた三組です。その図では正三角形に右手法則のランドルト環みたいなのに矢印での頂点の順序が書いてあって、最初見たときはそうかなあ、と思っていました。
　しかしよく考えてみると、四面半六面体というのは対称図形ではほぼ唯一の7面という奇数個の面を持つ立体(ただし自己交差あり)で、表裏の無いメビウスの帯みたいな存在(こちらは唯一では無い)です。数学用語で言うと射影平面になっている。ですから、三角形の向きは意味ないです、…のはずです。しかし、頂点が同一の正八面体では面の向きがあるどころか、稜の向きまであります。四面半六面体を二重被覆として扱い、くっついた二面を(トポロジー的に)剥がすと、立方八面体という図形になって、こちらも8つある正三角形の向きを付けられますが、元に(トポロジー的に)戻そうとしてくっつけると向きが逆の正三角形をくっつけないといけません。

　ふむ、つい妄想の世界に入ってしまったです。シンデレラガールズとかミリオンライブで言うとあのキャラとかそのキャラとか。ただ何となく、核心に近づいた予感がします。