まあ当然というか、この固有値の同値問題が意外に複雑な側面を持っているのは数学者にとっても同様の感想のようで、さらに2冊のこの問題にfocusしたような解説書をオンライン書店で発注してしまいました。
こんな所で意地になるつもりはありませんでしたが、数学風景の名所の一つ、ということで、もう少しだけ眺めてみることにします。
多次元超球など想像の産物だ、との感想は当然と思いますが、統計学では普通に出てきます。たとえば、均一集団の身長やテストの点数は標本数が多数だと気味悪いほどの正規分布になります。
国語・算数・英語のテストの点数を並べると3次元になります。国語・英語・社会・数学・理科だと5次元、さらに多数のテストを受けると次元はどんどん増えます。これがベクトル空間と呼ばれるみたいです。
テストの成績が互いに完全に独立していれば多次元正規分布の、いわゆるマハラノビス距離がまん丸、つまり超球になります。しかし、普通は社会系が得意とか理科系が得意とか、特定のテスト間で相関あるいは逆相関がありますから、超球は線形に変形して多次元楕円体になります。そう、この時に主軸は必ず直交するのがミソ。なので相関行列は適切な直交(回転・鏡映)行列の変換により対角行列になります。
なのですが、まれに相関係数が0になることはあり得ます。その確率、つまりルベーグ測度は0です。しかし標本数は有限個で測定・計算精度も有限桁なので、多数の試行があると少なからずの頻度で相関係数0が発生すると推察できます。
構造計算などでも同様でしょう。ですから実用計算時には固有値の同値問題が発生しうるということ。なのでジョルダン標準形の話題が詳しく解説される理由となります。
