2875. 4元ポテンシャル

　PS storeで過去のゲームが大幅値下げになっています。ブラックフライデーセールとのこと。米国の習慣で、本年は11月29日(金)が当日のようです。黒字の金曜日とのこと。

　電磁気学のベクトル解析の本は、例によって途中からざっと見になってしまいました。物理の先生はちゃんとトレースして計算しなさい、のアドバイスでしょうけど、こちらは図形学に役立つかな、みたいな感じて眺めていたりしていて。
　その冒頭近くに4元ベクトルという言葉が出てきます。電場のスカラポテンシャル(1次元)と磁場のベクトルポテンシャル(3次元)を合わせてベクトルにしたもの。これで4次元になり、元のマックスウェルの方程式よりも利点があって、いわゆるゲージ変換が見えてくるのと、こちらも4次元であるミンコフスキー空間と相性が良くなるそうです。
　数学の本物の数である四元数と似ているし、ほぼそのものと思います。が、四元数には物理的扱いの時にいくつかのハードルがあるので使いにくいのだと思います。まず、静電気と磁石のように、普通の感覚では電気と磁気は用途が違いますが、四元数でやるといちいち実部と虚部を抽出しないといけません。四元数はそのままではミンコフスキー空間とはならず、普通の複素数の虚数を作用させないといけません。さらに方向の回転時にS^-1TSみたいな書き方となり、煩雑です。確か、S^-1TSはT^SとかT(s)と表記しても大丈夫なはずですが、そんな記法の物理学書は見たことがありません。

　1形式というのはベクトルの一種、共変ベクトルのことで、上述のベクトルポテンシャルがそれです。他に0形式や2形式というのもあって、3次元空間では3形式が0形式と相同になるようです。こちらの表記を使うと、例のgrad、rot、divが自然に出てくるそうです。
　つまり、マックスウェルの方程式から少し先祖返りした表記です。アイデアを育むにはこちらの方が有利だと思います。複合時の計算にも便利なはずですが、元の磁場と電場を直接扱うマックスウェルの方程式が十分に実用的なので、今後流行するかどうかは流動的と思います。