先週は忙しくて疲れてしまったらしく、昨日理髪店に行ったら鏡にはしけた老人の姿(私)が。表情が乏しくなっていたようです。今週は後半からは少し余裕が出来るはずです。いくつかの私的な懸案を進めないといけません。いつものように体調は良好です。
その前日に昼食のために職場近所の量販店に行って、中規模(?)の書店で一般向け科学啓蒙書を購入。一冊は代数学の話題です。まだ最初の方しか読んでいません。
冒頭に基数と順序数の話があって、直観と類推の感じで話を進めています。が、公理主義の立場からはおそらく数理論理学と絡めないと何を言っているのかがいまいちの感じです。
つまり、一階述語論理に出てくる変数(自由・束縛)に入るのは単なる記号だけで無く、それを組み合わせた構造体で、具体的にそれらで基数と順序数を構成しないといけません。多分、私の知識で良いと思っていますが、はっきり書いて欲しいです。
その上で、小数や分数を構成して行きます。これでいわゆる「環」まではうまく行くはず。「体」となると実数、つまり連続を扱わないといけなくなり、仮想的な可算無限の構造体を用意しないといけません。コーシー列が収束する場合には、その先に(理想的(プラトニック)な)数が存在する、と仮定するのが実数であり、計算対象ですから(可算)選択公理が使われます。定義は数学的帰納法で、実際には必要なだけ計算すれば良い(εδ論法)ので実際に使われる構造体は(いつでも)有限で済みます。
まあ、超運が悪いと計算はいつまで経っても終わりませんが、その確率は0なので確率論的には無いこととして良いです。ほとんど至る所、の数学用語が出てくる場面です。
みたいな説明のやり方が、私の読み方が悪いのかちっとも出てこないような気がします。実質的にそうなっているはずです。
