今週は月火がなぜか忙しくて、昨日と本日はそれほどでは無かったのに、疲れ果てた感じがします。うーん、日曜日に数学書を3冊速読してしまったのが効いているのか。
2冊は線形代数で、どちらも統計の主成分分析の方向に行ってしまって、要するに実用数学でした。1冊は3次元回転でコンピュータグラフィックス関係の感じで、どれも得るものはあったから良しとするか、でした。
その直前にとある数理系の雑誌を購入して、その特集が保型形式です。聞いたことはあったのですが、内容は知らなかったので調べてみたら、何と英語はautomorphicで、automorphismが自己同型ですから、自己同型の数式の意味のようです…、まだ曖昧な理解の段階。日本語で同型の英語はisomorphismで、要するに集合論の全単射のことだと私は理解しています。
なぜか偶然たまたま楕円関数の解説書を買っていて、同じ図が出てきました。基本領域は、私が知っている幾何学の群論で出てくる基本領域と同じものみたいです。だったら、うっすらイメージは湧きます。幾何学での基本領域は(平面だと)その辺でペタペタと折り返すと全空間をきっちり1回覆う図形で、そのタイル張りの様式が群論の群になっているもの、ということ。ちなみに有限回覆う図形も考察対象(リーマン面)になり、しかし無限回のものは私は一部しか(複素数の対数関数あたり)知りません。
保型形式の方は式や関数ですから代数学系なので、何となくガロア理論と関係しそうで、ちょっと調べる気になりました。
出てきたのはガロアでは無くガウスでした。ガウスは史上最も有名な数学者で、でも、その業績は? と尋ねられると、ガウス分布(正規分布)とか代数学の基本定理とか今はfloor関数と説明できるガウス記号とか、個別の事項しか浮かんできません。ここは良く知っている方に解説して欲しいところで、私の感覚ではこちらの感じがします。
具体的には超幾何関数のあたりで、ある種の2階微分方程式と無限級数(等比数列)が結びついていて、解析学、つまり実数の正体に迫る領域です。ここは随分と元の保型形式から離れた感じがしますけど、知りたくなったのはこちら。
無限級数はニュートンもオイラーも魅了された代数学の話題で、いかにも西洋数学の香りがします。早急に知りたいのは、その2階微分方程式と無限級数の結びつきの部分で、しかしとっかかりに出会うまでにまだ時間がかかりそうです。上述の記述がキーワードが並んだだけの言葉のサラダに見えるのはそのとおりで、要するに旅の始まりです。
