本日は土曜日で私は休みの日です。やることやってゆっくりお休みしました。
今読んでいるテンソル解析の本はアフィン空間が出てきてややびっくり。というのも、幾何学でベクトルから微分幾何学へ行くのにアフィン空間の説明は不要だと思っていたからです。
アフィン空間はユークリッド空間から距離と角度の概念を取ったもの、と考えれば良いみたいです。直線と比率はあって、ユークリッド空間の定木とコンパスでは無く、定木だけの世界観と思うと良いそうです。疑似空間と漢語風に呼ばれていたこともありましたが、今はもっぱらアフィン空間の用語のみとなりました。
私の経験では座標が導入できる点を強調した方が分かりやすい気がします。ユークリッド平面の(x, y)と同様に、アフィン平面でも(x, y)で位置が指定できます。ただし、基準点が2箇所から3箇所に増加します。
ユークリッド空間では距離の概念があるので、点(0, 0)と点(0, 1)を適当に決めると、平面全体が座標(x, y)で指定できます。アフィン空間では距離が無いので一直線上に無い3点、点(0, 0)、点(0, 1)、点(1,0)を適当に決めると平面全体が座標(x, y)で指定できます。これが線形、現代数学で言う加群になっているので説明の都合上、適切と思われたので出てきたようです。
ちなみに、射影空間というか同次座標では4点、(1, 0, 0)、(0, 1, 0)、(0, 0, 1)、(1, 1, 1)を指定します。前者の3点は基礎三角形と呼ばれ、後者の1点は単位点と呼ばれます。通常、単位点は重心(重心座標)または内心(三線座標)が指定され、平面の全点は点(x, y, z)の三つ組みで指定できます。割と役立つ座標系で、知っておくとコンピュータグラフィックスなど、絶妙なところで利用できます。
このあたりは私のようなフィーリング理解ではたちまち迷宮に入ることになるので、数学らしくコツコツと証明で定理を重ねて行くのが王道だそうです。今読んでいる本も、まさしくそうなっていて、いかにも数学書の雰囲気です。ただし、歴史的経緯とはかなり違う印象はします。
